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- 2021-07-01 发布
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山东省济宁市第一中学2020届
高三下学期二轮质量检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合M={x|-4b,则( )
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
4.已知a=(cos α,sin α),b=(cos(-α),sin(-α)),那么“a·b=0”是“α=kπ+(k∈Z)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A. B. C.2 D.3
6.已知正项等比数列{an}满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an使得=32,则+的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知四棱锥M-ABCD,MA⊥平面ABCD,AB⊥BC,∠BCD+∠BAD=180°,MA=2,BC=2,∠ABM=30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A.20π B.22π C.40π D.44π
8.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+,若△ABC的面积为2,则|AP|的最小值为( )
A. B. C.3 D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
10.“科技引领,布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年,某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元,我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比,这12年间的研发投入(单位:十亿元)用图中的条形图表示,研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图,下列结论正确的有( )
A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大
B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小
C.该企业连续12年来研发投入逐年增加
D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加
11.将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A.最大值为,图象关于直线x=对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点对称
12.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间内单调递增
B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值
C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为________.
14.已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为27,则实数a=________,展开式中含x2的项的系数是________.
15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种.
16.若函数f(x)=aln x(a∈R)与函数g(x)=在公共点处有共同的切线,则实数a的值为________.
四、 解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.
(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn.
18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-4bc=3a2.
(1)求sin A;
(2)若3csin A=asin B,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
19.(12分)已知如图1直角梯形ABCD,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,E
为AB的中点,沿EC将梯形ABCD折起(如图2),使平面BED⊥平面AECD.
(1)证明:BE⊥平面AECD;
(2)在线段CD上是否存在点F,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.
21.(12分)某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内,按[0,5],(5,10],(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;
男
女
总计
网购迷
20
非网购迷
45
总计
100
(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ,求ξ的期望.
附:K2=,n=a+b+c+d.
临界值表:
P(K2≥k0)
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.(12分)已知函数f(x)=x-1+aex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=-1时,设-10且f(x1)+f(x2)=-5,证明:x1-2x2>-4+.
参考答案
一、单选
1.答案 C
解析 ∵N={x|-2b时,3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b0,n>0),
当且仅当n=2m,即m=4,n=8时“=”成立,
所以+的最小值为.
又tan∠POF==,所以等腰△POF的高h=×=,所以S△PFO=××=.
7.答案 C
解析 因为∠BCD+∠BAD=180°,
所以A,B,C,D四点共圆,∠ADC=∠ABC=90°.
由tan 30°=,得AB=2,所以AC==6.
设AC的中点为E,MC的中点为O,则OE∥MA,
因为MA⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.
点O到M,A,C,D四点距离相等,
易知点O为四面体MACD外接球的球心,
所以OC==,
所以该球的表面积S=4π·OC2=40π.
8.答案 B
解析 设||=3a,||=b,
则△ABC的面积为×3absin =2,
解得ab=,
由=m+=m+,
且C,P,D三点共线,可知m+=1,即m=,
故=+.
以AB所在直线为x轴,以A为坐标原点,过A作AB的垂线为y
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C,
则=,=(2a,0),=,
则||2=2+2=b2+a2+ab+b2=b2+a2+1
≥2+1=ab+1=3.
故的最小值为.
二、 多选
9.答案 BD
解析 在A中,AB与CE的夹角为45°,所以直线AB与平面CDE不垂直,故A不符合;
在B中,AB⊥CE,AB⊥DE,CE∩DE=E,所以AB⊥平面CDE,故B符合;
在C中,AB与EC的夹角为60°,所以直线AB与平面CDE不垂直,故C不符合;
在D中,AB⊥DE,AB⊥CE,DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,故D符合.
10.答案 ABC
解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%,所以该选项正确;
对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19,所以该选项正确;
对于选项C,该企业连续12年来研发投入逐年增加,所以该选项是正确的;
对于选项D,该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加,如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的.
11.答案 BCD
解析 将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos-1=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1的图象;
再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-cos 2x的图象,对于函数g(x),它的最大值为
,由于当x=时,g(x)=-,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;
由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;
它的最小正周期为=π,故C正确;
当x=时,g(x)=0,故函数g(x)的图象关于点对称,故D正确.
12.答案 BC
解析 对于A,函数y=f(x)在区间内有增有减,故A不正确;
对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;
对于C,当x∈(-2,2)时,恒有f′(x)>0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故C正确;
对于D,当x=3时,f′(x)≠0,故D不正确.
三、 填空
13.答案 1 200
解析 由题意知高三年级抽取了100-24-26=50(人),
所以该校学生总人数为600÷=1 200.
14.答案 2 23
解析 由已知可得,(2-12)(1+a)3=27,则a=2.
所以(2-x2)(1+ax)3=(2-x2)(1+2x)3=(2-x2)(1+6x+12x2+8x3),
所以展开式中含x2的项的系数是2×12-1=23.
15.答案 600
解析 根据题意,分2步进行分析:先从其他5个字母中任取4个,有C=5(种)选法,再将“ea”看成一个整体,与选出的4个字母全排列,有A=120(种)情况,则不同的排列有5×120=600(种).
16.答案
解析 函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),f′(x)=,g′(x)=,
设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0),
由于在公共点处有共同的切线,
∴=,解得x0=4a2,a>0.
由f(x0)=g(x0),可得aln x0=.
联立解得a=.
三、 解答题
17.(1)证明 数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.
由bn=an+n,那么bn+1=an+1+n+1,
∴===2;
即公比q=2,b1=a1+1=2,
∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)可得bn=2n,
∴an+n=2n,
∴数列{an}的通项公式为an=2n-n,
∴数列{an}的前n项和为
Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n
=(21+22+…+2n)-(1+2+3+…+n)
=2n+1-2--.
18.解 (1)因为3b2+3c2-4bc=3a2,
所以b2+c2-a2=bc,
在△ABC中,由余弦定理得,
cos A==,
所以sin A===.
(2)因为3csin A=asin B,
所以3ac=ab,即b=.
因为△ABC的面积为,所以bcsin A=,
即××=,解得c=2.
所以b=3,
在△ABC中,由余弦定理得,
a2=b2+c2-2bccos A=6,
所以a=,
所以△ABC的周长为2+3+.
19.(1)证明 连接AC,则AC⊥DE,
又平面BDE⊥平面AECD,平面BDE∩平面AECD=DE,AC⊂平面AECD,
所以AC⊥平面BDE,
所以AC⊥BE.
又BE⊥CE,AC∩CE=C,AC,CE⊂平面AECD,
所以BE⊥平面AECD.
(2)解 如图,由(1)得BE⊥平面AECD,所以BE⊥AE.
所以EA,EB,EC两两垂直,分别以,,方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系E-xyz如图所示,则E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),
设F(a,0,2),0≤a≤2,
所以=(a-2,0,2),=(a,-2,2),
设平面FAB的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=2,得n=(2,2,2-a).
取平面EBC的法向量为m=(1,0,0).
所以cos〈m,n〉===,
所以a=1.
所以线段CD上存在点F,且F为CD中点时,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.
20.解 (1)由已知可得=,
所以a2=b2,
所以椭圆C的方程为+=1,
将点代入方程得b2=2,即a2=3,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0).
①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,
不妨设A,B,E(1,1),F(1,-1),
所以|AB|=,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=;
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线l与椭圆方程得
可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,
则x1+x2=,x1x2=,
所以|AB|===,
因为圆心(0,0)到直线l的距离d=,
所以|EF|2=4=,
所以|AB|·|EF|2=·
==·=,
因为k2∈[0,+∞),
所以|AB|·|EF|2∈,
综上,|AB|·|EF|2的取值范围是.
21.解 (1)在直方图中,从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01+0.02+0.04)×5=0.35,
后2个小矩形的面积之和为(0.04+0.03)×5=0.35,所以中位数位于区间(15,20]内.
设直方图的面积平分线为15+x,则0.06x=0.5-0.35=0.15,得x
=2.5,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
(2)由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100=35,
所以“网购迷”共有35人,由列联表知,其中女性有20人,则男性有15人.
所以补全的列联表如下:
男
女
总计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
总计
60
40
100
因为K2==≈6.593>5.024,查表得P(K2≥5.024)=0.025,
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
(3)由表知,甲,乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为,.
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X,Y,
由题意知,X~B,Y~B.
所以E(X)=2×=1,E(Y)=2×=.
因为ξ=X+Y,
则E(ξ)=E(X)+E(Y)=,
所以ξ的期望为.
22.(1)解 f′(x)=1+aex,
当a≥0时,f′(x)>0,
则f(x)在R上单调递增.
当a<0时,令f′(x)>0,得xln,
则f(x)的单调递减区间为.
综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;
当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明 方法一 设g(x)=f(x)+2x=-ex+3x-1,则g′(x)=-ex+3,
由g′(x)<0得x>ln 3;
由g′(x)>0得x-4+.
方法二 ∵f(x1)+f(x2)=-5,
∴x1=+-x2-3,
∴x1-2x2=+-3x2-3,
设g(x)=ex-3x,则g′(x)=ex-3,
由g′(x)<0得x0得x>ln 3,
故g(x)min=g(ln 3)=3-3ln 3.
∵-10,
∴x1-2x2>e-1+3-3ln 3-3=-3ln 3,
∵3ln 3=ln 27<4,
∴x1-2x2>-4+.