【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章素养提升2　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略学案 4页

素养提升2　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略 ‎1[2019全国卷Ⅰ,17,12分][理]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B - sin C)2=sin2A - sin Bsin C.‎ ‎(1)求A; ‎ ‎(2)若‎2‎a+b=2c,求sin C.‎ ‎(1)先利用正弦定理将角的关系化为边的关系,再利用余弦定理求出A的大小.(2)先运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,再结合同角三角函数的基本关系式及第(1)问的结论求解sinC的值.‎ ‎(1)(sinB - sinC)2=sin2B - 2sinBsinC+sin2C=sin2A - sinBsinC,即sin2B+sin2C - sin2A=sinBsinC.①‎ 由正弦定理可得b2+c2 - a2=bc,②‎ 所以cosA=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎1‎‎2‎,③‎ 因为A∈(0,π),‎ 所以A=π‎3‎.④‎ ‎(2)因为‎2‎a+b=2c,由正弦定理得‎2‎sinA+sinB=2sinC,⑤‎ 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=π‎3‎,‎ 所以‎2‎×‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎cosC+‎1‎‎2‎sinC=2sinC,‎ 整理可得3sinC - ‎6‎‎=‎‎3‎cosC.⑥‎ 因为sin2C+cos2C=1,⑦‎ 所以(3sinC - ‎6‎)2=3(1 - sin2C),⑧‎ 解得sinC=‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎或sinC=‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎.⑨‎ 因为sinB=2sinC - ‎2‎sinA=2sinC - ‎6‎‎2‎>0,‎ 所以sinC>‎6‎‎4‎,‎ 故sinC=‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎.⑩‎ 感悟升华 阅 卷 现 场 得分点 第(1)问 采点得 分说明 ‎①已知条件展开化简得2分;‎ ‎②利用正弦定理进行边角互化得1分;‎ ‎③利用余弦定理求值得1分;‎ ‎④给定范围内求出角A得1分.‎ ‎5分 第(2)问 采点得 分说明 ‎⑤利用正弦定理进行边角互化得1分;‎ ‎⑥利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简得1分;‎ ‎⑦想到同角三角函数的基本关系式得1分;‎ ‎⑧建立关于sinC的方程得1分;‎ ‎⑨解方程得1分;‎ ‎⑩得到最终结果得2分.‎ ‎7分 满 分 策 略 ‎1.求解解三角形问题的关键 准确把握正、余弦定理的内容,根据已知条件灵活地选用公式是解三角形的关键.‎ ‎2.边角互化 运用正弦定理可实现边角互化,如本例第(1)问.‎ ‎3.求解解三角形问题的技巧 解三角形时常会用到同角三角函数的基本关系式及三角恒等变换,所以熟练掌握三角公式也是不可缺少的环节.‎ ‎4.角的变换的运用 在解三角形的过程中,角的变换尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及利用三角形内角和定理的变换.‎ 一 题 多 解 第(2)问也可用如下两种解法.‎ 解法一　因为‎2‎a+b=2c,由正弦定理得‎2‎sinA+sinB=2sinC,‎ 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=π‎3‎,所以‎2‎×‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎cosC+‎1‎‎2‎sinC=2sinC,整理可得3sinC - ‎6‎‎=‎‎3‎cosC,‎ 即3sinC - ‎3‎cosC=2‎3‎sin(C - π‎6‎)=‎6‎,‎ 所以sin(C - π‎6‎)=‎2‎‎2‎.由C∈(0,‎2π‎3‎),得C - π‎6‎∈( - π‎6‎,π‎2‎),所以C - π‎6‎‎=‎π‎4‎,C=π‎4‎‎+‎π‎6‎,sinC=sin(π‎4‎‎+‎π‎6‎)=‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎.‎ 解法二　由(1)知B=‎2π‎3‎ - C,由题设及正弦定理得‎2‎sinA+sin(‎2π‎3‎ - C)=2sinC,即‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎cosC+‎ ‎1‎‎2‎sinC=2sinC,可得cos(C+π‎3‎)= - ‎2‎‎2‎.由于0