数学（理）卷·2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试（2016 11页

湖南省百所重点中学2017届高三阶段性诊断考试 ‎ 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则的元素的个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2.下列各图中，表示以为自变量的奇函数的图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设向量是互相垂直的两个单位向量，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知为数列的前项和，若且，则等于（ ）‎ A．6 B．12 C.16 D．24‎ ‎5.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.函数的零点不可能在下列哪个区间上（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设区间的长度为，其中.现已知两个区间与的长度相等，则的最小值为（ ）‎ A． B．或 C. D．或 ‎8.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A． 4 B．8 C. 16 D．32‎ ‎9.已知四点共线，，且向量，，则等于（ ）‎ A． B． C. -7 D．7‎ ‎10.若变量满足约束条件，且，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数，，若不论取何值，对任意总是恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据此直方图，这400名大学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是__________.‎ ‎14.若是集合中任意选取的一个元素，则圆与圆内含的概率为__________.‎ ‎15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.‎ ‎16.已知四面体的每个顶点都在球的表面上，，，底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为_______________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知内切圆的半径，其中为的面积，为的周长，求内切圆的面积.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：‎ ‎（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？‎ ‎（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；‎ ‎（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.‎ 相关公式：，. ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知定义在上的函数的周期为3.当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为线段上一点，且，点分别为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面将四棱锥分成左右两部分，求这两部分的体积之比.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求证：不论取何值，数列总是等差数列，并求此数列的公差；‎ ‎（2）设数列的前项和为，试比较与的大小.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知圆经过点，圆的圆心在圆的内部，且直线被圆所截得的弦长为.点为圆上异于的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）当取得最大值时，求. ‎ 湖南省百所重点中学高三阶段性诊断考试 数学试卷参考答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5: DBCBC 6-10:BACBA 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 120 14. 15.21 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由得，‎ ‎∵，∴，.………………4分 又，………………8分 ‎∴，………………9分 故内切圆的面积为.………………10分 ‎18.解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高.………………2分 ‎（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），………………3分 第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元），………………4分 第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元），………………5分 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.………………7分 ‎（3）∵，，，‎ ‎∴，………………9分 ‎∴，………………10分 ‎∴，………………11分 当时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元.………………12分 ‎19.解：（1）∵函数的周期为3，∴，，‎ ‎∴.………………3分 ‎（2）设，则，∵函数的周期为3，‎ ‎∴.………………6分 方程在上有实根在上有实根，………………7分 设，‎ ‎∵，∴，∵，‎ ‎∴，………………10分 又∵，∴，∴，‎ ‎∴实数的取值范围为.………………12分 ‎20.（1）证明：在等腰中，，‎ 则由余弦定理可得，，∴，………………2分 ‎∴，∴，………………3分 ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.………………4分 ‎（2）解：设平面与棱交于点，连接，因为，所以平面，‎ 从而可得.………………6分 延长至点，使，连接，，则 为直三棱柱，………………7分 ‎∵到的距离为，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴.………………12分 ‎21.（1）证明：当时，，∵，∴.………………1分 当时，，∴，‎ ‎∵，∴，………………3分 ‎∴数列是以2为首项1为公差的等差数列，∴.………………4分 ‎∵，………………5分 ‎∴不论取何值，数列总是等差数列，且此数列的公差为.………………6分 ‎（2）解：∵，………………7分 ‎∴，………………9分 ‎，‎ 当时，，∴；………………10分 当时，，∴；………………11分 当时，，∴.………………12分 ‎22.（1）解：易知点在线段的中垂线上，故可设，圆的半径为.………………1分 ‎∵直线被圆所截得的弦长为，且，‎ ‎∴到直线的距离，，‎ ‎∴，或.………………3分 又圆的圆心在圆的内部，∴，圆的方程为.………………4分 ‎（2）证明：当直线的斜率不存在时，，………………5分 当直线与直线的斜率都存在时，设，‎ 直线的方程为，令得.………………6分 直线的方程为，令得.………………7分 ‎∴‎ ‎，‎ 故为定值8.………………9分 ‎（3）解：∵，，‎ ‎∴，………………10分 设，，易知当直线与圆切于第三象限时，‎ 取得最小值，此时.………………11分 此时，，故.………………12分