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- 2021-07-01 发布
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核心素养测评三十七 数列（含函数特性）
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知数列{an}的通项公式an=2n-4,n∈N*,若它的第k项满足20,所以an+1>an,所以数列{an}是单调递增数列.
答案:递增数列
(15分钟 35分)
1.(5分)定义:称为n个正数P1,P2,…,Pn的“均倒数”.若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为 ( )
A.an=2n-1 B.an=4n-1
C.an=4n-3 D.an=4n-5
【解析】选C.因为=,所以=2n-1,所以a1+a2+a3+…+an=(2n-1)n,a1+a2+…+an-1=(2n-3)·(n-1)(n≥2),当n≥2时,an=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3;a1=1也适合此等式,所以an=4n-3.
【变式备选】
已知n∈N*,给出4个表达式:①an=②an=,③an=,
④an=.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
【解析】选A.检验知①②③都是所给数列的通项公式.
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2.(5分)(2020·西安模拟)对于数列{an},称P(ak)=(其中k≥2,k∈N)为数列{an}的前k项“波动均值”.若对任意的k≥2,k∈N,都有P(ak+1),所以x的取值范围为.
3.(5分)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 023=________________.
【解析】因为an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,所以a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,所以an+6=an(n∈N*).
则S2 023=S337×6+1=337×(a1+a2+…+a6)+a1=337×0+m=m.
答案:m
【变式备选】
已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=,则通项公式为________________.
【解析】因为当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1,
所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,-=2,
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所以是公差为2的等差数列.
因为S1=a1=,所以=2,
所以=2+(n-1)·2=2n,即Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=.
当n=1时,a1=,不满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=
答案:an=
4.(10分)若a1=1,an+1=,求数列{an}的通项公式.
【解析】因为an+1=,a1=1,所以an≠0,
所以=+,即-=.又a1=1,则=1,
所以是以1为首项,为公差的等差数列,
所以=+(n-1)×=+.所以an=(n∈N*).
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5.(10分)已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值.
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.
【解析】(1)因为an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0),又a=-7,
所以an=1+(n∈N*).
结合函数f(x)=1+的单调性,
可知1>a1>a2>a3>a4,
a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
所以数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)an=1+=1+,已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,
即-100),求导得f′(x)=-+1.令
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f′(x)>0,解得x>;令f′(x)<0,解得0
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