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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习全国通用版第68讲参数方程学案

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第 68 讲 参数方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 2017·全国卷Ⅰ,22 2016·全国卷Ⅲ,23 2016·江苏卷,21(C) 1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、 圆和圆锥曲线的参数方程. 分值:5~10 分 参数方程部分主要 考查参数方程与普通方 程的互化,并且多与极 坐标方程结合考查. 1.参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上__任意一点__的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数:Error!并且对于 t 的每一个允许值,由方程组Error!所确定的点 M(x,y)都在这条曲 线上,那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程,变数 t 叫做参变数,简称__参数__,相 对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做__普通方程__. 2.直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数). (2)圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为Error!(θ 为参数). (3)①椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的参数方程为Error!(φ 为参数). ②椭圆x2 b2+y2 a2=1(a>b>0)的参数方程为Error!(φ 为参数). 1.思维辨析(在括号内打“√”或打“×”). (1)参数方程Error!(t≥1)表示直线.( × ) (2)参数方程Error!当 m 为参数时表示直线,当 θ 为参数时表示的曲线为圆.( √ ) (3)直线Error! (t 为参数)的倾斜角 α 为 30°.( √ ) (4)参数方程Error!(θ为参数,且θ ∈ [0,π 2 ])表示的曲线为椭圆.( × ) 解析 (1)∵t≥1,∴x=t+1≥2,y=2-t≤1,故参数方程表示的曲线是直线的一部 分. (2)当 m 为参数时,x+y=cos θ+cos θ 表示直线,当 θ 为参数时,(x-m)2+(y+m)2=1 表示圆. (3)方程可化为Error!表示直线其倾斜角为 30°. (4)∵θ∈[0,π 2 ],∴x≥0,y≥0,方程不表示椭圆. 2.参数方程Error!(t 为参数)化为普通方程为__3x+y-4=0(x∈[0,2))__. 解析 ∵x= 2t2 1+t2, y=4-2t2 1+t2 =4(1+t2)-6t2 1+t2 =4-3× 2t2 1+t2=4-3x, 又 x= 2t2 1+t2=2(1+t2)-2 1+t2 =2- 2 1+t2∈[0,2), ∴x∈[0,2),∴所求的普通方程为 3x+y-4=0(x∈[0,2)). 3 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为 Error! (θ为参数,0 ≤ θ ≤ π 2)和Error!(t 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为__(2,1)__. 解析 由 C1 得 x2+y2=5,且Error!① 由 C2 得 x=1+y,② ∴由①②联立Error!解得Error!或Error!(舍). 4.直线Error!(t 为参数)与圆Error!(θ 为参数)相切,则切线的倾斜角为__π 3或2π 3 __. 解析 直线的普通方程为 bx-ay-4b=0,圆的普通方程为(x-2)2+y2=3,因为直线与 圆相切,则圆心(2,0)到直线的距离为 3,从而有 3=|2b-a·0-4b| a2+b2 ,即 3a2+3b2=4b2,所 以 b=± 3a,而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α=b a,所以 tan α=± 3,因此切线的倾斜角为 π 3或2π 3 . 5.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:Error!(t 为参数)与曲线 C2:Error!(θ 为参数,a>0) 有一个公共点在 x 轴上,则 a= 3 2 . 解析 将曲线 C1 与 C2 的方程化为普通方程求解. ∵Error!消去参数 t 得 2x+y-3=0, 又Error!消去参数 θ 得x2 a2+y2 9=1. 根据题意可知 C1 与 x 轴交点在 C2 上, 则在方程 2x+y-3=0 中,令 y=0 得 x=3 2. 将( 3 2,0 )代入x2 a2+y2 9=1,得 9 4a2=1,又 a>0,∴a=3 2. 一 参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常 见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程, 常利用同角三角函数关系式消参,如 sin2θ+cos2θ=1 等. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要出现增解. 【例 1】 将下列参数方程化为普通方程. (1)Error!(t 为参数); (2)Error!(θ 为参数). 解析 (1)( 1 t )2+( 1 t t2-1)2=1, ∴x2+y2=1.∵t2-1≥0,∴t≥1 或 t≤-1.又 x=1 t, ∴x≠0.当 t≥1 时,0<x≤1, 当 t≤-1 时,-1≤x<0,∴所求普通方程为 x2+y2=1, 其中Error!或Error! (2)∵y=-1+cos 2θ=-1+1-2sin 2θ=-2sin 2θ,sin 2θ=x-2, ∴y=-2x+4,∴2x+y-4=0.∵0≤sin 2 θ≤1,∴2≤x≤3, ∴所求的普通方程为 2x+y-4=0(2≤x≤3). 二 直线与圆的参数方程及应用 直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的,如果能正确应用它,可以使问题 的解决事半功倍,也可以把直线和圆的方程都普通化,再行解决. 【例 2】 已知曲线 C1:Error!(θ 为参数)及曲线 C2:Error!(t 为参数). (1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C′1,C′2,写出 C′1,C′2 的参数方程.C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说 明你的理由. 解析 (1)C1 是圆,C2 是直线,C1 的普通方程为 x2+y2=1, 圆心 C1(0,0),半径 r=1.C2 的普通方程为 x-y+ 2=0. 因为圆心到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1, 所以 C1 与 C2 只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为 C′1:Error!(θ 为参数),C′2:Error!(t 为参数). 化为普通方程为 C′1:x2+4y2=1,C′2:y=1 2x+ 2 2 , 联立消元得 2x2+2 2x+1=0,其 Δ=(2 2)2-4×2×1=0, 故压缩后 C′1 与 C′2 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 三 参数方程与极坐标方程的综合问题 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标 方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程. 【例 3】 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲 线 C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数),l 与 C 分别交于点 M,N. (1)写出 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程; (2)若|PM |,|MN |,|PN |成等比数列,求 a 的值. 解析 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0. (2)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立并整理, 得 t2-2(4+a) 2t+8(4+a)=0,(*) Δ=8a(4+a)>0,设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,则 t1,t2 恰为上述方程的两根,则|PM| =|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2,t1t2=8(4+a)>0, 则有(4+a)2-5(4+a)=0,得 a=1 或 a=-4.因为 a>0, 所以 a=1.  1.将下列参数方程化为普通方程. (1)Error!(k 为参数); (2)Error!(θ 为参数). 解析 (1)两式相除,得 k= y 2x,将其代入 x= 3k 1+k2得 x= 3· y 2x 1+( y 2x )2 , 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ) 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程 y2=2-x,x∈[0,2]. 2.设直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数,α 为倾斜角),圆 C 的参数方程为Error!(θ 为 参数). (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心,求直线 l 的斜率; (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点,求直线 l 的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4),而圆 C 的圆心是 C(1,-1),所以,当直 线 l 经过圆 C 的圆心时,直线 l 的斜率为 k=5 2. (2)由圆 C 的参数方程Error!得圆 C 的圆心是 C(1,-1),半径为 2. 当 α≠90°时,设 k=tan α,则直线 l 的普通方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0. 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即|5-2k| k2+1 <2, 解得 k>21 20, 即直线 l 的斜率的取值范围为( 21 20,+∞). 3.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数),直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a. 解析 (1)曲线 C 的普通方程为x2 9+y2=1. 当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0, 由Error!解得Error!或Error! 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),(-21 25,24 25). (2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离为 d= |3cos θ+4sin θ-a-4| 17 . 当 a≥-4 时,dmax=a+9 17 = 17,所以 a=8; 当 a<-4 时,dmax= -a+1 17 = 17,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16. 4.已知 P(x,y)是圆 x2+y2-2y=0 上的动点. (1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+c≥0 恒成立,求实数 c 的取值范围. 解析 方程 x2+y2-2y=0 变形为 x2+(y-1)2=1. 其参数方程为Error!(θ 为参数). (1)2x+y=2cos θ+sin θ+1= 5sin (θ+φ)+1, 其中 φ 由 sin φ= 2 5 ,cos φ= 1 5 确定, ∴1- 5≤2x+y≤1+ 5. (2)若 x+y+c≥0 恒成立, 即 c≥-(cos θ+sin θ+1)对一切 θ∈R 恒成立. ∵-(cos θ+sin θ+1)的最大值是 2-1, ∴当且仅当 c≥ 2-1 时,x+y+c≥0 恒成立. 易错点 不清楚直线的参数方程中参数的几何意义 错因分析:只有直线的参数方程中的参数具有几何意义,否则会导致解题错误.因此, 需要牢记直线的点斜式参数方程. 【例 1】 已知直线 l 过点 P(2,0),斜率为4 3,直线 l 和抛物线 y2=2x 相交于 A,B 两点, 设线段 AB 的中点为 M,求: (1)点 P,M 两点间的距离|PM |; (2)点 M 的坐标; (3)线段 AB 的长. 解析 (1)∵直线 l 过点 P(2,0),斜率为4 3, 设直线的倾斜角为 α,tan α=4 3,sin α=4 5,cos α=3 5, ∴直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).(*) ∵直线 l 与抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程 y2=2x 中,整理得 8t2-15t -50=0,且 Δ=152+4×8×50>0, 设这个一元二次方程的两个根为 t1,t2, 由根与系数的关系,得 t1+t2=15 8 ,t1t2=-25 4 , 由 M 为线段 AB 的中点,根据 t 的几何意义, 得|PM |=| t1+t2 2 |=15 16. (2)将 t 中=t1+t2 2 =15 16代入(*)式, 得 M 点的坐标为( 41 16,3 4). (3)|AB |=|t2-t1 |= (t1+t2)2-4t1t2=5 73 8 . 【跟踪训练 1】 (2018·河北衡水中学质检)在平面直角坐标系 xOy 中,斜率为 1 的直线 l 过定点 P(-2,-4),以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的 极坐标方程为 ρsin2θ-4cos θ=0. (1)求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程; (2)两曲线相交于 M,N 两点,求|PM|+|PN|的值. 解析 (1)由 ρsin 2θ-4cos θ=0 得 ρ2sin 2θ-4ρcos θ=0, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x, 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数). (2)将直线 l 的参数方程代入 y2=4x,得 t2-12 2t+48=0, 设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=12 2,t1·t2=48, ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=t1+t2=12 2. 课时达标 第 68 讲 [解密考纲]高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角 坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,两种不同方式的方程的互化是考查的热点, 常以解答题的形式出现. 1.已知曲线 C1:Error!(t 为参数),C2:Error!(θ 为参数). (1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π 2,Q 为 C2 上的动点, 求 PQ 中点 M 到直线 C3:Error!(t 为参数)距离的最小值. 解析 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x2 64+y2 9=1. C1 是圆心为(-4,3),半径为 1 的圆.C2 是中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长 是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (2)当 t=π 2时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ), 故 M(-2+4cos θ,2+3 2sin θ). C3 为直线 x-2y-7=0,M 到 C3 的距离 d= 5 5 |4cos θ-3sin θ-13|= 5 5 |5cos(θ+φ)-13|≥8 5 5. 从而当 cos θ=4 5,sin θ=-3 5时,d 取得最小值8 5 5 . 2.已知直线 l:Error!(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|·|MB|的值. 解析 (1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ,① 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①, 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.② (2)将Error!代入②,得 t2+5 3t+18=0, 设这个方程的两个实根分别为 t1,t2, 则由参数 t 的几何意义即知|MA|·|MB|=|t1t2|=18. 3.在极坐标系中,圆 C 的圆心为 C(2,π 3 ),半径为 2.以极点为原点,极轴为 x 轴的正 半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数). (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 l 与圆的交点为 A,B,l 与 x 轴的交点为 P,求|PA|+|PB|. 解析 (1)在直角坐标系中,圆心为 C(1, 3),所以圆 C 的方程为(x-1)2+(y- 3)2=4, 即 x2+y2-2x-2 3y=0, 化为极坐标方程得 ρ2-2ρcos θ-2 3ρsin θ=0, 即 ρ=4sin (θ+π 6 ). (2)把Error!代入 x2+y2-2x-2 3y=0,得 t2=4,所以点 A,B 对应的参数分别为 t1=2, t2=-2. 令 3+1 2t=0 得点 P 对应的参数为 t0=-2 3. 所以|PA|+|PB|=|t1-t0|+|t2-t0|=|2+2 3|+|-2+2 3|=2+2 3+(-2+2 3)=4 3. 4.已知曲线 C 的参数方程是Error!(α 为参数), 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数). (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P,Q 两点,且|PQ|=4 5 5 ,求实数 m 的值. 解析 (1)由Error!得Error! ①2+②2 得曲线 C 的普通方程为 x2+(y-m)2=1. 由 x=1+ 5 5 t,得 5 5 t=x-1,代入 y=4+2 5 5 t,得 y=4+2(x-1), 所以直线 l 的普通方程为 y=2x+2. (2)圆心(0,m)到直线 l 的距离为 d=|-m+2| 5 , 所以 ( |-m+2| 5 )2+( 2 5 5 )2=1,解得 m=3 或 m=1. 5.(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为Error!(α 为参数).以坐 标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+π 4 )=2 2.  (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标. 解析 (1)C1 的普通方程为x2 3+y2=1, C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. (2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α,sin α).因为 C2 是直线,所以|PQ|的最 小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值, d(α)=| 3cos α+sin α-4| 2 = 2|sin(α+π 3 )-2|. 当且仅当 α=2kπ+π 6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2,此时 P 的直角坐标为 ( 3 2,1 2 ). 6.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数), 曲线 C 的参数方程为Error!(s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的 最小值. 解析 直线 l 的普通方程为 x-2y+8=0. 因为点 P 在曲线 C 上,设 P(2s2,2 2s), 从而点 P 到直线 l 的距离 d=|2s2-4 2s+8| 12+(-2)2 =2(s- 2)2+4 5 . 当 s= 2时,dmin=4 5 5 . 因此当点 P 的坐标为(4,4)时,曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取得最小值4 5 5 .

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