数学（理）卷·2018届天津市南开中学高三上学期第一次月考（2017 8页

天津市南开中学2018届高三第一次月考 数学试卷（理科）‎ 一、 选择题（每小题5分，共60分）‎ 1. 已知全集，集合，则为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 2. 设，则是的（ ）条件.‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3. 设，，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 4. 在下列区间中的零点所在区间为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 5. 设函数,则是（ ）.‎ A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数 C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数 6. 已知函数，若,则实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 若在上单调递减，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 二、 填空题（每小题5分，共30分）‎ 9. 已知复数，则 .‎ 10. 不等式的解集是 .‎ 11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 .‎ 12. 函数与函数的图象所谓封闭图形的面积是 .‎ 13. 函数在区间的最小值是 .‎ 14. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 .‎ 三、 解答题（共80分）‎ 15. 在锐角△中，分别为角所对应的边，且 （1） 确定角的大小；‎ （2） 若，且△的面积为，求的值.‎ 16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响.‎ （1） 求该选手被淘汰的概率；‎ （2） 该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.‎ 17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.‎ （1） 设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎求事件发生的概率.‎ （2） 设为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件发生的概率.‎ 18. 如图，在三棱柱中，底面,‎ ‎,, .‎ （1） 证明;‎ （2） 求异面直线和所成角的余弦值;‎ （3） 求二面角的平面角的余弦值.‎ 19. 已知是函数的一个极值点.‎ （1） 求；‎ （2） 求函数的单调区间；‎ （3） 若直线与函数的图象有个交点，求的取值范围.‎ 20. 设函数 （1） 当时，求函数的单调区间；‎ （2） 令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；‎ （3） 当时，令若与的图象有两个交点,,求证：‎ 参考答案 ‎1-4 CACC 5-8 ADCB 9. ‎ 10. 11. 12. 13. 14.‎ ‎15.解：（1）根据正弦定理，由有，于是，由于是锐角三角形，故 ‎（2）， ，故。‎ ‎16.解（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，∴该选手被淘汰的概率：‎ ‎（2）的可能值为1,2,3‎ ‎，，‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴随机变量的数学期望 ‎17.解：（1）由已知，得，所以事件发生的概率为 ‎（2）随机变量的所有可能取值为0, 1,2‎ ‎，，‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 随机变量的数学期望 ‎18.解（1）在三棱柱中，∵，∴‎ 在中，，，，由正弦定理得，‎ ‎∴，即。且，为平面内两条相交直线，‎ ‎∴，又，∴‎ ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ ‎∴，，∴，即异面直线和所成角的余弦值为 ‎（3）可取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，又∵，，∴‎ ‎，不妨取，则，因此有 ‎∴二面角的平面角的余弦值为 ‎19.解：（1）因为，所以，因此 当时，，‎ 由此可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，是函数的一个极值点。于是 ‎（2）由（I）知，，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以的单调增区间是，的单调减区间是 ‎（3）与的图象有个实数根；即有3个实数根；此时，函数的图象与轴有个不同交点，‎ 令 则 令解得或随的变化情况列表如下：‎ 极大值 极小值 为极大值，为极小值.‎ 为使图象与轴有个不同交点，必须的极大值等于零，极小值小于零，即可化为解得 ‎∴‎ 20. 解：（1）定义域为，‎ ‎，‎ 令解得，令解得，‎ ‎∴的单增区间为单减区间为.‎ （2） ‎∴即 令，∴在上单调递增，‎ ‎∴∴，∴‎ （3） 定义域 ‎∴①，②‎ ‎①+②得即，③‎ ‎①-②得即，④‎ 由③④得，不妨设，记，‎ 令∴‎ ‎∴在上单调递增，∴‎ ‎∴即∴‎ ‎∴‎ ‎∴即 令∴∴在上单调递增.‎ 又∴‎ 即∴‎