四川省宜宾市第四中学2020届高三一诊模拟数学（理）试题 10页

四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数满足，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在中，，，，则等于 ‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A．2 B．‎1 ‎C． D．‎ ‎6．若椭圆经过点，则椭圆的离心率=‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设数列满足，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种 A．48 B．‎72 ‎C．78 D．84‎ ‎9．如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则 ‎ A．2028 B．‎2038 ‎C．4046 D．4056‎ ‎10．已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则满足的实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．一个圆锥的高和底面直径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则 ‎ A．0 B．‎6 ‎C．12 D．18‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．双曲线的渐近线方程为_____________‎ ‎14．的二项展开式中，含的一次项的系数为__________．（用数字作答）‎ ‎15．设，，则的最小值为______.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：‎ ‎ ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；‎ ‎ ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ‎ ‎③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；‎ ‎④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．‎ 其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若cos(B＋)＝，求cosC的值．‎ ‎18．某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于‎1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．‎ ‎（1）求该市高三学生身高高于‎1.70米的概率，并求图1中、、的值．‎ ‎（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记为身高在的学生人数，求 的分布列和数学期望；‎ ‎（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．‎ ‎19．(12分)如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面 ‎ ‎（1）的中点为，求证∥面 ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间．‎ ‎（2）若斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于点A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎23．（10分）已知函数， ‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围．‎ 四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试 理科数学试题参考答案 ‎1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D ‎13． 14．-5 15． 16．①③④‎ ‎17．（1）由正弦定理可得：.‎ 所以，整理得：‎ 又.解得：‎ 所以或（舍去）所以 ‎（2），‎ ‎,‎ ‎18．：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于‎1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15．‎ 记为学生的身高，结合图1可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又由于组距为0.1，所以，，． ‎ ‎（2）以样本的频率估计总体的概率，‎ 可知从这批学生中随机选取1名，身高在的概率为 ‎，‎ 因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验，‎ 所以随机变量服从二项分布，‎ 分布列为：，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.027‎ ‎0.189‎ ‎0.441‎ ‎0.343‎ ‎（或） ‎ ‎（3）由，取，，‎ 由（2）可知，，‎ 又结合（1），可得：，‎ ‎，‎ 所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．‎ ‎19.解：（Ⅰ）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：‎ 取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，FP=AC，‎ 取AC的中点M，连接EM、EC，‎ ‎∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．‎ ‎∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=AC．‎ 又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，‎ ‎∴四边形EFPD是平行四边形，∴DP∥EF，‎ ‎∵EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，‎ ‎∴DP∥平面EAB；‎ ‎（Ⅱ）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，‎ ‎∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．‎ ‎∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，‎ 又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，‎ ‎∴∠DGC是所求二面角的平面角．‎ 设AB=AC=AE=‎2a，则CD=a，GC=‎2a，‎ ‎∴GD==a，‎ ‎∴cosθ=cos∠DGC==.‎ ‎20．解：（1）由题意得 ‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得，，，设直线的方程为，‎ ‎，，由，得，‎ ‎，，，‎ 直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎，，‎ ‎，直线与的交点在直线上.‎ ‎21．（1）解：的定义域是，且．‎ 由得， ‎ 当时，，此时单调递减；‎ 当时，，此时单调递增．‎ 综上，的减区间为，的增区间为． ‎ ‎（2）证明：， ‎ 要证明，即证， 等价于， 令（由，知），‎ 则只需证，由知，‎ 故等价于．（*）‎ ‎①，则当时，，‎ 所以在内是增函数，‎ 当时，，所以；‎ ‎②设，则当时，，‎ 所以在内是增函数，‎ 所以当时，，即．‎ 由①②知（*）成立，所以． ‎ ‎22．解：曲线C的参数方程是为参数，‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ 整理得：，转换为极坐标方程为：．‎ 直线l的参数方程是为参数，．‎ 转换为极坐标方程为：，极径为：和，故：，‎ 转换为：，所以：，，‎ 所以：，则：，‎ 解得：，由于：所以：．‎ ‎23．（1）当时， ‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：‎ 的解集为：‎ ‎（2）若存在满足等价于有解 ‎ ，解得：‎ 实数的取值范围为：‎