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- 2021-07-01 发布
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§12.1 合情推理与演绎推理
考纲展示►
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发展中的作用.
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
考点1 类比推理
类比推理
(1)①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有________的推理.
(2)特点:是由________到________的推理.
答案:(1)这些特征 (2)特殊 特殊
[教材习题改编]在Rt△ABC中,两直角边分别为a,b,设h为斜边上的高,则=+.由此类比:三棱锥S-ABC中的三条侧棱SA,SB,SC两两垂直,且长度分别为a,b,c,设棱锥底面ABC上的高为h,则________.
答案:=++
解析:直角三角形的两直角边对应该三棱锥的三条两两垂直的侧棱,直角三角形斜边上的高对应该三棱锥底面上的高,类比得=++.
事实上,在直角三角形中=+是由等面积法得到的,而在三棱锥中可由等体积法求得=++
[典题1] (1)[2017·江西南昌模拟]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若EF∥AB,EF到CD与AB的距离之比为m∶n,则可推算出:EF=.用类比的方法,推想出下面问题的结果.在上面的梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点,设△OAB,△ODC的面积分别为S1,S2,则△OEF的面积S0与S1,S2的关系是( )
A.S0=
B.S0=
C.=
D.=
[答案] C
[解析] 在平面几何中类比几何性质时,一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质;由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质.
故由EF=类比到关于△OEF的面积S0与S1,S2的关系是=.
(2)[2017·贵州六校联考]在平面几何中,△ABC的∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比的结论是________________.
[答案] =
[解析] 由平面中线段的比转化为空间中面积
的比可得,=.
[点石成金] 类比推理的分类及处理方法
类别
解读
适合题型
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解
已知熟悉定义类比新定义
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键
平面几何与立体几何、等差数列与等比数列
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性,可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
考点2 归纳推理
归纳推理
(1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的________都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.
(2)特点:是由________到________、由________到________的推理.
答案:(1)全部对象
(2)部分 整体 个别 一般
(1)[教材习题改编]若数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则归纳出该数列的通项公式为________.
答案:an=(n∈N*)
解析:由a1=1,an+1=,得a2=,a3=,a4=,…,
归纳猜想an=(n∈N*).
(2)[教材习题改编]观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++… +>2,1+++… +>,…,由此猜测第n个不等式为________________(n∈N*).
答案:1+++…+>
解析:观察得出规律,左边为2n-1个连续自然数的倒数和,右边的数分母为2、分子为n,由此可以猜测第n个不等式为1+++…+>.
合情推理的两种常见方法:归纳;类比.
(1)数列2,5,11,20,x,47,… 中的x等于________.
答案:32
解析:观察数列前几项,有5-2=3,11-5=6,20-11=9,
由此可归纳得出x-20=12,即x=32.
(2)若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项的和为Sn,则数列 为等差数列,且通项为=a1+(n-1)·.类似地,若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1,公比为q,前n项的积为Tn,则________.
答案:数列 为等比数列,且通项为=b1()n-1
解析:类比等差数列的结论,得数列 为等比数列,且通项为=b1()n-1.
[考情聚焦] 归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法,也是创新的一种思维方式,因而成为高考考查的亮点,常以选择题、填空题的形式出现.
主要有以下几个命题角度:
角度一
数的归纳
[典题2] (1)两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49 B.62,63
C.75,76 D.84,85
[答案] D
[解析] 由已知图形中座位的排序规律可知,被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号知,只有D符合条件.
(2)[2017·陕西模拟]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=________.
[答案] n2
[解析] ∵1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…,
∴归纳可得1+2+…+n+…+2+1=n2.
[点石成金] 解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.
角度二
式的归纳
[典题3] (1)观察下列等式:
(1+1)=2×1;
(2+1)(2+2)=22×1×3;
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5;
…
照此规律,第n个等式可为________.
[答案] (n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)
[解析] 观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项分别为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).
(2)已知f(x)=,f1(x)=f′(x),f2(x)=[f1(x)]′,…,fn+1(x)=[fn(x)]′,n∈N*,经计算:f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,照此规律,则fn(x)=________.
[答案]
[解析] 因为f1(x)=,
f2(x)=,f3(x)=,…,
所以fn(x)=.
(3)[2017·山东日照模拟]设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.
[答案] f(2n)≥(n∈N*)
[解析] ∵f(21)=,f(22)>2=,f(23)>,f(24)>,
∴归纳,得f(2n)≥(n∈N*).
[点石成金] 1.与数字有关的等式的推理,观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号后可解.
2.与不等式有关的推理,观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.
角度三
形的归纳
[典题4] (1)[2017·重庆模拟]某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( )
A.21 B.34 C.52 D.55
[答案] D
[解析] 因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,
所以第10年树的分枝数为21+34=55.
(2)下面图形由小正方形组成,请观察图①至图④的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是________.
[答案]
[解析] 由题图知,第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n,∴总个数为.
[点石成金] 与图形变化有关的推理的解题策略
合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.
考点3 演绎推理
1.演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由________到________的推理.
答案:一般 特殊
2.“三段论”是演绎推理的一般模式
(1)大前提——已知的________.
(2)小前提——所研究的________.
(3)结论——根据一般原理,对________做出的判断.
答案:(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况
演绎推理的两个易错点:推理形式错误;大(小)前提错误.
(1)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是________.
(2)“所有是3的倍数的数都是9的倍数,m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的,错误的原因是________.
答案:(1)推理形式错误 (2)大前提错误
解析:(1)大前提与小前提之间没有包含关系,虽然使用了“三段论”,但推理形式错误.
(2)因为大前提错误,所以尽管推理的形式正确,结论仍然是错的.
[典题5] 已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1).
(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点,-对称;
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
(1)[证明] 函数f(x)的定义域为全体实数,让取一点(x,y),它关于点对称的点的坐标为(1-x,-1-y).
由已知y=-,
则-1-y=-1+=-,
f(1-x)=-=-
=-=-,
∴-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点对称.
(2)[解] 由(1)知,-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.
故f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
[点石成金] 演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[方法技巧] 1.合情推理的过程
→→→
2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.
[易错防范] 1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误.
2.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.
3.演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,解题时应注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.
真题演练集训
1.[2016·北京卷]袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案:B
解析:
解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C错误.故选B.
解法二:设袋中共有2n个球,最终放入甲盒中k个红球,放入乙盒中s个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k个球,其中红球有s个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s(个).所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.
2.[2014·北京卷]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
答案:B
解析:设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件,因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,故选B.
3.[2015·山东卷]观察下列各式:
C=40;
C+C=41;
C+C+C=42;
C+C+C+C=43;
……
照此规律,当n∈N*时,
C+C+C+…+C=________.
答案:4n-1
解析:由题知,
C+C+C+…+C=4n-1.
4.[2015·福建卷]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:
其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于________.
答案:5
解析:设a,b,c,d∈{0,1},在规定运算法则下满足:a⊕b⊕c⊕d=0,可分为下列三类情况:①4个1:1⊕1⊕1⊕1⊕=0,②2个1:1⊕1⊕0⊕0=0,③0个1:0⊕0⊕0⊕0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得:
由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,∴1⊕1⊕0⊕1≠0;
由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,∴1⊕0⊕0⊕1=0;
由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,∴1⊕0⊕1⊕1≠0.
∴错码可能出现在x5上或x1与x4都错.
由已知只有第k位发生码元错误,故错误为x5,
若x5=0,则检验方程组都成立,故k=5.
5.[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
答案:A
解析:由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.
课外拓展阅读
归纳不准确致误分析
[典例] 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项,如表所示.
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去,则a2 013+a2 014+a2 015等于( )
A.1 004 B.1 007 C.1 011 D.2 014
[易错分析] 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系,归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种:一是归纳时找不准“前几项”的规律,胡乱猜测;二是弄错奇、偶项的关系.本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项,并且逐一递增,即a2n=n(n∈N*),各个点的横坐标对应数列的奇数项,正负交替后逐一递增,并且满足a4n-3+a4n-1=0(n∈N*),如果弄错这些关系就会得到错误的结果,如认为当n为偶数时an=n,就会得到a2 013+a2 014+a2 015=2 014的错误结论,而选D.
[解析] a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,…,偶数项为1,2,3,…,故a2 013+a2 015=0,a2 014=1 007,故a2 013+a2 014+a2 015=1 007.
[答案] B
归纳总结
由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.