2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十二章　第5讲　数学归纳法 10页

第5讲　数学归纳法 一、知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立．‎ ‎(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．‎ 二、教材衍化 ‎1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)‎ A．1　　　 B．2　　　　‎ C．3　　　 D．4‎ 解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.‎ ‎2．已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．‎ 答案：3　4　5　n＋1‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)‎ ‎(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ ‎(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、易错纠偏 (1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝1；‎ ‎(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．‎ ‎1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．2 B．3‎ C．5 D．6‎ 解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，‎ 当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，‎ 当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，‎ 当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，‎ 当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，‎ 当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.‎ ‎2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．‎ 解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，‎ 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，‎ 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．‎ 答案：(2k＋2)＋(2k＋3)‎ ‎　　　　　　用数学归纳法证明等式(师生共研)‎ ‎ 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N+)．‎ ‎【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，‎ 右边＝＝.左边＝右边，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N+且k≥1)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．‎ 用数学归纳法证明等式的注意点 ‎(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．　 ‎ ‎(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．‎ ‎(3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．‎ ‎　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N+)．‎ 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N+，k≥1)时等式成立，‎ 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)‎ ‎＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．‎ 当n＝k＋1时，‎ 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)‎ ‎＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)‎ ‎＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2‎ ‎＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．‎ 这就是说当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对所有n∈N+等式成立．‎ ‎　　　　　　用数学归纳法证明不等式(典例迁移)‎ ‎ (2019·高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N+，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记cn＝，n∈N+，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N+.‎ ‎【解】　(1)设数列{an}的公差为d，由题意得 a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，‎ 解得a1＝0，d＝2.‎ 从而an＝2n－2，n∈N+.‎ 所以Sn＝n2－n，n∈N+.‎ 由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，得 ‎(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．‎ 解得bn＝(S－SnSn＋2)．‎ 所以bn＝n2＋n，n∈N+.‎ ‎(2)证明：cn＝＝＝，n∈N+.‎ 我们用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N+)时不等式成立，即 c1＋c2＋…＋ck<2，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2＋<2＋<2＋＝2＋2(－)＝2，‎ 即当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋cn<2对任意n∈N+成立．‎ 用数学归纳法证明不等式的注意点 ‎(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．　 ‎ ‎　已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N+时，an0，‎ 又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，‎ 所以ak＋10，n∈N+.‎ ‎(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明通项公式的正确性．‎ ‎【解】　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，‎ 即a＋2a1－2＝0，‎ 解得a1＝－1(a1>0)．‎ 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0，解得a2＝－(a2>0)．‎ 同理可得a3＝－.‎ 猜想an＝－.‎ ‎(2)证明：①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N+)时，通项公式成立，即ak＝－.‎ 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式，整理得a＋2 ·ak＋1－2＝0，解得ak＋1＝－，‎ 即n＝k＋1时通项公式仍成立．‎ 由①②可知对所有n∈N+，an＝－都成立．‎ ‎“归纳—猜想—证明”的一般步骤 ‎(1)计算：根据条件，计算若干项．‎ ‎(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．‎ ‎(3)证明：用数学归纳法证明．　 ‎ ‎　已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.‎ ‎(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明所得的结论．‎ 解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝2－.‎ ‎(2)证明：①由(1)得n＝1，2，3时，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2－，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，‎ 且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，‎ 所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，‎ 所以2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，‎ 即当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 根据①②得，对一切n∈N+，an＝2－都成立．‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)‎ A．a1＋(k－1)d　　　　　 B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：选C.假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.‎ ‎2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．‎ ‎3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)‎ A. B．－ C.－ D．＋ 解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，‎ 左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.‎ ‎4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2‎ D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ 解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.‎ ‎5．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证的不等式是________．‎ 解析：由n∈N+，n>1知，n取第一个值n0＝2，‎ 当n＝2时，不等式为1＋＋<2.‎ 答案：1＋＋<2‎ ‎7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．‎ 答案：＋＋…＋＋>－ ‎8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k ‎＋1时，不等式的左边增加的式子是________．‎ 解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.‎ 答案： ‎9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，‎ 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N+)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]‎ ‎＝(－1)k·.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)知，对任意n∈N+，都有 ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ ‎10．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N+.‎ ‎(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，‎ 所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，‎ 所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，‎ 所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当n＝1，2，3时，不等式显然成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N+)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－.‎ 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.‎ 因为－ ‎＝－＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N+，都有f(n)≤g(n)成立．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.‎ 证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．‎ ‎②假设当p＝k(k≥2，k∈N+)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．‎ 则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.‎ 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，‎ 不等式(1＋x)p>1＋px均成立．‎ ‎2．已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N+)．‎ ‎(1)用数学归纳法证明：00，即xk＋1>0.‎ 又因为xk＋1－1＝<0，所以0