2018-2019学年湖北省部分重点中学高一下学期期中考试数学试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年湖北省部分重点中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，设的夹角为，则有 ‎，又因为，所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.‎ ‎2．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵a>0，b>0，∴2a＋b>0，∴m≤(2a＋b)＝5＋＋，而＋≥4(当且仅当a＝b时取等号)，∴m≤9.‎ ‎3．在平行四边形中，是边的中点，与相交于，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，如图是边的中点，所以，所以 ‎，故选A.‎ ‎4．已知，点，为所在平面内的点，且，，， 则点为的 ( )‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 ‎【答案】B ‎【解析】将题中的向量等式变形，利用向量的运算法则化简，得到点到三角形三个顶点的距离相等，得出点为中垂线的交点，从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即 ‎ 又因为 ，所以，‎ 即 所以即 所以 ,‎ 所以，同理 ‎ 所以为的外心。‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的基本运算，解题的关键是判断出点到三角形三个顶点的距离相等，属于一般题。‎ ‎5．已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由计算角的大小，又因为，则通过正弦定理计算角 ,从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎，，且 可得,即 ‎ 所以 ‎ 又因为 ，所以由正弦定理可得 ‎ ‎ 即 ‎ 又因为在中，‎ 所以 ,即 所以 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算以及解三角形问题，属于一般题。‎ ‎6．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设底面边长为,‎ 它的外接球与内切球表面积之比为,即.‎ ‎7．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）‎ A．3 B． C． D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以由正弦定理得,‎ 因此，选C.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎8．若一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意可知不等式的解集是，所以等价于，解得，所以的解集为，故选D．‎ ‎【考点】一元二次不等式，指数不等式．‎ ‎9．已知，不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由不等式的解集是，可得b、c的值,代入不等式f（x）+t≤4后变量分离得t≤2x2﹣4x﹣2，x∈[﹣1，0]，设g（x）＝2x2﹣4x﹣2，求g(x)在区间[﹣1，0]上的最小值可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由不等式的解集是可知-1和3是方程的根，,解得b=4，c=6,,‎ 不等式化为 ，‎ 令g（x）＝2x2﹣4x﹣2，，由二次函数图像的性质可知g(x)在上单调递减，则g（x）的最小值为g(0)=-2，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题.‎ ‎10．已知中，，，的对边分别是，，，且，，，则边上的中线的长为( )‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中线，在中，由余弦定理即可计算AB边上中线的长．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 由余弦定理，可得，‎ 整理可得：，解得或3．‎ 如图，CD为AB边上的中线，则，‎ 在中，由余弦定理，可得：，或，‎ 解得AB边上的中线或．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．‎ ‎11．已知的内角，，的对边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C，再根据正弦定理得c，最后根据余弦定理求最大值，由三角形三边关系确定范围，即得的周长的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，，,‎ 因此.即,因为,所以,选B.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎12．已知是等边的外接圆，其半径为4，是所在平面内的动点，且，则的最大值为( )‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，结合平面向量基本定理，表示所求式子，计算最值，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合题意，绘制图形，可知 ‎，代入得到 故 而故要计算最大值，可知当的时候，取到最大值，故最大值为，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 考查了平面向量基本定理，关键表示出所求式子，难度偏难。‎ 二、填空题 ‎13．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在正四棱锥中，顶点S在底面上的投影为中心O，即底面ABCD，在底面正方形ABCD中，边长为2，所以OA=，在直角三角形SOA中 ‎ 所以 ‎ 故答案为 ‎14．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎5，‎ 则向量在向量上的投影为1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，熟练掌握基本性质是求解问题的关键．‎ ‎15．若关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得,令,所以,代入不等式得 或,不等式解集为 ‎【考点】一元二次不等式解法与三个二次关系 ‎16．已知在边长为2的正方形中，，分别为边，的中点，若为线段 上的动点，则的最大值为___．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用比例设出点的坐标，代入，求得表达式后利用二次函数的性质求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则.‎ ‎∴‎ 设，且，即，故.‎ ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴当时，数量积取得最大值为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量数量积的最大值的求法，考查了建立平面直角坐标系，用坐标来表达点，数量积也用坐标来表示的方法.属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，不共线，，‎ ‎（1）若，求k的值，并判断，是否同向；‎ ‎（2）若，与夹角为，当为何值时，．‎ ‎【答案】（1）k=-1,反向；（2）k=1‎ ‎【解析】由题得由此能求出，，与反向．由，得，由数量积运算求出．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，即 又向量，不共线，，‎ 解得，，即，‎ 故与反向．‎ ‎，与夹角为，‎ ‎ ，‎ 又故，‎ 即解得．‎ 故时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，是基础题．‎ ‎18．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用已知条件通过正弦定理，即可求解角A的大小，得到答案；‎ ‎（2）由题意，利用余弦定理求出边，然后利用三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ 由正弦定理可得，‎ 即 ‎∴，是的内角，∴，∴‎ ‎（2）∵，.‎ 由余弦定理可得：，‎ 即：‎ 可得，又，∴，‎ 的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎19．如图所示，在边长为8的正三角形中，，依次是，的中点，，，，，，为垂足，若将绕旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式，可求其表面积．‎ ‎【详解】‎ 旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，‎ 因为△ABC为边长为8的正三角形，所以BD=4，AD=‎ ‎△EBH中，∠B=60°，EB=4，BH=HD=DG=2，EH=，‎ 圆锥底面半径HD=2，高EH=，圆柱底面半径BD=4，高为AD=.‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 所以几何体的表面积为： ‎ 所以，‎ ‎， ‎ 所求几何体积为 ‎【点睛】‎ 本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．‎ ‎20．某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为。轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元。假定运行过程中轮船以速度匀速航行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．‎ ‎【答案】值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为0元 ‎【解析】根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值；‎ 算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设燃料费为，‎ 当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，‎ 当时，，可得，解之得．‎ 其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元．‎ 航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元 因此，航行100海里的总费用为 ‎，‎ 当且仅当时，即时，‎ 航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．‎ 答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．‎ ‎21．设函数. ‎ ‎（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.‎ ‎（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）据题意知，对于，有恒成立，‎ ‎ 即恒成立，因此 ，‎ 设，所以，‎ 函数在区间上是单调递减的，‎ ‎ ， ‎ ‎（2）由对于一切实数恒成立，可得， ‎ 由存在，使得成立可得，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求该函数的定义域；‎ ‎（2）当时，如果对任何都成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，将函数的图像沿轴方向平移，得到一个偶函数的图像，设函数的最大值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）最小值为1.‎ ‎【解析】（1）解真数大于0的不等式即可；‎ ‎（2）通过分离参数，将问题转化为恒成立问题，进而求得a的取值范围；‎ ‎（3）先设出平移t个单位，再根据g（x）为偶函数得，然后根据对数函数的单调性求得h（a），最后由基本不等式求得h（a）的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）a=-1时，f（x）=log2（ax2+2x-a）=log2（-x2+2x+1），‎ 解-x2+2x+1＞0得 所以函数的定义域为 ‎（2） 当a≤0时，f（x）≥1即log2（ax2+2x-a）≥1，‎ 即ax2+2x-a-2≥0对任何x∈[2，3]都成立，‎ 则 ‎ 令，因为当x∈[2，3]时是单调递增函数 所以 所以，又因为 所以a的取值范围为 ‎（3）当a＜0时，设将f（x）的图象沿x轴方向平移t个单位得到g（x）的图象，‎ 则g（x）=[a（x+t）2+2（x+t）-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，‎ 因为g（x）为偶函数，所以g（-x）=g（x），‎ 则[ax2-（2at+2）x+at2+2t-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，‎ 所以2at+2=0，所以 所以 ‎ 因为a＜0所以x=0时， ‎ 因为此时，解得 所以 即的最小值为1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域、函数奇偶性、函数最值，属中档题。‎