2021高考数学大一轮复习考点规范练25平面向量的概念及线性运算理新人教A版 8页

考点规范练25　平面向量的概念及线性运算 ‎　考点规范练A册第17页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2019山东师大附中二模)设a,b是非零向量,则“a=2b”是‎“a‎|a|‎=‎b‎|b|‎成立”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:由a,b是非零向量,且a=2b可知a,b方向相同,所以a‎|a|‎‎=‎b‎|b|‎成立;反之不成立.故选B.‎ ‎2.(2019辽宁丹东模拟)设平面向量a,b不共线,若AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则(　　)‎ A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 答案:A 解析:‎∵‎AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),AD‎=AB+BC+‎CD=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2AB,‎ ‎∴AD与AB共线,即A,B,D三点共线,故选A.‎ ‎3.(2019广东六校第一次联考)在△ABC中,D为AB的中点,点E满足EB=4EC,则ED=(　　)‎ A‎.‎5‎‎6‎AB-‎‎4‎‎3‎AC B‎.‎4‎‎3‎AB-‎‎5‎‎6‎AC C‎.‎5‎‎6‎AB+‎‎4‎‎3‎AC D‎.‎4‎‎3‎AB+‎‎5‎‎6‎AC 答案:A 解析:因为D为AB的中点,点E满足EB=4EC,所以BD‎=‎1‎‎2‎BA,EB=‎‎4‎‎3‎CB,所以ED‎=EB+BD=‎4‎‎3‎CB+‎1‎‎2‎BA=‎4‎‎3‎(CA+‎AB)-‎1‎‎2‎AB‎=‎5‎‎6‎AB-‎‎4‎‎3‎AC,故选A.‎ ‎4.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=‎1‎‎2‎AB,BF=‎2‎‎3‎BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为(　　)‎ 8‎ A.-‎1‎‎2‎ B.0 C‎.‎‎1‎‎2‎ D.1‎ 答案:C 解析:如图,‎ EF‎=EA+AC+‎CF ‎=-‎‎1‎‎2‎AB‎+AC-‎‎1‎‎3‎BC ‎=-‎1‎‎2‎AB‎+AC-‎1‎‎3‎(BA+‎AC)‎ ‎=-‎‎1‎‎6‎AB‎+‎2‎‎3‎AC.‎ ‎∵‎EF‎=mAB+nAC,‎ ‎∴m=-‎1‎‎6‎,n=‎2‎‎3‎,∴m+n=‎1‎‎2‎‎.‎故选C.‎ ‎5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA‎+‎BA,则(　　)‎ A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 答案:B 解析:因为2OP=2OA‎+‎BA,所以2‎AP‎=BA.‎ 所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.‎ ‎6.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA‎+OB+‎OC=0,则△ABC的内角A等于(　　)‎ A.30° B.60° C.90° D.120°‎ 答案:B 解析:由OA‎+OB+‎OC=0,得点O为△ABC的重心.‎ 8‎ 又O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.‎ ‎7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM‎=‎AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为(　　)‎ A‎.‎‎1‎‎5‎ B‎.‎‎2‎‎5‎ C‎.‎‎3‎‎5‎ D‎.‎‎4‎‎5‎ 答案:C 解析:设AB的中点为D.由5AM‎=‎AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2‎MD‎.‎ 如图,故C,M,D三点共线,且MD‎=‎‎3‎‎5‎CD,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为‎3‎‎5‎,故选C.‎ ‎8.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A.矩形 B.平行四边形 ‎ C.梯形 D.以上都不对 答案:C 解析:‎∵AD=AB+BC+‎CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,‎ ‎∴AD∥BC.‎又AB与CD不平行,∴四边形ABCD是梯形.‎ ‎9.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC),则AB与AC的夹角为　　　　　. ‎ 答案:90°‎ 解析:由AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故AB与AC的夹角为90°.‎ ‎10.(2019河北石家庄高三摸底考试)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若AB=λAM+μDB,则λμ=　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎9‎ 解析:‎∵DB=AB-AD=AB-BC=‎AB-2BM=3AB-2AM,‎ 8‎ ‎∴‎AB‎=λAM+3μAB-2μAM,∴(1-3μ)AB=(λ-2μ)‎AM‎.‎ ‎∵AB和AM是不共线向量,‎ ‎∴‎‎1-3μ=0,‎λ-2μ=0,‎解得μ=‎1‎‎3‎,‎λ=‎2‎‎3‎,‎‎∴λμ=‎‎2‎‎9‎‎.‎ ‎11.如图,在△ABC中,∠BAC=π‎3‎,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则BE=　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎21‎‎9‎ 解析:如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.‎ 取CF的中点O,连接AO,‎ 则AC+2AB=2AO=3AD,‎ ‎∴A,D,O三点共线,∠BAC=π‎3‎,‎ ‎∴∠CAO=π‎6‎,且AO⊥CF,AC=4,‎ ‎∴AO=2‎3‎‎.∴‎AD=‎‎4‎‎3‎‎3‎‎.‎ 又AE=2ED,∴AE=2ED=‎2‎‎3‎AD=‎‎8‎‎3‎‎9‎‎.‎ 又AB=2,∠BAE=π‎6‎,∴在△ABE中,由余弦定理,得BE2=4+‎64‎‎27‎-2×2‎×‎8‎‎3‎‎9‎×‎3‎‎2‎=‎28‎‎27‎.∴‎BE=‎‎2‎‎21‎‎9‎‎.‎ ‎12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.若EF=λAB+μDC,则λ+μ=　　　　　. ‎ 答案:1‎ 解析:如图,‎ 8‎ 因为E,F分别是AD,BC的中点,‎ 所以EA‎+‎ED=0,BF‎+‎CF=0.‎ 又因为AB‎+BF+FE+‎EA=0,‎ 所以EF‎=AB+BF+EA.‎①‎ 同理EF‎=ED+DC+CF.‎②‎ 由①+②得,2EF‎=AB+‎DC+(EA‎+‎ED)+(BF‎+‎CF)=AB‎+‎DC,所以EF‎=‎1‎‎2‎(AB+‎DC),‎ 所以λ=‎1‎‎2‎,μ=‎1‎‎2‎‎.‎所以λ+μ=1.‎ 能力提升 ‎13.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1)‎ 答案:A 解析:设BO=λBC(λ>1),‎ 则AO‎=AB+BO=‎AB+λBC=(1-λ)AB+‎λAC.‎ 又AO=xAB+(1-x)AC,‎ 所以xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+‎λAC.‎ 所以λ=1-x>1,得x<0.‎ ‎14.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足OP‎=‎‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎OA‎+‎‎1‎‎2‎OB‎+2‎OC,则点P一定为△ABC的(　　)‎ A.边AB中线的中点 ‎ B.边AB中线的三等分点(非重心)‎ C.重心 ‎ 8‎ D.边AB的中点 答案:B 解析:设AB的中点为M,则‎1‎‎2‎OA‎+‎1‎‎2‎OB=‎OM,所以OP‎=‎1‎‎3‎(‎OM+2OC),即3OP‎=‎OM+2OC‎,OP-‎OM=2OC-2OP,即MP=2‎PC‎.‎ 又MP与PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.‎ ‎15.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD‎=‎1‎‎4‎(AB+‎AC),AP‎=AD+‎‎1‎‎8‎BC,则△APD的面积为(　　)‎ A‎.‎‎3‎‎4‎ B‎.‎‎3‎‎2‎ C‎.‎‎3‎ D.2‎‎3‎ 答案:A 解析:取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,‎ 所以AE⊥BC,AE‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC).‎ 又AD‎=‎1‎‎4‎(AB+‎AC),所以点D是AE的中点,AD=‎3‎‎.‎取AF‎=‎‎1‎‎8‎BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP‎=AD+‎1‎‎8‎BC=AD+AF.‎ 因为△APD是直角三角形,AF=‎1‎‎2‎,‎ 所以△APD的面积为‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎×‎3‎=‎3‎‎4‎.‎ ‎16.(2019辽宁五校联考)在△ABC中,点P满足BP=2PC,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若AM=mAB‎,‎AN=nAC(m>0,n>0),则m+2n的最小值为(　　)‎ A.3 B.4 C‎.‎‎8‎‎3‎ D‎.‎‎10‎‎3‎ 答案:A 8‎ 解析:因为BP=2PC,所以AP‎-‎AB=2(AC‎-‎AP),‎ 所以AP‎=‎1‎‎3‎AB+‎2‎‎3‎AC.‎又因为AM=mAB‎,‎AN=nAC,‎ 所以AP‎=‎1‎‎3mAM+‎2‎‎3nAN.‎ 因为M,P,N三点共线,所以‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n=1,‎ 所以m+2n=(m+2n)‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n‎=‎1‎‎3‎+‎4‎‎3‎+‎2‎‎3‎nm‎+‎mn≥‎5‎‎3‎+‎2‎‎3‎×‎2nm‎·‎mn‎=‎5‎‎3‎+‎‎4‎‎3‎=3,‎ 当且仅当nm‎=mn,‎‎1‎‎3m‎+‎2‎‎3n=1,‎即m=n=1时等号成立.‎ 所以m+2n的最小值为3.故选A.‎ ‎17.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是　　　　　. ‎ 答案:1‎ 解析:由平面向量的运算可知BD‎=AD-AB.‎ ‎∵‎AD‎=2AE‎,AB=AH+‎HB=2AF‎-‎AE,‎ ‎∴BD=AD-‎AB‎=2AE-(2AF‎-‎AE)=3AE-2‎AF‎.‎ 又AE‎,‎AF不共线,且BD=xAE+yAF,‎ 即xAE+yAF=3AE-2AF,‎ ‎∴x=3,y=-2,∴x+y=1.‎ 高考预测 ‎18.已知e1,e2为平面内两个不共线向量,MN=2e1-3e2,则NP=λe1+6e2.若M,N,P三点共线,则λ=　　　　　. ‎ 答案:-4‎ 解析:因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得MN=kNP,所以2e1-3e2=k(λe1+6e2).‎ 8‎ 又e1,e2为平面内两个不共线的向量,‎ 所以‎2=kλ,‎‎-3=6k,‎解得λ=-4.‎ 8‎