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- 2021-07-01 发布
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郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 试卷
文科数学
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的)
1. 已知复数 z 满足 (1 i) 2iz ,则 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 2 4A x x ∣ , 1B x y x ∣ ,则 A B ( )
A. 2,1 B. 2,1 C. 0,1 D. ,2
3. 已知 4cos 5
,且 为第三象限角,则 sin 2 的值等于( )
A. 7
25 B. 7
25
C. 24
25 D. 24
25
4. 已知 m , n 是空间中两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. 若 / /m , n ,则 / /m n
B. 若 m , / /m ,则
C. 若 n , ,则 / /n
D. 若 m ,n , l ,且 m l ,n l ,则
5. 已知数列 na 为等差数列,且 2 2a , 6 6a ,则
1 2 2 3 20 21
1 1 1
a a a a a a
( )
A. 18
19
B. 19
20
C. 20
21
D. 21
22
6. 执行图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A. 452 B. 502 C. 552 D. 602
7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理指出:圆的内接凸四边形
两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上, BDAC,
是其两条对角线, 8BD ,且 ACD 为正三角形,则四边形 ABCD 的面积为( )
A. 38 B. 316 C. 324 D. 332
8. 若函数 ( ) x xf x e e x ,则不等式 (| | 1) (2 ) 0f x f x 的解集为( )
A. [ 1, ) B. ( ,1] C. (0,1) D. ( 1,0)
9.已知向量 OBOA, 的夹角为 60 , ,, 21 OBOA 点C 为 AOB 的平分线上的一点,且
),( RnmOBnOAmOC ,则
n
m ( )
A.
3
1 B.
2
1 C. 2 D. 3
10.“ ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件是( )
A. 0 ACAB
B. CBACBA coscoscossinsinsin
C.
3,, CACBA 成等差数列,且
D. 222 ABBCAC
11. 已知函数 ( ) sin ( 0)f x x 在区间 2 ,3 3
上单调递增,且 ( ) 1f x 在区间[0,2 ] 上有唯一的
实数解,则 的取值范围是( )
A. 30, 4
B. 3 3,4 2
C. 1 3,4 2
D. 1 3,4 4
12.已知函数 ,)( xexf 函数 )(xg 与 )(xf 的图象关于直线 xy 对称,令
0)(
0)(
)( xxg
xxf
xh ,
,
,则方程
22 )( exxhe 解的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.设实数 x , y 满足约束条件
0,
4 0,
5,
y
x y
x y
则 2 5z x y 的最大值为__________.
14.已知向量 ,)2,(ln),,2( baxbya ,且 那么
x
y 的最大值为
15. 已知直线 : 4l y x 与曲线 2: 4C y x ,在曲线C 上随机取一点 M ,则点 M 到直线 l 的距离不
大于 2 的概率为__________.
16. 已知三棱锥 P ABC 的所有棱长都是 2 ,四个顶点 P 、 A 、 B 、C 都在球O 的球面上,记球O 的表
面积是 1S ,过棱 AB 的平面被球O 截得的截面面积的最小值为 2S ,则 1
2
S
S 的值为__________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12 分) 已知 ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边为 a 、b 、 c ,且满足 2sin 2 3 sin 2
Aa B b .
(1)求角 A 的大小;
(2)若 ABC 的外接圆半径为 1,求b c 的最大值.
18.(12 分)为了更好地刺激经济复苏,增加就业岗位,多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管
委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等,各
类商贩所占比例如图.
(1)该市城管委为了更好地服务百姓,打算从流动商贩经营店中随机抽取 100 个进行政策询问.如果按
照分层抽样的方式随机抽取,请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家?
(2)为了更好地了解商户的收入情况,工作人员还对某果蔬经营点最近 40 天的日收入进行了统计(单
位:元),所得频率分布直方图如下.
(i)请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表);
(ii)若从该果蔬经营点的日收入超过 200 元的天数中随机抽取两天,求这两天的日收入至少有一天超
过 250 元的概率.
19.(12 分)设数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 1 1a , 1
2
n n
na Sn
( *n N ).
(1)证明:数列 nS
n
是等比数列;
(2)求数列 nS 的前 n 项和 nT .
20. (12 分)如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面为菱形,且 π
3ABC , E 是 DP 中点.
(1)证明: PB∥平面 ACE ;
(2)若 2AP PB , 2AB PC ,求三棱锥C PAE 的体积.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 ).(ln)1()( Rae
xxxf a
(1)若关于 x 的不等式 1ln)( axxf 对任意的正数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
(2)证明: ).(1
1
3
1
2
1)1ln( Nnnn
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做
的第一个题目计分.
选修 4-4:坐标系与参数方程
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 1 cos
2 sin
x t
y t
(t 为参数, 为直线 l 的倾斜角),以坐标原点 O
为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2sin .
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 2
3
时直线l 的普通方程;
(2)直线l 和曲线 C 交于 A 、 B 两点,点 P 的直角坐标为 1,2 ,求 PA PB 的最大值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 1f x x x a , 2 1g x x .
(1)当 2a 时,解不等式 5f x ;
(2)若对任意 1x R ,都存在 2x R ,使得 2 1g x f x 成立,求实数 a 的取值范围.
郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 答案
文科数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C B C C B A C C D D
13. 14 , 14.
e
1 15.
1
2 16. 6
17.【详解】(1)因为 2sin 2 3 sin 2
Aa B b ,所以 2sin sin 2 3sin sin 2
AA B B ,
因为 (0, )B ,所以sin 0B , 2sin 2 3sin 2
AA ,即 22sin cos 2 3sin2 2 2
A A A ,
因为 (0, )A ,所以sin 02
A ,
则 2cos 2 3sin2 2
A A , 3tan 2 3
A ,
2 6
A ,
3A .………………6 分
(2)因为 ABC 的外接圆半径为 1,所以 32sin 2 32a A ,
则
2
2 2 2 2 2 2 2 3( )2 cos ( ) 3 ( ) 4
b ca b c bc A b c bc b c bc b c ,
即
2( )3 4
b c ,当且仅当 3 b c 时取等号,
故 2 3b c ,b c 的最大值为 2 3 .…………………………………………12 分
18.
19.【解析】(1)由 1
2
n n
na Sn
,及 1 1n n na S S ,得 1
2
n n n
nS S Sn
,
整理,得 1 2 1n nnS n S , 1 21
n nS S
n n
,又 1 11
S ,
nS
n
是以1为首项, 2 为公比的等比列……………………………………6 分
(2)由(1),得 12nnS
n
, 12n
nS n ( *n N ).
0 1 2 11 2 2 2 3 2 2 n
nT n ,①
1 2 12 1 2 2 2 1 2 2n n
nT n n ,②
由② ①,得 2 1 1 21 2 2 2 2 2 1 2 11 2
n
n n n n
nT n n n
……12 分
20.【解析】(1)连接 BD 交 AC 于 F,连接 EF
∵四边形 ABCD 为菱形,∴F 为 AC 中点,
那么 EF∥PB
又∵ EF 平面 ACE, PB 平面 ACE
∴PB∥平面 ACE;………………………………6 分
(2)由勾股定理易知 AP⊥BP 且△ABC 为正三角形,
∵E 为 DP 中点,∴ 1
2C PAE P ACDV V ,
取 AB 中点 M,连接 PM、CM,由几何性质可知 PM=1, 3CM ,
又∵PC=2,∴PC2=PM2+MC2,即 PM⊥MC,∵PM⊥AB,
∴PM⊥平面 ABCD,
∴ 1 1 31 2 33 2 3P ACDV ,
∴ 1 3
2 6C PAE P ACDV V .…………………………12 分
22.【详解】
(1)由 sin2 ,得 sin22 ,∴曲线C 的直角坐标方程为 0222 yyx .
当 = 2
3
时,直线 l 过定点(1,2),斜率 k=﹣ 3 .
∴直线l 的普通方程为 )1(32 xy ,即 0233 yx ;(4 分)
(2)把直线l 的参数方程为
sin2
cos1
ty
tx 代入 0222 yyx ,
得 01)cos(sin22 tt .设 BA, 的参数分别为 21,tt
所以 1),cos(sin2 2121 tttt ,则 1t 与 2t 同号且小于 0,
由 04)cos(sin4 2 ,得 1cossin1cossin 或
∴|PA|+|PB|= )4sin(22)cos(sin2)( 21
tt
∴|PA|+|PB|的最大值为 22 .(10 分)
23.解:(1)当 2a 时,
2 1, 2,
( ) | 1| | 2 | 3, 2 1,
2 1, 1,
x x
f x x x x
x x
∴ ( ) 5f x ,即 2
2 1 5
x
x
或 2 1
3 5
x
或 1
2 1 5
x
x
,
∴ 2x 或 3x ,
∴不等式 ( ) 5f x 的解集为 ( , 3] [2, ) .(4 分)
(2)∵对任意 1x R ,都存在 2x R ,使得 2 1( ) ( )g x f x 成立,
∴ | ( ) | ( )y y f x y y g x , ( ) | 1| | | | ( 1) ( ) | | 1|f x x x a x x a a ,
(当且仅当 0))(1( axx 时等号成立),
( ) | 2 | 1 1g x x ,所以| 1| 1a ,∴ 1 1a 或 1 1a ,
∴ 0a 或 2a ,∴实数 a 的取值范围为 ( , 2] [0, ) .(10 分)