2014-2018年五年真题分类第十一章 计数原理 11页

第十一章 计数原理 考点1 排列与组合 ‎1.（2017•新课标Ⅱ,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（    ） ‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎1.D 4项工作分成3组，可得： =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6× =36种．故选D． ‎ ‎2.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A.24 B.18 C.12 D.9‎ ‎2.B [从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]‎ ‎3.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 ‎3.C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C种，共2＋8＋4＝14.]‎ ‎4.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A.24 B.48 C.60 D.72‎ ‎4.D [由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有C·A＝72.选D.]‎ ‎5.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎5.B [取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；‎ ‎②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；‎ ‎④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，‎ 所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]‎ ‎6.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎6.B　[由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]‎ ‎7.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎7.C　[从中选出2名男医生的选法有C＝15种，从中选出1名女医生的选法有C＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]‎ ‎8.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎8.D　[3人中每两人之间恰有一个空座位，有A×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A×A＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]‎ ‎9.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 ‎9.B　[当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A＋CA＝9×24＝216种.]‎ ‎10.(2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A.72 B.120 C.144 D.168‎ ‎10.B　[依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]‎ ‎11.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 ‎11.C　[法一　直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.‎ 法二　间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48对.]‎ ‎12.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎12.A　[分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]‎ ‎13.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)‎ A.60 B.90 C.120 D.130‎ ‎13.D　[易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]‎ ‎14．（2018全国Ⅰ，15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）‎ ‎14.16 根据题意，没有女生入选有C‎4‎‎3‎‎=4‎种选法，从6名学生中任意选3人有C‎6‎‎3‎‎=20‎种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有‎20-4=16‎种，故答案是16.‎ ‎15．（2018浙江，16）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ ‎15.1260 若不取零，则排列数为C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎A‎4‎‎4‎‎,‎若取零，则排列数为C‎5‎‎2‎C‎3‎‎1‎A‎3‎‎1‎A‎3‎‎3‎‎,‎因此一共有C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎A‎4‎‎4‎‎+C‎5‎‎2‎C‎3‎‎1‎A‎3‎‎1‎A‎3‎‎3‎=1260‎个没有重复数字的四位数.‎ ‎16.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） ‎ ‎16.1 080 根据题意，分2种情况讨论： ①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080． 17.（2017•浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答） 17. 660 第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种， 第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种， 根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660 ‎ ‎18.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).‎ ‎18.1 560　[依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560条毕业留言.]‎ ‎19.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.‎ ‎19.36　[将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.]‎ ‎20.(2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ ‎20.60　[分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]‎ 考点2 二项式定理及其应用 ‎1．（2018全国Ⅲ，5）x‎2‎‎+‎‎2‎x‎5‎的展开式中x‎4‎的系数为(　　)‎ A．10 B．20 C．40 D．80‎ ‎1.C 由题可得Tr+1‎‎=C‎5‎r‎(x‎2‎)‎‎5-r‎(‎2‎x)‎r=C‎5‎r∙‎2‎r∙‎x‎10-3r，令‎10-3r=4‎,则r=2‎，所以C‎5‎r‎∙‎2‎r=C‎5‎‎2‎×‎2‎‎2‎=40‎，故选C.‎ ‎2.（2017•新课标Ⅰ,6）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（　　） ‎ A.15 B.20 C.30 D.35‎ ‎2.C （2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．故选C． 3.（2017•新课标Ⅲ,4）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （    ） ‎ A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.80‎ ‎3.C （1+ ）（1+x）6展开式中：若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6‎ 提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得 ．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C． ‎ ‎4.(2016·四川，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4‎ ‎4. A [由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.选A.]‎ ‎5.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎5.C　[Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，‎ ‎∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.]‎ ‎6.(2015·湖南，6)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a＝(　　)‎ A. B.－ C.6 D.－6‎ ‎6.D　[的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，‎ 令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.]‎ ‎7.(2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎7.C　[由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.]‎ ‎8.(2014·湖北，2)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A.2 B. C.1 D. ‎8.C　[Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.]‎ ‎9.(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)‎ A.45 B.60 C.120 D.210‎ ‎9.C　[在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60,f(1，2)＝C·C＝36,f(0，3)＝C＝4，故选C.]‎ ‎10.(2014·四川，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ ‎10.C　[只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C＝15，故选C.]‎ ‎11.(2014·湖南，4)5的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A.－20 B.－5 C.5 D.20‎ ‎11.A　[展开式的通项为Tk＋1＝C(x)5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Cx5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.则展开式中x2y3的系数为(－1)3·22×3－5C＝－20，故选A.]‎ ‎12．（2018天津，10）在二项式‎(x−‎1‎‎2‎x)‎‎5‎的展开式中，x‎2‎的系数为__________．‎ ‎12.‎5‎‎2‎ 结合二项式定理的通项公式有：Tr+1‎‎=C‎5‎rx‎5−r‎−‎‎1‎‎2‎xr=‎‎−‎‎1‎‎2‎rC‎5‎rx‎5−‎3‎‎2‎r，令‎5−‎3‎‎2‎r=2‎可得：r=2‎，则x‎2‎的系数为：‎−‎‎1‎‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎‎=‎1‎‎4‎×10=‎‎5‎‎2‎.‎ ‎13．（2018浙江，14）二项式‎(‎3‎x+‎1‎‎2x)‎‎8‎的展开式的常数项是___________．‎ ‎13.7 二项式‎(‎3‎x+‎1‎‎2x)‎‎8‎的展开式的通项公式为Tr+1‎‎=C‎8‎r‎(‎3‎x)‎‎8−r‎(‎1‎‎2x)‎r=C‎8‎r⋅‎1‎‎2‎r⋅‎x‎8−4r‎3‎,‎ 令‎8−4r‎3‎‎=0‎得r=2‎，故所求的常数项为C‎8‎‎2‎‎⋅‎1‎‎2‎‎2‎=7.‎ ‎14.（2017•浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________． ‎ ‎14.16；4 多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， （x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4． 故答案为：16；4． ‎ ‎15.（2017•山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________． ‎ ‎15.4 （1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr ． ∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N* ． 解得n=4．故答案为：4． ‎ ‎16.(2016·全国Ⅰ，14)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______________(用数字填写答案).‎ ‎16.10 [(2x＋)5展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x)5－k()k＝C25－kx5－，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3解得k＝4，得T5＝C25－4x5－＝10x3，∴x3的系数是10.]‎ ‎17.(2016·北京，10)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________.‎ ‎17. 60 [展开式的通项Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝C(－2x)r.令r＝2得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系数为60.]‎ ‎18.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答).‎ ‎18.40　[展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.]‎ ‎19.(2015·天津，12)在6的展开式中，x2的系数为________.‎ ‎19.　[的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；‎ 当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C＝.]‎ ‎20.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案).‎ ‎20.－20　[由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝8－28＝－20.]‎ ‎21.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答).‎ ‎21.　[Tr＋1＝Cx10－rar,令10－r＝7,得r＝3,∴Ca3＝15，即a3＝15,∴a3＝，∴a＝.]‎ ‎22.(2014·安徽，13)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.‎ ‎22.3　[根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，‎ 结合二项式定理得即解得a＝3.]‎ ‎23.(2014·山东，14)若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.‎ ‎23.2　[Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.‎ ‎∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.]‎ ‎24.(2014·大纲全国，13)8的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答).‎ ‎24.70　[Tr＋1＝C··＝(－1)r·C·x·y，‎ 令得r＝4.所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C＝70.]‎