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  • 2021-07-01 发布

河南省郑州外国语学校2021届高三第一学期调研测试数学文科试卷4

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郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 试卷 文科数学 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的) 1. 已知复数 z 满足 (1 i) 2iz  ,则 z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合  2 4A x x ∣ ,  1B x y x  ∣ ,则 A B  ( ) A.  2,1 B.  2,1 C.  0,1 D.  ,2 3. 已知   4cos 5    ,且 为第三象限角,则 sin 2 的值等于( ) A. 7 25 B. 7 25  C. 24 25 D. 24 25  4. 已知 m , n 是空间中两条不同的直线, ,  是两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A. 若 / /m  , n   ,则 / /m n B. 若 m  , / /m  ,则  C. 若 n  ,  ,则 / /n  D. 若 m  ,n  , l   ,且 m l ,n l ,则  5. 已知数列 na 为等差数列,且 2 2a  , 6 6a  ,则 1 2 2 3 20 21 1 1 1 a a a a a a    ( ) A. 18 19 B. 19 20 C. 20 21 D. 21 22 6. 执行图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A. 452 B. 502 C. 552 D. 602 7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理指出:圆的内接凸四边形 两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上, BDAC, 是其两条对角线, 8BD ,且 ACD 为正三角形,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 38 B. 316 C. 324 D. 332 8. 若函数 ( ) x xf x e e x   ,则不等式 (| | 1) (2 ) 0f x f x   的解集为( ) A. [ 1, )  B. ( ,1] C. (0,1) D. ( 1,0) 9.已知向量 OBOA, 的夹角为 60 , ,, 21  OBOA 点C 为 AOB 的平分线上的一点,且 ),( RnmOBnOAmOC  ,则  n m ( ) A. 3 1 B. 2 1 C. 2 D. 3 10.“ ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件是( ) A. 0 ACAB B. CBACBA coscoscossinsinsin  C. 3,, CACBA 成等差数列,且 D. 222 ABBCAC  11. 已知函数 ( ) sin ( 0)f x x   在区间 2 ,3 3      上单调递增,且 ( ) 1f x  在区间[0,2 ] 上有唯一的 实数解,则 的取值范围是( ) A. 30, 4      B. 3 3,4 2      C. 1 3,4 2      D. 1 3,4 4      12.已知函数 ,)( xexf  函数 )(xg 与 )(xf 的图象关于直线 xy  对称,令       0)( 0)( )( xxg xxf xh , , ,则方程 22 )( exxhe  解的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设实数 x , y 满足约束条件 0, 4 0, 5, y x y x y        则 2 5z x y   的最大值为__________. 14.已知向量 ,)2,(ln),,2( baxbya  ,且 那么 x y 的最大值为 15. 已知直线 : 4l y x  与曲线 2: 4C y x  ,在曲线C 上随机取一点 M ,则点 M 到直线 l 的距离不 大于 2 的概率为__________. 16. 已知三棱锥 P ABC 的所有棱长都是 2 ,四个顶点 P 、 A 、 B 、C 都在球O 的球面上,记球O 的表 面积是 1S ,过棱 AB 的平面被球O 截得的截面面积的最小值为 2S ,则 1 2 S S 的值为__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分) 已知 ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边为 a 、b 、 c ,且满足 2sin 2 3 sin 2 Aa B b . (1)求角 A 的大小; (2)若 ABC 的外接圆半径为 1,求b c 的最大值. 18.(12 分)为了更好地刺激经济复苏,增加就业岗位,多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管 委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等,各 类商贩所占比例如图. (1)该市城管委为了更好地服务百姓,打算从流动商贩经营店中随机抽取 100 个进行政策询问.如果按 照分层抽样的方式随机抽取,请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家? (2)为了更好地了解商户的收入情况,工作人员还对某果蔬经营点最近 40 天的日收入进行了统计(单 位:元),所得频率分布直方图如下. (i)请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表); (ii)若从该果蔬经营点的日收入超过 200 元的天数中随机抽取两天,求这两天的日收入至少有一天超 过 250 元的概率. 19.(12 分)设数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 1 1a  , 1 2 n n na Sn  ( *n N ). (1)证明:数列 nS n     是等比数列; (2)求数列 nS 的前 n 项和 nT . 20. (12 分)如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面为菱形,且 π 3ABC  , E 是 DP 中点. (1)证明: PB∥平面 ACE ; (2)若 2AP PB  , 2AB PC  ,求三棱锥C PAE 的体积. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 ).(ln)1()( Rae xxxf a  (1)若关于 x 的不等式 1ln)(  axxf 对任意的正数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)证明: ).(1 1 3 1 2 1)1ln(  Nnnn  请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做 的第一个题目计分. 选修 4-4:坐标系与参数方程 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 1 cos 2 sin x t y t        (t 为参数, 为直线 l 的倾斜角),以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2sin  . (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 2 3   时直线l 的普通方程; (2)直线l 和曲线 C 交于 A 、 B 两点,点 P 的直角坐标为  1,2 ,求 PA PB 的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数   1f x x x a    ,   2 1g x x   . (1)当 2a  时,解不等式   5f x  ; (2)若对任意 1x R ,都存在 2x R ,使得    2 1g x f x 成立,求实数 a 的取值范围. 郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 答案 文科数学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B C C B A C C D D 13. 14 , 14. e 1 15. 1 2 16. 6 17.【详解】(1)因为 2sin 2 3 sin 2 Aa B b ,所以 2sin sin 2 3sin sin 2 AA B B , 因为 (0, )B  ,所以sin 0B  , 2sin 2 3sin 2 AA  ,即 22sin cos 2 3sin2 2 2 A A A , 因为 (0, )A  ,所以sin 02 A  , 则 2cos 2 3sin2 2 A A , 3tan 2 3 A  , 2 6 A  , 3A  .………………6 分 (2)因为 ABC 的外接圆半径为 1,所以 32sin 2 32a A    , 则 2 2 2 2 2 2 2 2 3( )2 cos ( ) 3 ( ) 4 b ca b c bc A b c bc b c bc b c             , 即 2( )3 4 b c ,当且仅当 3 b c  时取等号, 故 2 3b c  ,b c 的最大值为 2 3 .…………………………………………12 分 18. 19.【解析】(1)由 1 2 n n na Sn  ,及 1 1n n na S S   ,得 1 2 n n n nS S Sn   , 整理,得  1 2 1n nnS n S   , 1 21 n nS S n n    ,又 1 11 S  , nS n     是以1为首项, 2 为公比的等比列……………………………………6 分 (2)由(1),得 12nnS n  , 12n nS n    ( *n N ). 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2 n nT n           ,①  1 2 12 1 2 2 2 1 2 2n n nT n n          ,② 由②  ①,得    2 1 1 21 2 2 2 2 2 1 2 11 2 n n n n n nT n n n                 ……12 分 20.【解析】(1)连接 BD 交 AC 于 F,连接 EF ∵四边形 ABCD 为菱形,∴F 为 AC 中点, 那么 EF∥PB 又∵ EF  平面 ACE, PB  平面 ACE ∴PB∥平面 ACE;………………………………6 分 (2)由勾股定理易知 AP⊥BP 且△ABC 为正三角形, ∵E 为 DP 中点,∴ 1 2C PAE P ACDV V  , 取 AB 中点 M,连接 PM、CM,由几何性质可知 PM=1, 3CM  , 又∵PC=2,∴PC2=PM2+MC2,即 PM⊥MC,∵PM⊥AB, ∴PM⊥平面 ABCD, ∴ 1 1 31 2 33 2 3P ACDV        , ∴ 1 3 2 6C PAE P ACDV V   .…………………………12 分 22.【详解】 (1)由  sin2 ,得  sin22  ,∴曲线C 的直角坐标方程为 0222  yyx . 当 = 2 3  时,直线 l 过定点(1,2),斜率 k=﹣ 3 . ∴直线l 的普通方程为 )1(32  xy ,即 0233  yx ;(4 分) (2)把直线l 的参数方程为        sin2 cos1 ty tx 代入 0222  yyx , 得 01)cos(sin22  tt  .设 BA, 的参数分别为 21,tt 所以 1),cos(sin2 2121  tttt  ,则 1t 与 2t 同号且小于 0, 由 04)cos(sin4 2   ,得 1cossin1cossin   或 ∴|PA|+|PB|= )4sin(22)cos(sin2)( 21   tt ∴|PA|+|PB|的最大值为 22 .(10 分) 23.解:(1)当 2a  时, 2 1, 2, ( ) | 1| | 2 | 3, 2 1, 2 1, 1, x x f x x x x x x                ∴ ( ) 5f x  ,即 2 2 1 5 x x      或 2 1 3 5 x     或 1 2 1 5 x x     , ∴ 2x  或 3x   , ∴不等式 ( ) 5f x  的解集为 ( , 3] [2, )   .(4 分) (2)∵对任意 1x R ,都存在 2x R ,使得 2 1( ) ( )g x f x 成立, ∴   | ( ) | ( )y y f x y y g x   , ( ) | 1| | | | ( 1) ( ) | | 1|f x x x a x x a a          , (当且仅当 0))(1(  axx 时等号成立), ( ) | 2 | 1 1g x x    ,所以| 1| 1a   ,∴ 1 1a   或 1 1a    , ∴ 0a  或 2a   ,∴实数 a 的取值范围为 ( , 2] [0, )   .(10 分)

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