专题09 综合训练1（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 12页

‎2017届高考数学（文）大题狂练 专题09 综合训练1‎ ‎1.（本小题满分12分）‎ ‎ 在中为内角的对边，且.‎ ‎⑴求的大小；‎ ‎⑵若,试判断的形状.‎ ‎【答案】（1）；（2）等腰三角形.‎ 试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故，； （2）由（1）得． 变形得 又，得 上述两式联立得， 因为，， 故 所以是等腰三角形.‎ 考点：正弦定理；余弦定理.‎ ‎【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎2.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等比数列的前项和为，且成等比数列.‎ （1） 求的值及数列的通项公式；‎ （2） 若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）成等差数列，∴，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 是等比数列，∴，则，得，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ （2） 由（1）得，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列的前项和.‎ ‎3．（本小题满分12分）‎ 某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛”闲在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；‎ ‎（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设初赛成绩的中位数为，则:‎ 解得，所以初赛成绩的中位数为81.‎ ‎（2）该校学生的初赛分数在有4人，分别记为，分数在有2人，分别记为，在这6人中随机选取2人，总的事件有 共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个.‎ 故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为.‎ 考点：频率分布直方图，古典概型.‎ ‎4．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，已知矩形中，点是边上的点，与相交于点，且，,，现将沿折起，如图2，点的位置记为，此时.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设运用三棱锥的体积公式探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在矩形中，，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，………………………………………4分 又，且，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 直线与是平面内的两条相交直线，‎ 平面，又平面，‎ ‎.……………………………………8分 考点：线面垂直的性质定理及三棱锥的体积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是空间的直线与平面垂直的性质定理的运用及点到面的距离的计算问题.第一问的解答时,务必要依据线面垂直的判定定理证明平面,再借助平面,运用性质定理证明线线垂直；第二问三棱锥的体积的计算时,要运用等积转化法将问题进行转化,再运用可三棱锥的体积公式进行计算,从而使得问题获解.‎ ‎5．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线，的斜率之和为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ 试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，‎ ‎，‎ 所以椭圆的方程为．　‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，又，，三点不重合，∴，‎ 设， ，‎ 由得，‎ 所以，解得，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ 设直线，的斜率分别为，，‎ 则（），‎ 分别将①②式代入（），得，所以，即直线，的斜率之和为定值．‎ 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可得到定值.‎ ‎6．（本小题满分12分）‎ 已知函数有且只有一个零点，其中.‎ （1） 求的值；‎ （2） 设函数，证明：对，，不等式恒成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求解函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，找到极值点代入，即可求解实数的值；（2）由，得，不妨令，引进新函数，只需证，得到函数在上单调递增，进而可证的结论.‎ ‎ (2)由，得，不妨令.‎ 欲证，‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 即证 即证 设，则只需证，化简得.‎ 设，则，‎ ‎ 在上单调递增， ，即，得证.‎ 考点：导数在函数中的综合应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数性质的综合应用和不等式关系的证明，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，此类问题解答中合理运用导数是解答的关键.‎ ‎ 7.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．‎ ‎（1）试判断曲线的形状为何种圆锥曲线；‎ ‎（2）已知直线过点且与曲线交于，两点，若直线的倾斜角为，求的值．‎ ‎【答案】（1）曲线为椭圆；（2）.‎ 试题解析：（1）由消去，得，则曲线为椭圆．‎ ‎（2）由直线的倾斜角为，可设直线的方程为（其中为参数），‎ 代入，得，‎ 所以，从而．‎ 考点：1、参数方程化为普通方程；2、直线参数方程的应用.‎ ‎8. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，记的最小值为.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）是否存在正数，同时满足：？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别对的取值进行讨论解不等式即可；（2）先求出的值，再判断是否存在正数同时满足两个方程.‎ 试题解析： （1）‎ 当时，；‎ 当时， ‎ 当时，‎ 综上，不等式的解集为 ‎ 考点：绝对值不等式，二次方程.‎