2021高考数学一轮复习课后限时集训46立体几何中的综合问题文北师大版2 3页

课后限时集训46‎ 立体几何中的综合问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2019·昆明模拟)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.‎ ‎(1)若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；‎ ‎(2)设四棱锥MABB1A1与四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求的值．‎ ‎[解](1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，‎ 所以BA⊥平面AA1D1D，‎ 又MA1平面AA1D1D，所以BA⊥MA1.‎ 因为AD＝DM，所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，‎ 所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A，‎ 所以MA1⊥平面AMB，‎ 又MA1平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1.‎ ‎(2)设AD＝1，‎ 则四棱锥MABB1A1的底面ABB1A1的面积SABB1A1＝4，高为AD＝1，‎ 所以四棱锥MABB1A1的体积V1＝SABB1A1×AD＝.‎ 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的面积SABCD＝，高为AA1＝2，所以四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V2＝SABCD×AA1＝3，所以＝.‎ ‎2．(2019·哈尔滨模拟)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．‎ ‎(1)证明：AE⊥PB；‎ ‎(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．‎ - 3 -‎ ‎[解](1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，‎ ‎∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，‎ ‎∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，‎ ‎∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC，‎ ‎∴BD⊥AE.‎ 如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，‎ 又OP平面POB，OB平面POB，OP∩OB＝O，‎ ‎∴AE⊥平面POB，∵PB平面POB，‎ ‎∴AE⊥PB.‎ ‎(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.‎ 又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.‎ ‎∵OP＝OB＝，∴PB＝，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝××＝，‎ 连接AC，则VPABC＝OP·S△ABC＝××＝，‎ 设点C到平面PAB的距离为d，∵VPABC＝VCPAB＝S△PAB·d，∴d＝＝＝.‎ ‎3．(2019·郑州模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.‎ ‎(1)求证：AD⊥PB；‎ ‎(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，‎ - 3 -‎ ‎∴PF⊥AD.‎ ‎∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝，∴BF⊥AD.‎ 又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB平面BFP，∴AD⊥PB.‎ ‎(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.‎ 由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，‎ ‎∴BF⊥平面PAD.‎ 又BF平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，‎ 又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，‎ ‎∴PF⊥平面ABCD.‎ 连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，‎ ‎∴GH⊥平面ABCD.‎ 又GH平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.‎ ‎∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，∴＝＝，‎ ‎∴＝＝，∴GH＝PF＝，‎ ‎∴VDCEG＝VGCDE＝S△CDE·GH ‎＝×DC·CE·sin·GH＝.‎ - 3 -‎