2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ7幂函数与二次函数 4页

【课时训练】幂函数与二次函数 一、选择题 1．(2018 湖南长沙模拟)已知函数 f(x)＝x 1 2 ，则( ) A．∃x0∈R，使得 f(x)<0 B．∀x>0, f(x)>0 C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，使得 f x1 －f x2 x1－x2 <0 D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，使得 f(x1)>f(x2) 【答案】B 【解析】由题得，f(x)＝ x，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)， 并且函数是单调递增函数，所以 A 不成立，根据单调性可知 C 也不成立，而 D 中，当 x1＝0 时，不存在 x2∈[0，＋∞)，使得 f(x1)>f(x2)，所以 D 不成立．故选 B. 2．(2018 黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈ －2，－1，－1 2 ，1 2 ，1，2 ，则使 f(x)＝xα 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由 f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又 f(x)＝xα为奇函数，所以 α只能取－1. 3．(2018 福建六校联考)若幂函数 y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2 的图象不过原点，则 m 的取值是( ) A．－1≤m≤2 B．m＝1 或 m＝2 C．m＝2 D．m＝1 【答案】B 【解析】由幂函数性质可知 m2－3m＋3＝1，∴m＝1 或 m＝2.又函数图象不过原点，∴m2 －m－2≤0，即－1≤m≤2. ∴m＝1 或 m＝2. 4．(2018天津河东区模拟)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称， 则 f(x)的最大值是( ) A．－4 B．4 C．4 或－4 D．不存在 【答案】B 【解析】由题意知，函数 f(x)是偶函数，则 y＝x2＋ax－5 是偶函数，故 a＝0.则 f(x) ＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4.故当 x2＝3 时， f(x)取最大值为 4. 5．(2018 广东惠州一模)已知函数 f(x)＝x2－m 是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数， 则下列成立的是( ) A．f(m)f(0) D．f(m)与 f(0)大小不确定 【答案】A 【解析】因为函数 f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得 m＝3 或 m＝－1.当 m ＝3 时，函数 f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当 m＝－1 时，函数 f(x)＝x3 在 定义域[－2,2]上单调递增，又 m<0，所以 f(m)0.若 a，b∈R，且 a＋b>0，ab<0， 则 f(a)＋f(b)的值( ) A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断 【答案】A 【解析】∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x4m 9 －m 5 －1 是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝ －1.又由题易知函数 f(x)在第一象限是增函数，当 m＝2 时，指数为 4×29－25－1＝2 015>0， 满足题意，当 m＝－1 时，指数为 4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数 f(x) ＝x2 015，它是定义在R 上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－ b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选 A. 二、填空题 9．(2018 河南百校联盟质检)若关于 x 的不等式 x2－4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立，则 m 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－3] 【解析】因为函数 f(x)＝x2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当 x＝1 时，f(x)min＝1－4 ＝－3，所以 m≤－3. 10．(2018 四川遂宁零诊)已知点 P1(x1,2 018)和 P2(x2，2 018)在二次函数 f(x)＝ax2＋ bx＋9 的图象上，则 f(x1＋x2)的值为________． 【答案】9 【解析】依题意得 x1＋x2＝－b a ，则 f(x1＋x2)＝ f －b a ＝a －b a 2＋b －b a ＋9＝9. 11．(2018 福建泉州质检)．若二次函数 f(x)＝ax2－x＋b 的最小值为 0，则 a＋4b 的取 值范围为________． 【答案】[2，＋∞) 【解析】由已知可得，a>0，且判别式Δ＝1－4ab＝0，即 ab＝1 4 ，∴a＋4b≥2 4ab＝2， 即 a＋4b 的取值范围为[2，＋∞)． 12．(2018 江苏兴化三校联考)已知函数 f(x)＝x|x－2|在[0，a]上的值域为[0,1]，则 实数 a 的取值范围是________． 【答案】[1,1＋ 2] 【解析】函数 f(x)＝x|x－2|＝ x2－2x，x>2， 2x－x2，x≤2， 则易知 f(x)在(－∞，1)上单调递增， 在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由 2x－x2＝1(x≤2) 解得 x＝1，由 x2－2x＝1(x>2)解得 x＝1＋ 2，且 f(x)在[0，a]上的值域为[0,1]，所以 1≤a≤1＋ 2. 三、解答题 13．(2018 杭州模拟)已知函数 h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1 为幂函数，且为奇函数． (1)求 m 的值； (2)求函数 g(x)＝h(x)＋ 1－2h x ，x∈ 0，1 2 的值域． 【解】(1)∵函数 h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1 为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，解得 m＝0 或 5. 又 h(x)为奇函数，∴m＝0. (2)由(1)可知 g(x)＝x＋ 1－2x，x∈ 0，1 2 ，令 1－2x＝t，则 x＝－1 2 t2＋1 2 ，t∈[0,1]， ∴f(t)＝－1 2 t2＋t＋1 2 ＝－1 2 (t－1)2＋1∈ 1 2 ，1 ， 故 g(x)＝h(x)＋ 1－2h x ，x∈ 0，1 2 的值域为 1 2 ，1 . 14．(2018 四川成都二诊)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1，F(x)＝ f x ，x>0， －f x ，x<0， 求 F(2) ＋F(－2)的值； (2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立，试求 b 的取值范围． 【解】(1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－ b 2a ＝－1，解得 a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2. ∴F(x)＝ x＋1 2，x>0， － x＋1 2，x<0. ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8. (2)由题意可知， f(x)＝x2＋bx，则原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在(0,1]上恒成立， 即 b≤1 x －x 且 b≥－1 x －x 在(0,1]上恒成立．又1 x －x 的最小值为 0，－1 x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b≤0.故 b 的取值范围是[－2,0]．