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- 2021-07-01 发布
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河北省深州市长江中学2019-2020学年
高二下学期第一次月考试题
第I卷(选择题)
一、单选题(每题5分,共60分)
1.设是椭圆上的一动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
2.若曲线表示椭圆,则的取值范围是( )
A. B. C. D.或
3.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为( )
A.5 B.3 C.2 D.2
4.已知双曲线的标准方程是,其渐近线方程是( )
A. B. C. D.
5.双曲线:的离心率是( )
A. B. C. D.
6.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
7.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
8.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数在处的切线与直线垂直,则( )
A.2 B.0 C.1 D.-1
10.已知函数,则( )
A. B. C. D.
11.若向量,向量,则( )
A. B. C. D.
12.已知平面α和平面β的法向量分别为,则( )
A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(每题5分,共20分)
13.焦点在x轴上的椭圆的焦距是2,则m的值是______.
14.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.
15.若向量,向量,且,则_____,_____.
16.已知函数,则函数的单调减区间为_________.
三、解答题(17题10分,其他每题12分,共70分)
17.求下列函数的导数:
(1);(2).
18.设函数(1)求的单调区间;(2)求函数在区间上的最小值.
19.已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6.⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.
20.如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.
Ⅰ证明:;Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
21.长方体中,
(1)求直线与所成角;
(2)求直线与平面所成角的正弦.
22.已知抛物线的准线方程为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)直线交抛物线于、两点,求弦长.
参考答案
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题(每题5分,共60分)
1.设是椭圆上的一动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由椭圆的定义即可得解.
【详解】
解:设椭圆的两个焦点为,点为椭圆上的点,
由椭圆的定义有:,
故选:B.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义,属基础题.
2.若曲线表示椭圆,则的取值范围是( )
A. B. C. D.或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆标准方程可得,解不等式组可得结果.
【详解】
曲线表示椭圆,
,
解得,且,
的取值范围是或,故选D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题.
3.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为( )
A.5 B.3 C.2 D.2
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程即得解.
【详解】
由题得,所以.
因为,所以.
故选:D
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
4.已知双曲线的标准方程是,其渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由标准方程求出,即可求解
【详解】
双曲线的标准方程是,可得,,
由于渐近线方程为,即为.
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求法,需要注意焦点是在轴还是轴上,属于基础题
5.双曲线:的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线离心率定义直接计算得到答案.
【详解】
双曲线:,故,,,故.
故选:.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率,属于简单题.
6.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
实轴长、虚轴长、焦距成等差数列可得,再结合可求得离心率.
【详解】
因为实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,故,
所以,又,故,
整理得到,故,
故选:D.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率,注意根据题设条件构建的方程,本题属于基础题.
7.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:∵,∴2p=1,∴,∴抛物线的焦点坐标为,故选C
考点:本题考查了抛物线焦点坐标的求法
点评:熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键,属基础题
8.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
按照基本初等函数的求导法则,求出、、、选项中正确的结果即可.
【详解】
对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查基本初等函数求导问题,解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算,求出正确的导数即可.
9.已知函数在处的切线与直线垂直,则( )
A.2 B.0 C.1 D.-1
【答案】C
【解析】
分析:根据切线方程和直线垂直的结论即可.
详解:由题可知:函数在处的切线的斜率为,直线的斜率为-1,故=-1得1,故选C.
点睛:考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论,属于基础题.
10.已知函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出导函数,再计算导数值.
【详解】
∵,∴,∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查导数的运算,掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础.
11.若向量,向量,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由,,则,代入运算即可得解.
【详解】
解:因为向量,向量,
则,
则,
故选:C.
【点睛】
本题考查了向量减法的坐标运算,属基础题.
12.已知平面α和平面β的法向量分别为,则( )
A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算结果,即可判断.
【详解】
因为
故可得,
则平面α和平面β垂直.
故选:A.
【点睛】
本题考查平面的法向量垂直,与平面垂直之间的等价关系.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(每题5分,共20分)
13.焦点在x轴上的椭圆的焦距是2,则m的值是______.
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意可知:,根据椭圆的性质可知:,即可求得m的值.
【详解】
由题意可知,,即,
由椭圆的性质可知:,
即,
故答案为:5.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查计算能力,属于基础题.
14.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据双曲线的简单性质即可求出.
【详解】
解:在双曲线1中,a2=2,b2=1,
则c2=a2+b2=3,
则a,b=1,c,
故双曲线1的渐近线方程是y=±x,焦点坐标(,0),
故答案为:y=±x,(,0)
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.
15.若向量,向量,且,则_____,_____.
【答案】1 -2
【解析】
【分析】
由题意可得,再求解即可.
【详解】
解:由向量,向量,且,
则,
解得:,
故答案为:1,-2.
【点睛】
本题考查了空间向量共线的坐标运算,属基础题.
16.已知函数,则函数的单调减区间为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
求导求导,解即可.
【详解】
求导,令
得到
∴函数的单调减区间为
故答案为:
【点睛】
本题考查利用导数求三次函数的单调区间,属于基础题.
三、解答题(17题10分,其他每题12分,共70分)
17.求下列函数的导数:
(1);
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据导数的加法法则,以及基础函数的导数,可得结果.
(2)根据导数的除法法则,以及基础函数的导数,可得结果.
【详解】
解:(1).
(2).
【点睛】
本题考查导数的运算,属基础题.
18.设函数
(1)求的单调区间;
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)1
【解析】
【分析】
(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间,即得函数的最小值.
【详解】
(1)定义域为,,由得,
∴的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)
,由得,
∴在上单调递减,在(1,2)上单调递增,
∴的最小值为.
【点睛】
(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用导数求函数的单调区间:求函数的定义域→求导→解不等式>0得解集→求,得函数的单调递增(减)区间.
19.
已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6.
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标可求c值,a值,然后可求出b的值.进而求出椭圆C的标准方程.
(2)先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度.
【详解】
解:⑴由,长轴长为6
得:所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质,考查韦达定理及弦长公式的应用,考查运算能力,属于中档题.
20.如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.
Ⅰ证明:;
Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由余弦定理得 ,从而BD⊥AD,由PD⊥底面ABCD,得BD⊥PD,从而BD⊥平面PAD,由此能证明PA⊥BD.
(Ⅱ)以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法能法出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
【详解】
证明:Ⅰ因为,,
由余弦定理得,从而,故BD,
又底面ABCD,可得,所以平面故
Ⅱ如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,
射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系,
则,,0,,
,,0,,
平面PAD的一个法向量为1,,设平面PBC的法向量为y,,
则,取,得1,,
,故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为
【点睛】
本题考查线线垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
21.长方体中,
(1)求直线与所成角;
(2)求直线与平面所成角的正弦.
【答案】(1)直线所成角为90°;(2).
【解析】
试题分析:(1)建立空间直角坐标系,求出直线AD1与B1D的方向向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AD1与B1D所成角;
(2)求出平面B1BDD1的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦.
解:(1)建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0,0),D1(1,0,1),B1(0,2,1),D(1,0,0).
∴,
∴cos==0,
∴=90°,
∴直线AD1与B1D所成角为90°;
(2)设平面B1BDD1的法向量=(x,y,z),则
∵,=(﹣1,2,0),
∴,
∴可取=(2,1,0),
∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=.
考点:直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角.
22.已知抛物线的准线方程为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)直线交抛物线于、两点,求弦长.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)8.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)依已知得,所以;(Ⅱ)设,,由消去,得,再利用韦达定理求弦长.
【详解】
(Ⅰ)依已知得,所以;
(Ⅱ)设,,由消去,得,
则,,
所以
.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算,意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.