专题37+简单的线性规划（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习 32页

‎【学习目标】‎ 了解参变量的含义，会解含参变量的简单不等式，会探究含参变量的不等式在某范围内恒成立等简单问题，从而培养分类与整合的数学思想．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求解含参变量不等式时，往往需要分类讨论，而分类时讲究分类标准的一致性，并注意确保“不重不漏”.‎ ‎2.解决含参变量恒成立的不等式问题的步骤是：‎ ‎(1)分离变量：即将参变量与主变量分开，分别分布在不等式两侧.‎ ‎(2)求最值：要使h(a)≥f(x)恒成立，只需h(a)≥f(x)max；要使h(a)≤f(x)恒成立，只需h(a)≤f(x)min.‎ 同时应注意若不能分离变量，则将恒成立问题转化化归为函数问题，利用数形结合求解.‎ ‎【高考模拟】‎ 一、单选题 ‎1．若关于的混合组有解，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 问题等价于函数的图象与条件表示的可行域有交点，作出可行域，由图可知必有且图象在过两点的图象之间，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.‎ ‎2．若满足条件函数,则的最大值是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题知可行域如图所示， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎3．设满足约束条件，则的最小值为 A． 12 B． 13 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，根据可行域确定取值范围，最后根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ 作可行域，根据可行域确定,‎ ‎【点睛】‎ 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎4．若，满足不等式组，则成立的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，之后再作出直线 ‎，所以满足条件的区域为可行域内落在直线的下方的区域，之后分别求出其图形对应的面积，利用概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图所示：‎ 故选A. ‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关几何概型的问题，涉及到的知识点有不等式组表示的平面区域，需要利用不等式表示的区域，找出满足条件的区域，随后求得其对应的几何度量，利用公式求得结果，在解题的过程中，求对应图形的面积是解题的关键.‎ ‎5．若满足不等式组则的最小值为（ ）‎ A． 7 B． 6 C． D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数取得最值时的点的坐标，最后求解最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用线性规划知识求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．已知实数满足条件，则的最大值是( )‎ ‎ A . B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率即可求出其最大值．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如图，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎7．已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．‎ ‎【详解】‎ 由不等式组作可行域如图:‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，属于中档题．‎ ‎8．若不等式组所表示的平面区域内存在点，使成立，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． [-1，+∞） B． (-∞,-1] C． (-∞,1] D． [1, +∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，根据可行域满足的条件判断可行域边界x+ay+2=0的位置，列出不等式解出．‎ ‎【详解】‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查线性规划和不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 平面区域内存在点使成立,表示点B在直线x+ay+2=0下方，理解这一点是解题的关键.‎ ‎9．已知实数，满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，数形结合得点到直线距离的平方以及点到距离的平方为最优解，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选C. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10．已知变量满足条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A． 8 B． 7 C． 6 D． 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，去掉绝对值符号，然后求解最优解，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 变量x，y满足条件的可行域如图：‎ ‎【考点】‎ 线性规划 ‎【点睛】‎ 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎11．已知实数， 满足不等式组则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即原点到阴影区域的距离的平方求解．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如图，‎ ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎12．已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 ‎，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎13．已知实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组对应的可行域，再结合斜率数形结合分析得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 先作出不等式组对应到可行域如图所示，‎ 解方程组得,‎ 表示可行域内的点（x,y）到原点的直线的斜率，‎ 所以当点在A点时，斜率最大=，‎ 没有最小值，无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3，‎ 所以的取值范围为.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理的能力.(2) 表示点和点对应的直线的斜率，表示点到点的距离的平方. ‎ ‎14．若为区域内任意一点，则的最大值为（ ）‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论 ‎【详解】‎ 不是的可行域如图：‎ A（﹣2，0），B（2，4），C（0，﹣2），‎ z=（λ2+1）x+λ2y﹣6λ2=λ2（x+y﹣6）+x当z=0时，表示恒过（0，6）点的直线，z=（λ2+1）x+λ2y﹣6λ2的几何意义是经过（z，6）的直线系，最优解一定在A、B、C之间代入A、B、C坐标，‎ 可得z的值分别为：zA=﹣8λ2﹣2，zB=2，zC=﹣8λ2，‎ 所以z的最大值为2：‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15．已知实数满足则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：的意义为可行域内的点与原点的距离，画出可行域，根据几何图像中的距离，结合点到直线的距离公式，即可求出范围. ‎ 详解：根据题意作出可行域：‎ 点睛：本题考查线性规划中的非线性目标函数，要与几何公式相结合，用几何意义求解，常见的非线性目标函数由距离型，斜率型以及距离平方型.‎ ‎16．若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：画出可行域，将形为，表示可行域内的点与连线的斜率，由图知最小，最大，从而可得结果.‎ 详解：‎ 点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎17．已知动点满足：，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． －1 D． －2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 根据指数函数的性质，由可得，即，‎ 动点满足：，‎ 该不等式组表示的平面区域如图：‎ 设， ，‎ 表示以为圆心的圆的半径，‎ 由图形可以看出，当圆与直线相切时半径最小，则，‎ ‎，解得，‎ 即的最小值为.‎ 故选：D. ‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.‎ ‎18．已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组对应的平面区域，‎ 由图象可知点A到直线x+y=2的距离最小，‎ 此时d==，‎ 即|PA|的最小值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎19．设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=logax（a＞1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 点睛：利用线性规划求最值的步骤 ‎①在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎20．已知实数满足若，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意作出可行域，可看成斜率，从而转化为线性规划求解即可．‎ 详解：‎ 点睛：本题考查了学生的化简运算能力及数形结合的思想应用，同时考查了线性规划的应用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎21．由不等式组,组成的区域为,作关于直线的对称区域,点和点分别为区域和内的任一点,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的区域，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为，由此可得所求．‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的区域，如下图阴影部分所示．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将区域和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，体现了转化思想方法在解题中的运用．‎ ‎22．已知实数、满足约束条件，若使得目标函数取最大值时有唯一最优解，则实数的取值范围是_______________（答案用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出最大时，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎23．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共个，生产一个遥控小车模型需分钟，生产一个遥控飞机模型需分钟，生产一个遥控火车模型需分钟，已知总生产时间不超过分钟，若生产一个遥控小车模型可获利元，生产一个遥控飞机模型可获利元，生产一个遥控火车模型可获利元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车,根据题意即可得出每天的利润；先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值．‎ ‎【详解】‎ 设每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车 模型，依题得，实数满足线性约束条件目标函数为 ‎ ‎，化简得 ，‎ 作出不等式组表示的可行域(如图所示)：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的实际应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．‎ ‎24．设x、y满足条件 则z=4x-2y最小值是_______‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可 ‎【详解】‎ 如图：‎ ‎，则，‎ 当即时 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题。‎ ‎25．已知实数，满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎26．变量满足约束条件则目标函数的取值范围是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组对应的可行域，再对x,y分类讨论得到z的表达式，再利用数形结合分析得到每一种情况下z的取值范围，最后综合得解. ‎ ‎【详解】‎ 不等式组对应的可行域如下图所示，‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分类讨论的分析推理能力.(2)解答本题的关键是对x,y分类讨论转化为两个线性规划的问题来解答.‎ ‎27．已知， 满足约束条件若的最大值为4，则的值为__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值 ‎【详解】‎ 作为不等式组所对应的可行域，如图阴影部分，‎ 则，若过A时求得最大值为4，则，此时目标函数为，变形为，平移直线，当经过A点时，纵截距最大，此时z有最大值为4，满足题意；若过B时求得最大值为4，则，此时目标函数为，变形为，平移直线，当经过A点时，纵截距最大，此时z有最大值为6，不满足题意，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．‎ ‎28．已知实数、满足约束条件 且目标函数既有最大值又有最小值，那么实数的取值范围是__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可行域包含原点，可得直线斜率的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划．根据线性规划的性质，目标线性函数有最大值又有最小值，则目标函数对应的直线上下平移后可脱离可行域，注意可行域是包含原点的区域，从而可得解．‎ ‎29．若实数满足.若的最小值为，则.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】作出可行域如图所示，由目标函数的几何意义可知过点时取最小值.‎ 由得，‎ 则，解得.‎ 点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值. ‎ ‎30．已知实数满足不等式组则关于的方程两根之和的最大值是______；‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】分析：作出不等式组表示的平面区域，列出目标函数，根据得，利用直线在轴上的截距求出最大.‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎