2019-2020学年甘肃省高台一中高二上学期期末模拟数学（理）试题 word版 13页

高台一中 2019-2020 学年上学期期末模拟试卷 高二理科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．在空间直角坐标系中，点 ( 1,2,3)P  关于平面 yOz 对称的点的坐标为 A． ( 1, 2,3)  B． ( 1, 2, 3)   C． (1,2,3) D． (1,2, 3) 2．已知 a b c  ，且 0a b c   ，则下列不等式恒成立的是 A． ab bc B． ac bc C． | | | |a b c b D． ab ac 3．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC m nm n     的一个焦点为 (0, 2) ，离心率为 1 2 ，则 m n  A．8 4 3 B． 2 3 4 C． 4 3 8 D． 3 2 4．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且公差 0d  ，若 2a ， 3a ， 6a 成等比数列，则 A． 1 0a d  ， 4 0dS  B． 1 0a d  ， 4 0dS  C． 1 0a d  ， 4 0dS  D． 1 0a d  ， 4 0dS  5．已知函数 94 ( 1)1y x xx      ，当 x a 时， y 取得最小值为b ，则 a b  A． 3 B． 2 C．3 D．8 6．在 ABC△ 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 60C   ，若 ABC△ 的面积为10 3 ， ABC△ 的周长为 20 ，则 c  A．5 B． 6 C． 7 D．8 7．已知命题 1 1: 4p a  ，命题 :q x R ， 2 1 0ax ax   ，则 p 是 q 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若 x ， y 满足不等式组 2 0 2 2 0 2 x y x y y          ，则 3x y 的最小值为 A．10 B．8 C． 4 D．2 9．下列命题中正确的个数为 ①命题“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ”的逆否命题为“若 1x  ，则 2 3 2 0x x   ”； ②“ 0a  ”是“ 2 0a a  ”的必要不充分条件； ③若 p q 为假命题，则 p ， q 均为假命题； ④若命题 0:p x R ， 2 0 0 1 0x x   ，则 :p x  R ， 2 1 0x x   ． A．1 B．3 C． 2 D．4 10．在锐角 ABC△ 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2 ( )b a a c  ，则 2sin sin( ) A B A 的取值范围为 A． 1 2( , )2 2 B． 2(0, )2 C． 1 3( , )2 2 D． 3(0, )2 11．已知首项为1的正项数列{ }na 满足 2 2 21(2 4 ) 1 n n n na a na n an     ，若 7 7 3 2ma   ，则实数 m  A． 64 B． 60 C． 48 D．32 12．在锐角 ABC△ 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2 cos cosb C c B ，则 1 1 1 tan tan tanA B C   的最小值为 A． 7 3 B． 2 7 3 C． 5 D． 2 5 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 ． 若 关 于 x 的 不 等 式 2( 2) ( 2) 3 0k x k x     恒 成 立 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 ______________． 14 ． 在 ABC△ 中 ， 4AB  ， 2AC  ， 1cos 4A  ， 则 BC 边 上 中 线 AD 的 长 为 ______________． 15．已知 F 为抛物线 2:C y x 的焦点，点 1 1( , )A x y 与点 2 2( , )B x y 在抛物线C 上，且 1 0y  ， 2 0y  ，O 为坐标原点， ABO△ 的面积为 1S ， AFO△ 的面积为 2S ，若 12OA OB   ， 则 1 24S S 的最小值为______________． 16．在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 1 2AB AA  ， M ， N 分别为 1CC ， BC 的中点， 点 P 在直线 1 1A B 上，且 1 1 1( )A P A B  R   ．若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角 的平面角的大小为 45，则实数  的值为______________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知函数 2( 2)f x x bx c   ，且不等式 ( ) 0f x  的解集为 (0,5) ． （1）求实数b ， c 的值； （2）若对任意的 [ 1,1]x  ，不等式 ( ) 2f x t  恒成立，求实数t 的取值范围． 18．（本小题满分 12 分） 在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a c ，且 2 sin 3c A a ． （1）求角C 的大小； （2）若 4c  ， ABC△ 的面积为 3 ，求 a b 的值． 19．（本小题满分 12 分） 已知命题 :p 关于 x 的方程 2 2 2 0x ax a    有实数根，命题 : 1 5q m a m    ． （1）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）当 1m   时，若 p q 是真命题，求实数 a 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分） 设数列{ }na 是公比 1q  的等比数列， 1 1 3a  ，且 1a ， 22a ， 33a 成等差数列． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）求数列{ } n n a 的前 n 项和 nT ； （3）设 3 2 1logn nc a   ，数列 2 1 4{ } n n n c c  的前 n 项和为 nP ，求不小于 2019P 的最小整数． 21．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点为 F ，准线为l ，若点 P 在抛物线C 上，点 E 在 直线l 上，且 PEF△ 是周长为12 的等边三角形． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点 F 的直线l' 与抛物线C 交于 A ，B 两点，抛物线C 在点 A 处的切线与直线l 交 于点 N ，求 ABN△ 的面积的最小值． 22．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD  底面 ABCD ， PD AD ， PD AD ， E 为 PC 的中点． （1）证明：平面 PBC  平面 PCD ； （2）求直线 DE 与平面 PAC 所成角的正弦值； （3）若 F 为 AD 的中点，在棱 PB 上是否存在点 M ，使得 FM BD ？若存在，求 PM MB 的值；若不存在，说明理由． 高二理科数学·参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B D C C A C B A A B 13． ( 14, 2]  14． 6 15． 4 5 16． 2 17．（本小题满分 10 分） 【答案】（1） 10b   ， 0c  ；（2） ( , 10]  ． 【解析】（1）因为 2( 2)f x x bx c   ，所以不等式 ( ) 0f x  即 22 0x bx c  ， 因为 22 0x bx c  的解集为 (0,5) ，所以 22 0x bx c   的两个根分别为 0 ， 5，（2 分） 所以 0 5 2 b   ， 0 5 2 c  ， 所以 10b   ， 0c  ．（4 分） （2）由（1）知 2( ) 2 10f x x x  ， 则原问题等价于对任意的 [ 1,1]x  ，不等式 22 10 2x x t   恒成立， 即当 [ 1,1]x  时， 2 min( 2 10 2)t x x    ．（6 分） 令 2( ) 2 10 2g x x x    ， [ 1,1]x  ，则 25 29( ) 2( )2 2g x x    ， 易知函数 ( )g x 在[ 1,1] 上单调递增，，所以 min( ) ( 1) 10g x g    ，（8 分） 所以 10t   ，故实数t 的取值范围为 ( , 10]  ．（10 分） 18．（本小题满分 12 分） 【答案】（1） 3  ；（2） 2 7 ． 【解析】（1）由 2 sin 3c A a 及正弦定理可得 2sin sin 3sinC A A ，（2 分） 又 0 A   ，所以sin 0A  ，所以 2sin 3C  ，所以 3sin 2C  ，（4 分） 又 a c ，则 A C ，所以 3C  ．（6 分） （2）由（1）知 3C  ， 因为 ABC△ 的面积为 3 ，所以 1 1 3sin 32 2 2ab C ab   ，解得 4ab  ，（8 分） 又 2 2 2 2 2 24 1cos 2 2 4 2 a b c a bC ab       ，所以 2 2 20a b  ，（10 分） 所以 2 2 2 20 2 4 2 7a b a b ab        ．（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 【答案】（1） ( , 6] [1, )   ；（2） ( , 1] [0, )   ． 【解析】（1）因为关于 x 的方程 2 2 2 0x ax a    有实数根， 所以 2( 2 ) 4( 2) 0a a    ，即 2 2 0a a   ，解得 2a  或 1a   ； 所以当 p 为真命题时， a 的取值范围为 ( , 1] [2, )   ，（2 分） 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以[ 1, 5]m m  是 ( , 1] [2, )   的真子集，（4 分） 所以 5 1m   或 1 2m  ，即 6m   或 1m  ， 故实数 m 的取值范围为 ( , 6] [1, )   ．（6 分） （2）当 1m   时，命题 q 即 0 4a  ， 因为 p q 是真命题，所以命题 p 与 q 至少有一个是真命题，（8 分） 当命题 p 与 q 均为假命题时， 1 2 0 4 a a a       或 ，即 1 0a   ，（10 分） 所以当命题 p 与 q 至少有一个是真命题时， 1a   或 0a  ， 故实数 a 的取值范围为 ( , 1] [0, )   ．（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 【答案】（1） 1 3n na  ；（2） 13 (2 1) 3 4 n n nT    ；（3） 2020 ． 【解析】（1）因为 1a ， 22a ， 33a 成等差数列，所以 2 1 34 3a a a  ，即 2 1 1 14 3a q a a q  ， 又 1 1 3a  ，所以 24 1 3 3q q  ，即 23 4 1 0q q   ，解得 1 3q  ，（2 分） 所以 11 1 1( )3 3 3 n n na    ．（3 分） （2）由（1）知 1 3n na  ，所以 3n n n na   ，（4 分） 所以 1 2 3 11 3 2 3 3 3 ( 1) 3 3n n nT n n           ， 2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 ( 1) 3 3n n nT n n            ，（5 分） 上 述 两 式 相 减 可 得 2 3 1 1 13(1 3 ) 32 3 3 3 3 ( )3 3 3 1 31 3 2 n n n n n n nT n n n                ， 整理可得 13 (2 1) 3 4 n n nT    ．（7 分） （3）由（1）可知 2 1 2 1 1 3n na   ， 所以 3 2 1 3 2 1 1log log 2 13n n nc a n      ，（8 分） 所 以 2 2 2 2 1 4 4 4 1 1 1 11 1 ( )(2 1)(2 1) 4 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n n c c n n n n n n n               ， 所以 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 1 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nP n nn n n             ，（10 分） 所以 2019 20192019 4039P   ，所以 20192019 2020P  ，（11 分） 所以不小于 2019P 的最小整数为 2020 ．（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 【答案】（1） 2 4x y ；（2） 4 ． 【解析】（1）因为 PEF△ 是周长为12 的等边三角形，所以| | | | | | 4PE PF EF   ，（1 分） 由抛物线的定义可得 PE l ，设准线l 与 y 轴交于点 D ， 则 PE DF ，从而 60PEF EFD     ，（3 分） 在 Rt EDF△ 中， 1| | | | cos 4 22DF EF EFD     ，即 2p  ， 所以抛物线C 的标准方程为 2 4x y ．（5 分） （2）由题可知直线l' 的斜率存在，设直线l' 的方程为 1y kx  ， 将 1y kx  代入 2 4x y ，消去 y 可得 2 4 4 0x kx   ． 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x   ，（6 分） 所 以 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| ( )| | 1 | 1 4 1 16 16 4(1 )AB k x x k x x x x k k k              ， 设过点 A 的切线方程为 1 1( )y k' x x y   ， 将 1 1( )y k' x x y   代入 2 4x y ，消去 y 可得 2 1 14 ( ) 4x k' x x y   ， 又 2 1 14x y ，所以 2 2 1 14 ( )x k' x x x   ，即 2 2 1 14 4 0x k'x k'x x    ， 所以 2 2 1 1 2 1416 4( ) 4(2 ) 0k'x x xk' k'      ，解得 1 2k' x ， 所以过点 A 的切线方程为 2 1 1 1( )2 4 x xy x x   ，即 2 1 1 2 4 x xy x  ，（8 分） 令 1y   ，可得 2 1 11 2 4 x xx   ，则 2 1 1 1 1 1 14 2 2 2 x yx kx x      ，所以 (2 , 1)N k  ， 所以点 N 到直线l' 的距离 2 2 2 | 2 2 | 2 1 1 kd k k     ，（10 分） 所以 2 31 | | 4 ( 1) 42ABNS AB d k    △ ，当且仅当 0k  时，等号成立， 所以 ABN△ 的面积的最小值为 4 ．（12 分） 22．（本小题满分 12 分） 【答案】（1）证明见解析；（2） 6 3 ；（3）存在， 1 3 PM MB  ． 【解析】（1）因为平面 PAD  底面 ABCD ， PD AD ， 所以 PD  底面 ABCD ，所以 PD BC ， 又底面 ABCD 为正方形，所以 BC CD ，（2 分） 因为 PD CD D ,所以 BC  平面 PCD， 又 BC 平面 PCD，所以平面 PBC  平面 PCD．（4 分） （2）易知 DA ， DC ， DP 互相垂直， 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ， 不妨设 2PD AD  ，可得 (0,0,0)D ， (2,0,0)A ， (0,2,0)C ， (0,0,2)P ， 所以 ( 2,2,0)AC   ， (2,0, 2)PA   ，（5 分） 因为 E 为 PC 的中点，所以 (0,1,1)E ，所以 (0,1,1)DE  ， 设 ( , , )x y zn 为平面 PAC 的法向量， 则 0 0 AC PA        n n ，即 2 2 0 2 2 0 x y x z       ，令 1x  ，可得 1y  ， 1z  ， 所以 (1,1,1)n 为平面 PAC 的一个法向量，（6 分） 设直线 DE 与平面 PAC 所成的角为 ，则 | | 6sin | cos , | 3| | || DEDE DE          nn n ， 所以直线 DE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 6 3 ．（8 分） （3）由（2）可得 (1,0,0)F ， ( 2, 2,2)BP    ， (2,2,0)DB  ， (1,2,0)FB  ， 假设在棱 PB 上存在点 M ，使得 FM BD ，设 1)0(BM BP    ， 故 1 2 ,2 )2 ,2(FM FB BM        ，（10 分） 由 FM DB ，可得 0FM DB   ， 所以 (1 2 ) 2 (2 2 ) 2 0       ，解得 3 4   ，此时 1 3 PM MB  ． 故在棱 PB 上存在点 M ，使得 FM BD ， 1 3 PM MB  ．（12 分）