2019届二轮复习（文）选修4-4第1节坐标系课件（31张）（全国通用） 31页

第 1 节　坐标系 最新考纲　 1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 . 1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 知 识 梳 理 λ x μ y 2. 极坐标系与点的极坐标 (1) 极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O ( 极点 ) ；自极点 O 引一条射线 Ox ( 极轴 ) ；再选定一个长度单位、一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常 取 方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系 . (2) 极坐标：平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画，这两个数组成的有序数对 ( ρ ， θ ) 称为点 M 的极坐标 . 其中 ρ 称为点 M 的极径， θ 称为点 M 的 . 逆时针 极角 3. 极坐标与直角坐标的互化 x 2 ＋ y 2 4. 圆的极坐标方程 ρ ＝ r (0 ≤ θ ＜ 2π) ρ ＝ 2 r cos θ ρ ＝ 2 r sin θ 5. 直线的极坐标方程 θ ＝ α ρ cos θ ＝ a ρ sin θ ＝ b 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) 答案　 (1)× 　 (2)√ 　 (3)√ 　 (4)× 诊 断 自 测 解析　 ∵ y ＝ 1 － x (0 ≤ x ≤ 1) ， ∴ ρ sin θ ＝ 1 － ρ cos θ (0 ≤ ρ cos θ ≤ 1) ； 答案 　 A 3. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 若曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ ，则曲线 C 的直角坐标方程为 ________. 解析 　 由 ρ ＝ 2sin θ ，得 ρ 2 ＝ 2 ρ sin θ ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 y ＝ 0. 答案 　 x 2 ＋ y 2 － 2 y ＝ 0 4. (2017· 北京卷 ) 在极坐标系中，点 A 在圆 ρ 2 － 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 0 上，点 P 的坐标为 (1 ， 0) ，则 | AP | 的最小值为 ________. 解析 　 由 ρ 2 － 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 0 ，得 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y ＋ 4 ＝ 0 ，即 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ， 圆心 坐标为 C (1 ， 2) ，半径长为 1. ∵ 点 P 的坐标为 (1 ， 0) ， ∴ 点 P 在圆 C 外 . 又 ∵ 点 A 在圆 C 上， ∴ | AP | min ＝ | PC | － 1 ＝ 2 － 1 ＝ 1. 答案 　 1 考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换 解 　设曲线 C ′ 上任意一点 P ′( x ′ ， y ′) ， 因此曲线 C ′ 的焦点 F 1 ( － 5 ， 0) ， F 2 (5 ， 0). ∴ 点 A ′ 的坐标为 (1 ，－ 1 ). (2) 设 P ′( x ′ ， y ′) 是直线 l ′ 上任意一点 . ∴ y ＝ x 为所求直线 l ′ 的方程 . 考点二　极坐标与直角坐标的互化 解　 (1) 圆 O ： ρ ＝ cos θ ＋ sin θ ，即 ρ 2 ＝ ρ cos θ ＋ ρ sin θ ， 圆 O 的直角坐标方程为： x 2 ＋ y 2 ＝ x ＋ y ， 即 x 2 ＋ y 2 － x － y ＝ 0 ， 则直线 l 的直角坐标方程为： y － x ＝ 1 ，即 x － y ＋ 1 ＝ 0. 由 C 2 ： ρ ＝ 2cos θ ，得 ρ 2 ＝ 2 ρ cos θ . ∴ x 2 ＋ y 2 ＝ 2 x ，即 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1. 所以 C 2 是圆心为 (1 ， 0) ，半径 r ＝ 1 的圆 . 所以直线 C 1 过圆 C 2 的圆心 . 因此两交点 A ， B 的连线段是圆 C 2 的直径 . 所以两交点 A ， B 间的距离 | AB | ＝ 2 r ＝ 2. 所以直线的方程可化为 ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝ 2 ， 从而直线的直角坐标方程为 x ＋ y － 2 ＝ 0. 得 ρ 2 － 8 ρ cos θ － 10 ρ sin θ ＋ 16 ＝ 0 ， 所以 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 － 8 ρ cos θ － 10 ρ sin θ ＋ 16 ＝ 0. 考点三　曲线极坐标方程的应用 解 　 (1) 设 P 的极坐标为 ( ρ ， θ )( ρ >0) ， M 的极坐标为 ( ρ 1 ， θ )( ρ 1 >0). 由 | OM |·| OP | ＝ 16 得 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝ 4cos θ ( ρ >0). 因此 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≠0). (2) 设点 B 的极坐标为 ( ρ B ， α )( ρ B >0). 由题设知 | OA | ＝ 2 ， ρ B ＝ 4cos α ，于是 △ OAB 的面积 解 　 (1) 消去 t ，得 C 1 的普通方程 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ a 2 ， ∴ 曲线 C 1 表示以点 (0 ， 1) 为圆心， a 为半径的圆 . 将 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中， 得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 － 2 ρ sin θ ＋ 1 － a 2 ＝ 0. 若 ρ ≠0 ，由方程组得 16cos 2 θ － 8sin θ cos θ ＋ 1 － a 2 ＝ 0 ， 由 已知 tan θ ＝ 2 ，可得 16cos 2 θ － 8sin θ cos θ ＝ 0 ， 从而 1 － a 2 ＝ 0 ，解得 a ＝－ 1( 舍去 ) ， a ＝ 1. 当 a ＝ 1 时，极点也为 C 1 ， C 2 的公共点，且在 C 3 上 . 所以 a ＝ 1. 规律方法 　 1.(1) 例 3 － 1 中利用极径、极角的几何意义，表示 △ AOB 的面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程 . (2) 例 3 － 2 第 (1) 题将曲线 C 1 的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力 . 第 (2) 题中关键是理解极坐标方程的含义，消去 ρ ，建立与直线 C 3 ： θ ＝ α 0 的联系，进而求 a . 2. 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解 . C 1 的极坐标方程为 ρ 2 cos 2 θ ＋ 2 ρ 2 sin 2 θ － 2 ＝ 0 ， C 2 的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ . 联立 θ ＝ α ( ρ ≥ 0) 与 C 2 的极坐标方程得 | OB | 2 ＝ 4sin 2 α ，