【数学】2018届一轮复习人教A版几何概型学案 12页

第三节 几何概型 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义． 知识点一　几何概型 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(______或______)成比 例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________． 2．几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性______． 答案 1．长度　面积　体积　几何概型 2．(1)无限多　(2)相等 1．判断正误 (1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中 的每一点被取到的机会相等．(　　) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．(　　) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　) (4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限．(　　) 解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确． (2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等． (3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状 无关． (4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基 本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个． 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 知识点二　几何概型的概率公式 P(A)＝______________________________________________. 答案 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 2．(2016·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是(　　) A. 1 3　 　　　B. 1 2　 　　　C. 2 3　 　　　D. 3 4 解析：由题意得图： 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为 1 2. 答案：B 3．(必修③P140 练习第 1 题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃 小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　) 解析：如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝ 3 8，P(B) ＝ 2 8，P(C)＝ 2 6，P(D)＝ 1 3. 答案：A 4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为 6 的正方形将其包含在内，并向正方 形内随机投掷 800 个点，恰有 200 个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 ________． 解析：正方形面积为 36，则阴影部分面积约为 200 800×36＝9. 答案：9 热点一　与长度、角度有关的几何概型问题 【例 1】　(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯 的概率为(　　) A. 7 10 B. 5 8 C. 3 8 D. 3 10 (2)如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB 于 M，则使得 AM 小于 AC 的概率为________． 【解析】　(1)记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)＝ 25 40＝ 5 8. (2)当 AM＝AC 时，△ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形，∠ACM＝ 180°－45° 2 ＝67.5°.当∠ ACM<67.5°时，AM 2R，∴P＝圆的周长＝ 1 2. (2)记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长 (此时 F 为 OE 中点)，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式 得：P(A)＝ 1 2 × 2 2 ＝ 1 2. 1题图　 2题图 答案：(1)B　(2) 1 2 热点二　与面积有关的几何概型问题 考向 1　与一般几何图形面积有关的问题 【例 2】　在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P，则△PBC 的面积大于 S 4的概率为(　　) A. 1 4　　　　B. 3 4　　　　C. 4 9　　　　D. 9 16 【解析】　记事件 A＝{ △ PBC的面积大于 S 4}，基本事件是△ABC 的面积(如图)， 事件 A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC 且 ADAB＝34)，因为阴影部分的面 积是整个三角形面积的 (3 4 )2＝ 9 16，所以 P(A)＝ 阴影部分的面积 三角形的面积 ＝ 9 16. 【答案】　D 【总结反思】 求与面积有关的几何概型的概率的方法 (1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型； (2)分别求出 Ω 和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解. 考向 2　“会面型”几何概型 【例 3】　甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一 刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 【解】　以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充 要条件是|x－y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为 60 的 正方形区域，而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示． 由几何概型的概率公式得 P(A)＝ S阴影 S ＝ 602－452 602 ＝ 3 600－2 025 3 600 ＝ 7 16.所以，两人能会 面的概率是 7 16. 考向 3　随机模拟方法的应用 【例 4】　(2016·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1， y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数 对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为(　　) A. 4n m B. 2n m C. 4m n D. 2m n 【解析】　设由Error!构成的正方形的面积为 S，x2n＋y2n<1 构成的图形的面积为 S′，所 以 S′ S ＝ 1 4π 1 ＝ m n，所以 π＝ 4m n ，故选 C. 【答案】　C 【总结反思】 求解与面积有关的几何概型的关键点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题 意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. (1)已知 A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}，B＝{(x，y)| 1－x2≤y}．若在区域 A 中随 机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域 B 中的概率为(　　) A．1－ π 8 B. π 4 C. π 4 －1 D. π 8 (2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为 a，b，则方程 x2 a2＋ y2 b2＝1 表示焦点在 x 轴上 且离心率小于 3 2 的椭圆的概率为(　　) A. 1 2 B. 15 32 C. 17 32 D. 31 32 (3)如右图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄 豆为 96 颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为(　　) A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32 解析：(1)集合 A＝{(x，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正方形，其面积为 4， 集合 B＝{(x，y)| 1－x2≤y}表示的区域为图中阴影部分，其面积为 4－ 1 2×12×π.所以向区 域 A 内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域 B 内的概率为 4－ 1 2π 4 ＝1－ π 8 . (2)∵ x2 a2＋ y2 b2＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 3 2 的椭圆，∴a>b>0，a<2b.它对应的平 面区域如图中阴影部分所示，则方程 x2 a2＋ y2 b2＝1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 3 2 的椭圆的概 率为 P＝ S阴影 S矩形＝1－ 1 2 × 1＋3 × 2＋ 1 2 × 1 2 × 1 2 × 4 ＝ 15 32，故选 B. (3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为 300－96 300 ＝0.68.由几何概型的 概率计算公式可得， S椭圆 S矩形＝0.68，而 S 矩形＝6×4＝24，则 S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：(1)A　(2)B　(3)C 热点三　与体积有关的几何概型问题 【例 5】　一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程 中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正 方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为(　　) A. 1 8 B. 1 16 C. 1 27 D. 3 8 【解析】　由题意，可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由 几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为 103 303＝ 1 27. 【答案】　C 【总结反思】 对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间 几何体的体积计算. 在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________． 解析：记“点P 到点 O 的距离大于 1”为事件A，则事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心， 以 1 为半径的半球外．又 V 正方体 ABCD－A1B1C1D1＝23＝8，V 半球＝ 1 2· 4 3π·13＝ 2 3π.∴所求事 件概率 P(A)＝ 8－ 2 3π 8 ＝1－ π 12. 答案：1－ π 12 1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状 和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求 解方法． 2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几 何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上 即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的 基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表 示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 专题六　高考解答题鉴赏——概率与统计 在全国卷高考中，概率与统计是每一年必考内容，分值 12 分，难度中等．解答题综合性 较强，将概率、统计的有关知识(特别是直方图、样本数字特征)有机地交融在一起，也有时 仅考利用统计知识解决实际问题． 【典例】　(2016·新课标全国卷Ⅰ，12 分)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三 年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时 购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数， 得下面柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件 上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损 零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购 买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 【标准解答】　(1)当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x>19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝Error!(x∈N)．(4 分) (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19.(7 分) (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台 机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4 000 元，10 台的费用为 4 500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费 用的平均数为 1 100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)． 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件．(12 分) 【阅卷点评】　本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆 错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意， 并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义． (2017·昆明两区七校调研)某校高三共有 900 名学生，高三模拟考之后，为了了解学生 学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，并制成如下的频 率分布表. 组号 分组 频数 频率 第一组 [70,80) 6 0.06 第二组 [80,90) 4 0.04 第三组 [90,100) 22 0.22 第四组 [100,110) 20 0.20 第五组 [110,120) 18 b 第六组 [120,130) a 0.15 第七组 [130,140) 10 0.10 第八组 [140,150) 5 0.05 合计 c 1 (1)确定表中 a，b，c 的值； (2)为了了解数学成绩在 120 分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分 层抽样方法抽取 6 名学生，在这 6 名学生中又再随机抽取 2 名与心理老师面谈，求第七组中 至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率； (3)估计该校本次考试的数学平均分． 解：(1)因为频率和为 1，所以 b＝0.18，因为频率＝频数/样本容量，所以 c＝100，a＝ 15. (2)第六、七、八组共有 30 个样本，用分层抽样方法抽取 6 名学生，第六、七、八组被 抽取的样本数分别为 3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用 A，B，C，D 表示，第七 组抽出的样本用 E，F 表示． 从这 6 名学生中随机抽取 2 个的方法有 AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、 CF、DE、DF、EF，共 15 种． 其中至少含 E 或 F 的取法有 9 种，则所求概率为 3 5. (3)估计平均分为 75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15 ＋135×0.1＋145×0.05＝110.