江苏省宜兴中学2020届高三模拟试卷（6）数学试题 13页

宜兴中学高三年级数学模拟（六）‎ 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据，，…，的方差，其中 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．‎ 锥体的体积，其中是椎体的底面积，是椎体的高．‎ 一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1．已知，，则________．‎ ‎2．已知，则________．‎ ‎3．已知，为实数，为虚数单位，且，则________．‎ ‎4．已知数列满足：，，则________．‎ ‎5．已知为偶函数，且．当时，，若，，则________．‎ ‎6．已知随机变量，当方差取到最大值时，在的展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为________．‎ ‎7．已知点为圆：上的动点，过原点的直线与曲线：交于，两点，则的最大值为________．‎ ‎8．已知轴为曲线的切线，则的值为________．‎ ‎9．在直线上任取一点，过点向圆做两条切线，其切点分别为，，则直线经过一个定点，该定点坐标为________．‎ ‎10．已知正三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿线段折起，求使四棱锥体积最大时，四棱锥的外接球的体积为________．‎ ‎11．已知，则的最小值________．‎ ‎12．________．‎ ‎13．已知函数，，若函数 恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为________．‎ ‎14．已知点，在内，且，则________．‎ 二．解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在中，，，．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求的长度．‎ ‎16．如图所示，正四棱锥中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为上的一点，且，则为何值时，平面?并求此时三棱锥的体积．‎ ‎17．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知，米，Q到直线OM，ON的距离分别为300米，米．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．‎ ‎（Ⅰ）求有轨观光直路AB的长；‎ ‎（Ⅱ）已知在景点Q的正北方600米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径（在变化），且t分钟时，米．当喷泉表演开始时，一观光车（大小忽略不计）正从休息区B沿（Ⅰ）中的轨道以米/分钟的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．‎ ‎18．已知圆：，抛物线C：的焦点为，过的直线与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线与圆有交点．‎ ‎（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求面积的取值范围．‎ ‎19．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）当函数有两个极值点，，且．证明：．‎ ‎20．设等差数列的首项为0，公差为，；等差数列的首项为0，公差为b，．由数列和构造数表，与数表．‎ 记数表中位于第行第列的元素为，其中．．‎ 记数表中位于第行第列的元素为，其中．‎ 如：，．‎ ‎（Ⅰ）设，，请计算，，；‎ ‎（Ⅱ）设，，试求，的表达式（用，表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数表.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4—2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵，．‎ ‎（Ⅰ）求AB；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ B．【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，满足，求面积的最大值与最小值．‎ C．【选修4—5：不等式选讲】‎ 已知，，为正实数，满足．证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．如图，在三棱柱中，，平面，，，分别为，中点．‎ ‎（Ⅰ）求直线DE与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎23．设N为正整数，区间（其中，，，，）同时满足下列两个条件：‎ ‎①对任意，存在k使得；‎ ‎②对任意，存在，使得（其中，2，，，，，N）．‎ ‎（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）‎ ‎（Ⅱ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由．‎ 数学Ⅰ答案 一．填空题 ‎1． 2． 3．1 4．64 5．1 6． 7．7‎ ‎8． 9． 10． 11． 12．‎ ‎13． 14．‎ 二．解答题 ‎15．解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 在中，由正弦定理得：．‎ ‎（Ⅱ）∵∴为钝角.‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴‎ ‎16．解：（Ⅰ）‎ 在中，∵，‎ 连接BD，设BD与AC交于点O，连接OE．‎ ‎∵，分别是PD，BD的中点，∴．‎ 又∵平面，平面AEC ‎∴平面AEC．‎ ‎（Ⅱ）连接PO，显然，，‎ ‎∴平面PAC，又∵平面PAC ‎∴．当时，平面BDF．‎ 在中，，，‎ ‎，‎ ‎∴，．‎ 此时，．‎ ‎17．解：（Ⅰ）‎ 以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，‎ 由题意知，，．‎ 直线方程为 （1）‎ 由，得，故．‎ ‎∴直线的方程为 （2）‎ 联立（1）（2），得，即．‎ 米．‎ 故有轨观光直路的长米．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，，‎ ‎∴．‎ 若喷泉不会喷洒到观光车上，则满足对恒成立．‎ 即．‎ 当时，上式成立；‎ 当时，，，‎ 当且仅当时取等号．‎ ‎∵，恒成立．‎ 故观光车在行驶途中不会被喷泉喷洒到．‎ ‎18．解：（Ⅰ）由题意知，l的斜率存在且不为0．‎ 设l：，则l′：．‎ ‎∴得：，‎ 直线的斜率的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ l直线方程与抛物线方程联立，得：．‎ 由韦达定理，‎ ‎∴．‎ 设点O到直线l的距离为．‎ 由．‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴．‎ 所以面积的取值范围是．‎ ‎19．解：（Ⅰ）当时，．‎ ‎∴．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎∴在处的切线方程．‎ ‎（Ⅱ）的定义域．‎ ‎；‎ ‎①当时，即 ‎，此时在单调递减；‎ ‎②当时，即或，‎ ‎（i）当时，‎ ‎∴在，单调递减，‎ 在单调递增．‎ ‎（ii）当时，‎ ‎∴在单调递减；‎ 综上所述，当时，在单调递减；‎ 当时，在，单调递减，‎ 在单调递增．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有两个极值点，，‎ 且满足：‎ 由题意知，．‎ ‎∴‎ 令．‎ 则.‎ 在单调递增，在单调递减．‎ ‎∴．‎ 即．‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意，数列的通项公式为，‎ 数列的通项公式为．‎ 得，，则，．‎ 得，，则．‎ ‎（Ⅱ）证明：已知，，得数列的通项公式为，‎ 数列的通项公式为．‎ 所以，，，．‎ 所以，，‎ ‎，，．‎ 所以，若，则存在，，使.‎ 若，则存在，，，使．‎ 因此，对于整数，考虑集合，‎ 即．‎ 下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．‎ 反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，‎ 则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．‎ 又因为集合中共有7个元素，‎ 所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，‎ 不妨设为，，其中，，．‎ 则这两个元素的差为7的倍数，即．‎ 所以，与矛盾．‎ 所以假设不成立，即原命题成立．‎ 即集合中至少有一元素是7的倍数，‎ 不妨设该元素为，，．‎ 则存在，使，，，‎ 即，，，．‎ 由已证可知，若，则存在，，使．‎ 而，所以为负整数，设，则，‎ 且，，，．‎ 所以，当，时，对于整数，若，则成立．‎ ‎21．【选做题】‎ A．[选修4—2：矩阵与变换]‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）由题意，得．‎ ‎∴．‎ B．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 解：（Ⅰ）由，，‎ 的直角坐标方程 由（为参数），消参，得：‎ 曲线的普通方程 ‎（Ⅱ）由P的极坐标为，得直角坐标，‎ 则．‎ 点M到直线l的距离，‎ ‎．∴‎ 故面积的最大值，最小值．‎ C．[选修4—5：不等式选讲]‎ 解：（Ⅰ）由题意知，a，b，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ 故 又∵‎ ‎∴，当且仅当，“”成立．‎ ‎（Ⅱ）∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴，当且仅当，“”成立．‎ ‎【必做题】‎ ‎22．解：（Ⅰ）方法一：定义法 ‎∵平面，平面 ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴平面，又∵平面 ‎∴‎ 显然，‎ 在中，．‎ 在中，，即．‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，显然，．‎ 设点到面的距离为，‎ 直线与平面所成角为 由等体积法，‎ ‎∴．‎ 故直线DE与平面所成角的正弦值．‎ 方法二：空间向量（略）‎ ‎（Ⅱ）方法一：找平面角 由（Ⅰ）知，平面，‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，．‎ ‎∴．‎ 故二面角的大小．‎ 方法二：空间向量（略）‎ ‎23．解：（Ⅰ）可以等于，但不能等于．‎ ‎（Ⅱ）的最大值存在，且为200．‎ 解答如下：‎ 由②，得，，…，互不相同，且对于任意，．‎ 不妨设．‎ 如果，那么对于条件②，‎ 当时，不存在，使得．‎ 这与题意不符，故．‎ 如果，那么，‎ 这与条件②中“存在，使得”矛盾，‎ ‎∴．‎ ‎∴，，，，‎ 则．‎ 故．‎ 若存在，这与条件②中“存在，使得”矛盾，‎ ‎∴．‎ 故的最大值存在，且为200．‎