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  • 2021-07-01 发布

【数学】山东省济宁市第一中学2020届高三下学期二轮质量检测试题

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山东省济宁市第一中学2020届 高三下学期二轮质量检测试题 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.已知集合M={x|-4b,则(  )‎ A.ln(a-b)>0 B‎.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|‎ ‎4.已知a=(cos α,sin α),b=(cos(-α),sin(-α)),那么“a·b=‎0”‎是“α=kπ+(k∈Z)”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )‎ A. B. C.2 D.3 ‎6.已知正项等比数列{an}满足:a‎2a8=‎16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an使得=32,则+的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎7.已知四棱锥M-ABCD,MA⊥平面ABCD,AB⊥BC,∠BCD+∠BAD=180°,MA=2,BC=2,∠ABM=30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为(  )‎ A.20π B.22π C.40π D.44π ‎8.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+,若△ABC的面积为2,则|AP|的最小值为(  )‎ A. B. C.3 D. 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)‎ ‎9.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(  )‎ ‎10.“科技引领,布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年,某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元,我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比,这12年间的研发投入(单位:十亿元)用图中的条形图表示,研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图,下列结论正确的有(  )‎ A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大 B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小 C.该企业连续12年来研发投入逐年增加 D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加 ‎11.将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(  )‎ A.最大值为,图象关于直线x=对称 B.图象关于y轴对称 C.最小正周期为π D.图象关于点对称 ‎12.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(  )‎ A.函数y=f(x)在区间内单调递增 B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值 C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增 D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为________.‎ ‎14.已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为27,则实数a=________,展开式中含x2的项的系数是________.‎ ‎15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种.‎ ‎16.若函数f(x)=aln x(a∈R)与函数g(x)=在公共点处有共同的切线,则实数a的值为________.‎ 四、 解答题(本题共6小题,共70分)‎ ‎17.(10分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.‎ ‎(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn.‎ ‎18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+‎3c2-4bc=‎3a2.‎ ‎(1)求sin A;‎ ‎(2)若3csin A=asin B,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ ‎19.(12分)已知如图1直角梯形ABCD,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,E 为AB的中点,沿EC将梯形ABCD折起(如图2),使平面BED⊥平面AECD.‎ ‎  ‎ ‎(1)证明:BE⊥平面AECD;‎ ‎(2)在线段CD上是否存在点F,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.‎ ‎21.(12分)某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内,按[0,5],(5,10],(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成6组,其频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;‎ ‎(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;‎ 男 女 总计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 总计 ‎100‎ ‎(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:‎ 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 ‎80‎ ‎40‎ ‎16‎ ‎24‎ 乙 ‎90‎ ‎60‎ ‎18‎ ‎12‎ 将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ,求ξ的期望.‎ 附:K2=,n=a+b+c+d.‎ 临界值表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎22.(12分)已知函数f(x)=x-1+aex.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当a=-1时,设-10且f(x1)+f(x2)=-5,证明:x1-2x2>-4+.‎ 参考答案 一、单选 ‎1.答案 C 解析 ∵N={x|-2b时,‎3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b0,n>0),‎ 当且仅当n=‎2m,即m=4,n=8时“=”成立,‎ 所以+的最小值为.‎ 又tan∠POF==,所以等腰△POF的高h=×=,所以S△PFO=××=.‎ ‎7.答案 C 解析 因为∠BCD+∠BAD=180°,‎ 所以A,B,C,D四点共圆,∠ADC=∠ABC=90°.‎ 由tan 30°=,得AB=2,所以AC==6.‎ 设AC的中点为E,MC的中点为O,则OE∥MA,‎ 因为MA⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.‎ 点O到M,A,C,D四点距离相等,‎ 易知点O为四面体MACD外接球的球心,‎ 所以OC==,‎ 所以该球的表面积S=4π·OC2=40π.‎ ‎8.答案 B 解析 设||=‎3a,||=b,‎ 则△ABC的面积为×3absin =2,‎ 解得ab=,‎ 由=m+=m+,‎ 且C,P,D三点共线,可知m+=1,即m=,‎ 故=+.‎ 以AB所在直线为x轴,以A为坐标原点,过A作AB的垂线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),D(‎2a,0),B(‎3a,0),C,‎ 则=,=(‎2a,0),=,‎ 则||2=2+2=b2+a2+ab+b2=b2+a2+1‎ ‎≥2+1=ab+1=3.‎ 故的最小值为.‎ 二、 多选 ‎9.答案 BD 解析 在A中,AB与CE的夹角为45°,所以直线AB与平面CDE不垂直,故A不符合;‎ 在B中,AB⊥CE,AB⊥DE,CE∩DE=E,所以AB⊥平面CDE,故B符合;‎ 在C中,AB与EC的夹角为60°,所以直线AB与平面CDE不垂直,故C不符合;‎ 在D中,AB⊥DE,AB⊥CE,DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,故D符合.‎ ‎10.答案 ABC 解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%,所以该选项正确;‎ 对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19,所以该选项正确;‎ 对于选项C,该企业连续12年来研发投入逐年增加,所以该选项是正确的;‎ 对于选项D,该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加,如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的.‎ ‎11.答案 BCD 解析 将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,‎ 得到y=cos-1=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1的图象;‎ 再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-cos 2x的图象,对于函数g(x),它的最大值为 ,由于当x=时,g(x)=-,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;‎ 由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;‎ 它的最小正周期为=π,故C正确;‎ 当x=时,g(x)=0,故函数g(x)的图象关于点对称,故D正确.‎ ‎12.答案 BC 解析 对于A,函数y=f(x)在区间内有增有减,故A不正确;‎ 对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;‎ 对于C,当x∈(-2,2)时,恒有f′(x)>0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故C正确;‎ 对于D,当x=3时,f′(x)≠0,故D不正确.‎ 三、 填空 ‎13.答案 1 200‎ 解析 由题意知高三年级抽取了100-24-26=50(人),‎ 所以该校学生总人数为600÷=1 200.‎ ‎14.答案 2 23‎ 解析 由已知可得,(2-12)(1+a)3=27,则a=2.‎ 所以(2-x2)(1+ax)3=(2-x2)(1+2x)3=(2-x2)(1+6x+12x2+8x3),‎ 所以展开式中含x2的项的系数是2×12-1=23.‎ ‎15.答案 600‎ 解析 根据题意,分2步进行分析:先从其他5个字母中任取4个,有C=5(种)选法,再将“ea”看成一个整体,与选出的4个字母全排列,有A=120(种)情况,则不同的排列有5×120=600(种).‎ ‎16.答案  解析 函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),f′(x)=,g′(x)=,‎ 设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0),‎ 由于在公共点处有共同的切线,‎ ‎∴=,解得x0=‎4a2,a>0.‎ 由f(x0)=g(x0),可得aln x0=.‎ 联立解得a=.‎ 三、 解答题 ‎17.(1)证明 数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.‎ 由bn=an+n,那么bn+1=an+1+n+1,‎ ‎∴===2;‎ 即公比q=2,b1=a1+1=2,‎ ‎∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)可得bn=2n,‎ ‎∴an+n=2n,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n-n,‎ ‎∴数列{an}的前n项和为 Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n ‎=(21+22+…+2n)-(1+2+3+…+n)‎ ‎=2n+1-2--.‎ ‎18.解 (1)因为3b2+‎3c2-4bc=‎3a2,‎ 所以b2+c2-a2=bc,‎ 在△ABC中,由余弦定理得,‎ cos A==,‎ 所以sin A===.‎ ‎(2)因为3csin A=asin B,‎ 所以‎3ac=ab,即b=.‎ 因为△ABC的面积为,所以bcsin A=,‎ 即××=,解得c=2.‎ 所以b=3,‎ 在△ABC中,由余弦定理得,‎ a2=b2+c2-2bccos A=6,‎ 所以a=,‎ 所以△ABC的周长为2+3+.‎ ‎19.(1)证明 连接AC,则AC⊥DE,‎ 又平面BDE⊥平面AECD,平面BDE∩平面AECD=DE,AC⊂平面AECD,‎ 所以AC⊥平面BDE,‎ 所以AC⊥BE.‎ 又BE⊥CE,AC∩CE=C,AC,CE⊂平面AECD,‎ 所以BE⊥平面AECD.‎ ‎(2)解 如图,由(1)得BE⊥平面AECD,所以BE⊥AE.‎ 所以EA,EB,EC两两垂直,分别以,,方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系E-xyz如图所示,则E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),‎ 设F(a,0,2),0≤a≤2,‎ 所以=(a-2,0,2),=(a,-2,2),‎ 设平面FAB的法向量为n=(x,y,z),‎ 则 取x=2,得n=(2,2,2-a).‎ 取平面EBC的法向量为m=(1,0,0).‎ 所以cos〈m,n〉===,‎ 所以a=1.‎ 所以线段CD上存在点F,且F为CD中点时,使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.解 (1)由已知可得=,‎ 所以a2=b2,‎ 所以椭圆C的方程为+=1,‎ 将点代入方程得b2=2,即a2=3,‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0).‎ ‎①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,‎ 不妨设A,B,E(1,1),F(1,-1),‎ 所以|AB|=,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=;‎ ‎②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立直线l与椭圆方程得 可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以|AB|===,‎ 因为圆心(0,0)到直线l的距离d=,‎ 所以|EF|2=4=,‎ 所以|AB|·|EF|2=· ‎==·=,‎ 因为k2∈[0,+∞),‎ 所以|AB|·|EF|2∈,‎ 综上,|AB|·|EF|2的取值范围是.‎ ‎21.解 (1)在直方图中,从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01+0.02+0.04)×5=0.35,‎ 后2个小矩形的面积之和为(0.04+0.03)×5=0.35,所以中位数位于区间(15,20]内.‎ 设直方图的面积平分线为15+x,则0.06x=0.5-0.35=0.15,得x ‎=2.5,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.‎ ‎(2)由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100=35,‎ 所以“网购迷”共有35人,由列联表知,其中女性有20人,则男性有15人.‎ 所以补全的列联表如下:‎ 男 女 总计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 因为K2==≈6.593>5.024,查表得P(K2≥5.024)=0.025,‎ 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.‎ ‎(3)由表知,甲,乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为,.‎ 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X,Y,‎ 由题意知,X~B,Y~B.‎ 所以E(X)=2×=1,E(Y)=2×=.‎ 因为ξ=X+Y,‎ 则E(ξ)=E(X)+E(Y)=,‎ 所以ξ的期望为.‎ ‎22.(1)解 f′(x)=1+aex,‎ 当a≥0时,f′(x)>0,‎ 则f(x)在R上单调递增.‎ 当a<0时,令f′(x)>0,得xln,‎ 则f(x)的单调递减区间为.‎ 综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;‎ 当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)证明 方法一 设g(x)=f(x)+2x=-ex+3x-1,则g′(x)=-ex+3,‎ 由g′(x)<0得x>ln 3;‎ 由g′(x)>0得x-4+.‎ 方法二 ∵f(x1)+f(x2)=-5,‎ ‎∴x1=+-x2-3,‎ ‎∴x1-2x2=+-3x2-3,‎ 设g(x)=ex-3x,则g′(x)=ex-3,‎ 由g′(x)<0得x0得x>ln 3,‎ 故g(x)min=g(ln 3)=3-3ln 3.‎ ‎∵-10,‎ ‎∴x1-2x2>e-1+3-3ln 3-3=-3ln 3,‎ ‎∵3ln 3=ln 27<4,‎ ‎∴x1-2x2>-4+.‎