专题32+数列及其综合应用（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料 8页

专题32+数列及其综合应用 ‎1．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和Sn。‎ ‎∴Sn＝4n＋×(－1)＝。‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an－n(n∈N*)。‎ ‎(1)求证：数列{an＋1}是等比数列。‎ ‎(2)令bn＝log3(a1＋1)＋log3(a2＋1)＋…＋log3(an＋1)，对任意n∈N*，是否存在正整数m，使＋＋…＋≥恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。‎ 解析：(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，解得a1＝2，‎ 当n≥2时，由Sn＝an－n得Sn－1＝an－1－n＋1。‎ 两式相减得，Sn－Sn－1＝an－an－1－1，‎ 即an＝3an－1＋2(n≥2)，‎ 则an＋1＝3(an－1＋1)。‎ 又a1＋1＝2＋1＝3，故数列{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列。‎ ‎(2)由(1)知an＋1＝3×3n－1＝3n。‎ 所以bn＝log3(a1＋1)＋log3(a2＋1)＋…＋log3(an＋1)＝1＋2＋…＋n＝，‎ 所以＝＝2，‎ 则＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2 由＋＋…＋≥对任意n∈N*恒成立，得 ‎2≥，即m≤8对任意n∈N*恒成立，‎ 因为1－≥1－＝，所以m≤4。‎ 又因为m∈N*，所以m＝1,2,3,4。‎ ‎5.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.‎ ‎①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1.‎ 所以Tn＝.‎ ‎6.已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．‎ ‎(1)求等比数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ Tn＝·＝.‎ ‎7.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．‎ ‎(1)求该企业2014年年底分红后的资金；‎ ‎(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．‎ 解：设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，‎ 其中n∈N*，‎ 则a1＝2×1 000－500＝1 500，‎ a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．‎ ‎∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，‎ 即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列．‎ ‎∴an－500＝1 000×2n－1，‎ ‎∴an＝1 000×2n－1＋500.‎ ‎(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，‎ ‎∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．‎ ‎(2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，‎ ‎∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．‎ ‎8.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an＝________.‎ 解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，‎ 所以an＝120－10(n－1)＝130－10n；‎ 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，‎ 又a6＝70，所以an＝70×n－6.‎ 答案：an＝ ‎9．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.‎ 所以，d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.‎ 于是，Sn＝1·4＋2·42＋3·43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，‎ ‎4Sn＝1·42＋2·43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.‎ 因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝.‎ 所以Sn＝.‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．‎ 解：(1)由Sn＝2an－2可得a1＝2.‎ 因为Sn＝2an－2，‎ 所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即＝2.‎ 所以数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，‎ 所以an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n＝.‎ 要使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立，‎ 即实数≥k对任意n∈N*恒成立．‎ 设cn＝(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值，为－10，所以k≤－10.‎ 即实数k的取值范围为(－∞，－10]．‎ ‎11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)依题意得 解得∴an＝2n＋1.‎ ‎∴Tn＝n×3n.‎ ‎12.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，‎ 所以f(x)＝3x2－2x.‎ 又因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上，‎ 所以Sn＝3n2－2n.‎ ‎＝＝.‎ ‎13.在数列{an}中，log2an＝2n＋1，令bn＝(－1)n－1·，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　由题意得bn＝(－1)n－1 ‎＝(－1)n－1.‎ 当n为偶数时，Tn＝－＋ ‎－…－＝－；‎ 当n为奇数时，Tn＝－＋ ‎－…＋＝＋，‎ 故Tn＝ ‎14.正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N＋，都有Tn<.‎ ‎(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，‎ 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.‎ 由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.‎ ‎＝<＝.‎ 所以对于任意的n∈N＋，都有Tn＜. ‎