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- 2021-07-01 发布
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第16讲 高考中的圆
题型一| 直线与圆及圆与圆
(2016·江苏高考)如图16-1,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
图16-1
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.
[解题指导] (1)设圆心N(6,y0)求出y0―→写出圆N的方程
(2)l∥OA―→设l的方程―→弦心距、半弦长、半径间的关系―→求l的方程
(3)设P,Q的坐标建立P,Q坐标间的关系
圆与圆的位置关系
[解] 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以00),由=及x0>0得x0=4,∴Q(4,2). 5分
∴直线AQ的方程为y=-(x-6),即x+y-6=0,
由得即B(-3,9),
∴AB==9,从而t== h.
即货运汽车需要1 5分钟时间. 8分
(2)点P到直线AB的垂直距离最近,则垂足为C.
由(1)知直线AB的方程为x+y-6=0, 12分
∵P(4,8),则直线PC的方程为x-y+4=0,
联立上述两式得即点C的坐标为(1,5). 16分
2.(2016·南京盐城二模)如图16-5,某城市有一块半径为1(单位:百米)的圆形景观,圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.
图16-5
问:A,B两点应选在何处可使得小道AB最短?
[解] 如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.
设A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1),
则直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
因为AB与圆C相切,所以=1.
化简得 ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2. 5分
因此AB==
=
=.
因为0<a<1,0<b<1,所以0<a+b<2, 12分
于是AB=2-(a+b).
又ab=2(a+b)-2≤2,
解得0<a+b≤4-2或a+b≥4+2.
因为0<a+b<2,所以0<a+b≤4-2,
所以AB=2-(a+b) ≥2-(4-2)=2-2, 14分
当且仅当a=b=2-时取等号,
所以AB的最小值为2-2,此时a=b=2-.
即当A,B两点离道路的交点都为2-(百米)时,小道AB最短. 16分