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  • 2021-07-01 发布

河北省深州市长江中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

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河北省深州市长江中学2019-2020学年 高二下学期第一次月考试题 第I卷(选择题)‎ 一、单选题(每题5分,共60分)‎ ‎1.设是椭圆上的一动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若曲线表示椭圆,则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.或 ‎3.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为( )‎ A.5 B.3 C.2 D.2‎ ‎4.已知双曲线的标准方程是,其渐近线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.双曲线:的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎7.抛物线的焦点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.下列求导结果正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知函数在处的切线与直线垂直,则( )‎ A.2 B.0 C.1 D.-1‎ ‎10.已知函数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若向量,向量,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知平面α和平面β的法向量分别为,则( )‎ A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.焦点在x轴上的椭圆的焦距是2,则m的值是______.‎ ‎14.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.‎ ‎15.若向量,向量,且,则_____,_____.‎ ‎16.已知函数,则函数的单调减区间为_________.‎ 三、解答题(17题10分,其他每题12分,共70分)‎ ‎17.求下列函数的导数:‎ ‎(1);(2).‎ ‎18.设函数(1)求的单调区间;(2)求函数在区间上的最小值.‎ ‎19.已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6.⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.‎ ‎20.如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.‎ Ⅰ证明:;Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.‎ ‎21.长方体中,‎ ‎(1)求直线与所成角;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦.‎ ‎22.已知抛物线的准线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)直线交抛物线于、两点,求弦长.‎ 参考答案 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 一、单选题(每题5分,共60分)‎ ‎1.设是椭圆上的一动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:设椭圆的两个焦点为,点为椭圆上的点,‎ 由椭圆的定义有:,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义,属基础题.‎ ‎2.若曲线表示椭圆,则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程可得,解不等式组可得结果.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示椭圆,‎ ‎,‎ 解得,且,‎ 的取值范围是或,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题.‎ ‎3.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为( )‎ A.5 B.3 C.2 D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得,所以.‎ 因为,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的标准方程是,其渐近线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由标准方程求出,即可求解 ‎【详解】‎ 双曲线的标准方程是,可得,,‎ 由于渐近线方程为,即为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线渐近线方程的求法,需要注意焦点是在轴还是轴上,属于基础题 ‎5.双曲线:的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线离心率定义直接计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线:,故,,,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率,属于简单题.‎ ‎6.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 实轴长、虚轴长、焦距成等差数列可得,再结合可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,故,‎ 所以,又,故,‎ 整理得到,故,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率,注意根据题设条件构建的方程,本题属于基础题.‎ ‎7.抛物线的焦点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:∵,∴2p=1,∴,∴抛物线的焦点坐标为,故选C 考点:本题考查了抛物线焦点坐标的求法 点评:熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键,属基础题 ‎8.下列求导结果正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照基本初等函数的求导法则,求出、、、选项中正确的结果即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A,,故A错误;‎ 对于B,,故B错误;‎ 对于C,,故C错误;‎ 对于D,,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数求导问题,解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算,求出正确的导数即可.‎ ‎9.已知函数在处的切线与直线垂直,则( )‎ A.2 B.0 C.1 D.-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:根据切线方程和直线垂直的结论即可.‎ 详解:由题可知:函数在处的切线的斜率为,直线的斜率为-1,故=-1得1,故选C.‎ 点睛:考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数,再计算导数值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,∴,∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算,掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础.‎ ‎11.若向量,向量,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,,则,代入运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为向量,向量,‎ 则,‎ 则,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量减法的坐标运算,属基础题.‎ ‎12.已知平面α和平面β的法向量分别为,则( )‎ A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积运算结果,即可判断.‎ ‎【详解】‎ 因为 故可得,‎ 则平面α和平面β垂直.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面的法向量垂直,与平面垂直之间的等价关系.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.焦点在x轴上的椭圆的焦距是2,则m的值是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知:,根据椭圆的性质可知:,即可求得m的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知,,即,‎ 由椭圆的性质可知:,‎ 即,‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎14.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据双曲线的简单性质即可求出.‎ ‎【详解】‎ 解:在双曲线1中,a2=2,b2=1,‎ 则c2=a2+b2=3,‎ 则a,b=1,c,‎ 故双曲线1的渐近线方程是y=±x,焦点坐标(,0),‎ 故答案为:y=±x,(,0)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.‎ ‎15.若向量,向量,且,则_____,_____.‎ ‎【答案】1 -2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由向量,向量,且,‎ 则,‎ 解得:,‎ 故答案为:1,-2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量共线的坐标运算,属基础题.‎ ‎16.已知函数,则函数的单调减区间为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导求导,解即可.‎ ‎【详解】‎ 求导,令 得到 ‎∴函数的单调减区间为 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求三次函数的单调区间,属于基础题.‎ 三、解答题(17题10分,其他每题12分,共70分)‎ ‎17.求下列函数的导数:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据导数的加法法则,以及基础函数的导数,可得结果.‎ ‎(2)根据导数的除法法则,以及基础函数的导数,可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(1).‎ ‎(2).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算,属基础题.‎ ‎18.设函数 ‎(1)求的单调区间;‎ ‎ (2)求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间,即得函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)定义域为,,由得,‎ ‎∴的单调递减区间为,单调递增区间为;‎ ‎(2)‎ ‎,由得,‎ ‎∴在上单调递减,在(1,2)上单调递增,‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用导数求函数的单调区间:求函数的定义域→求导→解不等式>0得解集→求,得函数的单调递增(减)区间.‎ ‎19.‎ 已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6.‎ ‎⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦点坐标可求c值,a值,然后可求出b的值.进而求出椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度.‎ ‎【详解】‎ 解:⑴由,长轴长为6‎ 得:所以 ‎∴椭圆方程为 ‎⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,‎ ‎∵直线AB的方程为②‎ 把②代入①得化简并整理得 所以 又 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程和性质,考查韦达定理及弦长公式的应用,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎20.如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.‎ Ⅰ证明:;‎ Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由余弦定理得 ,从而BD⊥AD,由PD⊥底面ABCD,得BD⊥PD,从而BD⊥平面PAD,由此能证明PA⊥BD.‎ ‎(Ⅱ)以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法能法出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.‎ ‎【详解】‎ 证明:Ⅰ因为,,‎ 由余弦定理得,从而,故BD,‎ 又底面ABCD,可得,所以平面故 Ⅱ如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,‎ 射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,,0,,‎ ‎,,0,,‎ 平面PAD的一个法向量为1,,设平面PBC的法向量为y,,‎ 则,取,得1,,‎ ‎,故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为 ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ ‎21.长方体中,‎ ‎(1)求直线与所成角;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦.‎ ‎【答案】(1)直线所成角为90°;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)建立空间直角坐标系,求出直线AD1与B1D的方向向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AD1与B1D所成角;‎ ‎(2)求出平面B1BDD1的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦.‎ 解:(1)建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0,0),D1(1,0,1),B1(0,2,1),D(1,0,0).‎ ‎∴,‎ ‎∴cos==0,‎ ‎∴=90°,‎ ‎∴直线AD1与B1D所成角为90°;‎ ‎(2)设平面B1BDD1的法向量=(x,y,z),则 ‎∵,=(﹣1,2,0),‎ ‎∴,‎ ‎∴可取=(2,1,0),‎ ‎∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=.‎ 考点:直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角.‎ ‎22.已知抛物线的准线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)直线交抛物线于、两点,求弦长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)依已知得,所以;(Ⅱ)设,,由消去,得,再利用韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)依已知得,所以;‎ ‎(Ⅱ)设,,由消去,得,‎ 则,,‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算,意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.‎

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