专题11-3 热点题型二 随机事件的概率-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破 17页

热点题型二 随机事件的概率 近年来高考中对概率的考查呈现出新的变化，在考查古典概型，互斥事件与相互独立事件概率，条件概率的同时，几何概型逐步成为热点。概率问题在选择题，填空题和解答题中都有出现。题目难度中等，只要考生能通过阅读获取相应的信息，熟悉常见的概率模型，并掌握必要的计数方法（排列组合），便可进行概率计算。常见问题归纳如下；‎ 类型一 古典概型 类型二 条件概率与相互独立事件概率 类型三 几何概型 ‎ ‎【基础知识整合】‎ 第一部分：概率的概念与性质 ‎ 1.概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为 事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以 用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且 A∪B＝Ω ‎3.概率的几个基本性质：‎ ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎4．互斥事件概率的加法公式 ‎(1)若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ 名师点睛：(1)从集合的角度理解互斥事件和对立事件：‎ ‎①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ ‎(2)概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．‎ 第二部分：古典概型 ‎1.基本事件的特点： (1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2.古典概型;具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3.古典概型的概率公式：P(A)＝.‎ 名师点睛：从集合的角度看概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝＝.‎ 第三部分：条件概率及相互独立事件的概率 ‎1.条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ‎(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎2.事件的相互独立性 ‎1．定义；设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎2．性质；若事件A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，‎ P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．‎ 名师点睛： (1)在古典概型中，若用n(A)表示事件A所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝.‎ ‎(2)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．‎ ‎(3)对于事件A与B，若A⊆B，则P(AB)＝P(A)．‎ 第四部分：几何概型 ‎1.几何概型的定义；如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎2.几何概型的两个基本特点：（1）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．‎ ‎（2）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．‎ ‎3.几何概型的概率公式；P(A)＝.‎ 名师点睛：几何概型的两种类型：‎ ‎(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时的概型．‎ ‎(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。‎ 类型一 古典概型 ‎ ‎【典例1】【2015高考广东理（4）】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）‎ ‎ A．1 B. C. D. ‎【答案】 考点；排列组合，古典概率．‎ ‎【思路点拨】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取球恰好个白球个红球即是分步在白球和红球各取个球的组合。 ‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2016高考江苏理10】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为 考点：古典概型概率 ‎2.【2014上海高考理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散 演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.‎ ‎【答案】 ‎【解析】任意选择3天共有种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为．‎ 考点；古典概型．‎ ‎3. 【2015江苏高考理5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为 考点；古典概型概率 ‎4．【2014广东高考理】从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．‎ ‎【答案】 考点；1. 中位数 2. 古典概型概率 ‎5. 【2015高考北京理16】， 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）‎ 记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16‎ 组：12，13，15，16，17，14， 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，‎ 组选出的人记为乙．‎ ‎(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；‎ ‎(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）‎ ‎【答案】（1），（2），（3）或 考点：1、古典概型；2、样本的方差 ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．求古典概型的基本步骤；(1) 算出所有基本事件的个数n. ‎ ‎(2) 求出事件A包含的所有基本事件数m. ‎ ‎ (3) 代入公式P(A)＝，求出P(A)．‎ ‎2．基本事件个数的确定方法；(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．‎ ‎(2)计算法：利用排列、组合的有关知识计算．‎ ‎3. 对于比较复杂事件的概率计算，注意分清事件之间的关系，如互斥事件，对立事件可运用概率运算性质计算。‎ ‎4.概率计算与其它数学知识交汇的问题，需要对涉及的数学知识准确理解，再综合分析求解。‎ 类型二 条件概率与相互独立事件概率 ‎ ‎【典例1】【2014新课标2理（5）】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，‎ 则，故选A.‎ 考点；条件概率.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查了条件概率公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于理解事件之间的关系，注意题目是求的一个条件概率.‎ ‎【典例2】【2015高考新课标1理（4）】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )‎ ‎（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.‎ 考点；考查独立重复试验的概率 ‎【思路点拨】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2017开封高三模拟】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D 考点；条件概率 ‎ ‎2.【2017银川一中模拟】甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　)‎ A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，‎ 由对立事件和相互独立事件概率公式知，P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.‎ 考点； 相互独立事件的概率 对立事件 ‎3.【2017包头模拟】某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的 种子恰有2粒发芽的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】用X表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布B，‎ P(X＝2)＝C21＝.‎ 考点； 独立重复事件的概率 ‎4.【2017兰州模拟】如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将 ‎ 一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事 件 “豆子落在扇形EOH(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.‎ ‎【答案】　 考点；条件概率 几何概型 ‎5.【2014湖南高考理】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率．‎ ‎(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】　见解析 ‎【解析】记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功)．由题设知P(E)＝，P()＝，‎ P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．‎ ‎(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P()＝P()P()＝×＝，‎ 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P()＝×＝，‎ P(X＝100)＝P(F)＝×＝， P(X＝120)＝P(E)＝×＝，‎ P(X＝220)＝P(EF)＝×＝， 故所求的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ P 数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.‎ 考点；相互独立事件的概率 随机变量的分布列及期望 ‎6.【2016年高考北京理数】A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（1）试估计C班的学生人数；‎ ‎（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）‎ ‎【答案】（1）40；（2）；（3）.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，‎ 因此 ‎（3）根据平均数计算公式即可知，.‎ 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数 ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1.条件概率的求法 ‎(1)．定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．‎ ‎(2)．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎2.求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)．利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．‎ ‎(2)．正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ 类型三 几何概型 ‎ ‎【典例1】【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】C ‎【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.‎ 考点： 几何概型.‎ ‎【思路点拨】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两 个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．‎ ‎【变式练习】‎ ‎1. 【2015高考陕西理11】设复数，若，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B 考点;1、复数的模；2、几何概型．‎ ‎2. 【2015高考湖北，理7】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，‎ 对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分，‎ 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，‎ 根据几何概型公式可得.‎ ‎ （1） （2） （3）‎ 考点; 几何概型.‎ ‎3.【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . ‎ ‎【答案】 考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.‎ ‎4.【2014福建,理14】如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同. .所以落到阴影部分的概率为.‎ 考点：1. 几何概型. 2.定积分.‎ ‎5.【2014辽宁理14】正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的 概率.‎ 考点：1.几何概型 ；2.定积分.‎ ‎6.【2014高考重庆理】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）‎ ‎【答案】 ‎【解析】用表示小张到校的时间，,用表示小王到校的时间， 则所有可能的结果对应直角坐标平面内的正方形区域记“小张比 小王至少早到5分钟”为事件M,则M所对区域为图中的阴影 部分所以 考点：几何概型.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．与长度有关的几何概型；解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．‎ ‎2．与面积有关的几何概型；考察事件出现可能对应的情况为某一区域的面积时，用“区域面积”为测度计算概率。‎ ‎3. 与体积有关的几何概型； 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．‎ ‎4. 几何概型与其它数学知识交汇的问题；需要对涉及的数学知识准确理解，再综合分析求解。‎