2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章+第7节　双曲线 12页

第七节　双曲线 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．‎ ‎(对应学生用书第144页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．双曲线的定义 ‎(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．‎ ‎(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，‎ 其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；‎ ‎②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；‎ ‎③当2a>|F1F2|时，M点不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)‎ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．三种常见双曲线方程的设法 ‎(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．‎ ‎(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．‎ ‎2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)‎ ‎(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)‎ ‎(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ A．2　　　　　B．　　　 　　C．　　　　　D．1‎ D　[依题意，e＝＝＝2，所以＝2a，则a2＝1，a＝1.]‎ ‎3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]‎ ‎4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－y2＝1 B．x2－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ A　[由题意可得解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1，故选A．]‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.‎ ‎5　[∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]‎ ‎(对应学生用书第145页)‎ 双曲线的定义及应用 ‎　(1)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)‎ A．48　　　　　　 B．24‎ C．12 D．6‎ ‎(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．12‎ ‎(1)B　(2)B　[(1)由双曲线的定义可得 ‎|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，‎ 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，‎ 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，‎ 因此S＝|PF1|·|PF2|＝24.‎ ‎(2)由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．‎ 所以|PF|＋|PA|的最小值为9.]‎ ‎[规律方法]　1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.‎ ‎2.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a 平方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系.‎ ‎[跟踪训练]　已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　) ‎ ‎【导学号：79140294】‎ A． B． C． D． A　[由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.‎ 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，‎ ‎|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝.]‎ 双曲线的标准方程 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A．－＝1　　 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎(2)(2018·湖北调考)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A．x2－＝1 B．x2－＝1‎ C．x2－＝1 D．x2－y2＝1‎ ‎(1)B　(2)D　[(1)由y＝x可得＝. ①‎ 由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，‎ 可得a2＋b2＝9. ②‎ 由①②可得a2＝4，b2＝5.‎ 所以C的方程为－＝1.‎ 故选B．‎ ‎(2)由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D．]‎ ‎[规律方法]　求双曲线标准方程的主要方法 (1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.‎ (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．‎ ‎(1)C　(2)－＝1　[由焦点F2(5,0)知c＝5.‎ 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.‎ 所以双曲线C的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.‎ 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.‎ 故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]‎ 双曲线的几何性质 ‎◎角度1　双曲线的离心率问题 ‎　(2018·长沙模拟(二))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝相切，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．3‎ A　[由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝x，即bx－ay＝0与圆相切得＝＝，即c＝b，则c2＝3b2＝3(c2－a2)，化简得c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝＝，故选A．]‎ ‎◎角度2　双曲线的渐近线问题 ‎　(2018·合肥二检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ y＝±x　[因为e＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.]‎ ‎◎角度3　双曲线性质的综合应用 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)‎ A． B． C． D． D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．‎ 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．‎ 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，‎ 所以P(2，±3)，|PF|＝3.‎ 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，‎ 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.‎ 故选D．]‎ ‎[规律方法]　与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.‎ (2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．(，2)‎ C．(1，) D．(1,2)‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－ ‎＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ ‎(3)(2017·武汉调研)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________. ‎ ‎【导学号：79140295】‎ ‎(1)C　(2)A　(3)8　[(1)由题意得双曲线的离心率e＝.‎ ‎∴e2＝＝1＋.‎ ‎∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，‎ ‎∴1＜e＜.‎ 故选C．‎ ‎(2)若双曲线的焦点在x轴上，则 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ‎∴－13m2且n<－m2，此时n不存在．故选A．‎ ‎(3)因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by ‎＝0，焦点为(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.]‎