【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案 13页

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲 考情考向分析 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的 含义． 2.理解全称量词和存在量词的意义． 3.能正确地对含一个量词的命题进行否定. 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否 定是高考的重点；命题的真假判断常以函 数、不等式为载体，考查学生的推理判断 能力，题型为选择、填空题，低档难度. 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 p q p 且 q p 或 q 非 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表 示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 “∃”表示． 3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈 p(x) 存在性命题 存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈 p(x) 概念方法微思考 含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？ 提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈 p：真假相反． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题．( √ ) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 都是真命题．( × ) 题组二 教材改编 2．已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，p∨q，p∧q 都是真命题． 3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠 4．已知命题 p，q，“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由綈 p 为真知，p 为假，可得 p∧q 为假；反之，若 p∧q 为假，则可能是 p 真 q 假， 从而綈 p 为假，故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件，故选 A. 5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是( ) A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0 C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0 答案 A 6．若“∀x∈ 0，π 4 ，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________． 答案 1 解析 ∵函数 y＝tan x 在 0，π 4 上是增函数， ∴ymax＝tan π 4 ＝1.依题意知，m≥ymax，即 m≥1. ∴m 的最小值为 1. 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 1．命题 p：若 sin x>sin y，则 x>y；命题 q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p 或 q B．p 且 q C．q D．綈 p 答案 B 解析 取 x＝π 3 ，y＝5π 6 ，可知命题 p 是假命题； 由(x－y)2≥0 恒成立，可知命题 q 是真命题，故綈 p 为真命题，p 或 q 是真命题，p 且 q 是假 命题． 2．已知命题 p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题 q：若 a20 恒成立， ∴p 为真命题，綈 p 为假命题． ∵当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈 q 为真命题． 根据真值表可知 p∧(綈 q)为真命题，p∧q，(綈 p)∧q，(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B. 3．已知命题 p：∃x∈R，使 sin x＝ 5 2 ；命题 q：∀x∈R，都有 x2＋x＋1>0.给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈 q)”是假命题；③命题“(綈 p)∨q”是真命题； ④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题，其中正确的是_____．(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③ 解析 因为对任意实数 x，|sin x|≤1，而 5 2 >1，所以 p 为假；因为 x2＋x＋1＝0 的判别式Δ<0， 所以 q 为真．故②③正确． 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题 p，q 的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、存在性命题的真假 例 1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，∃m∈R，m20 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 答案 B 解析 当 x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当 x＝1 时取等号，故 B 不正确；易 知 A，C，D 正确，故选 B. 命题点 2 含一个量词的命题的否定 例 2 (1)已知命题 p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈 p 为( ) A．∃x∈R，ex－x－1≥0 B．∃x∈R，ex－x－1>0 C．∀x∈R，ex－x－1>0 D．∀x∈R，ex－x－1≥0 答案 C 解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈 p 为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选 C. (2)(2018·福州质检)已知命题 p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈 p 是( ) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 答案 C 解析 已知全称命题 p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈 p：∃x1，x2∈R，[f(x2) －f(x1)](x2－x1)<0，故选 C. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x， 证明 p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 x＝x0，使 p(x0)成 立． (2)对全称(存在性)命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定． 跟踪训练 1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0 答案 C 解析 因为 log21＝0，cos 0＝1，所以选项 A，B 均为真命题，02＝0，选项 C 为假命题，2x>0， 选项 D 为真命题，故选 C. (2)已知命题 p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( ) A．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 答案 B 解析 因为 3x>0，所以 3x＋1>1，则 log2(3x＋1)>0， 所以 p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选 B. 题型三 命题中参数的取值范围 例 3 (1)(2018·包头质检)已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题 q：“∃x∈R，使得 x2＋ 4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围为____________． 答案 [e,4] 解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得 a≥e； 由∃x∈R，使 x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则 a≤4，因此 e≤a≤4.则实数 a 的取值范围 为[e,4]． (2)已知 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝ 1 2 x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得 f(x1)≥g(x2)， 则实数 m 的取值范围是________________． 答案 1 4 ，＋∞ 解析 当 x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1,2]时， g(x)min＝g(2)＝1 4 －m，由 f(x)min≥g(x)min， 得 0≥1 4 －m，所以 m≥1 4. 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围 是________________． 答案 1 2 ，＋∞ 解析 当 x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝1 2 －m， 由 f(x)min≥g(x)max，得 0≥1 2 －m，∴m≥1 2. 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求 解参数的取值范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值) 解决． 跟踪训练 2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋15 2 a>0”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围 是______________． 答案 5 6 ，＋∞ 解析 由“∀x∈R，x2－5x＋15 2 a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式 x2－5x＋15 2 a>0 对任意实数 x 恒成立． 设 f(x)＝x2－5x＋15 2 a，则其图象恒在 x 轴的上方． 故Δ＝25－4×15 2 a<0，解得 a>5 6 ， 即实数 a 的取值范围为 5 6 ，＋∞ . (2)已知 c>0，且 c≠1，设命题 p：函数 y＝cx 为减函数．命题 q：当 x∈ 1 2 ，2 时，函数 f(x) ＝x＋1 x>1 c 恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则 c 的取值范围为________． 答案 0，1 2 ∪(1，＋∞) 解析 由命题 p 为真知，01 c 恒成立，需1 c<2，即 c>1 2 ， 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， 则 p，q 中必有一真一假， 当 p 真 q 假时，c 的取值范围是 01. 综上可知，c 的取值范围是 0，1 2 ∪(1，＋∞)． 常用逻辑用语 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几 乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等 偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断 例 1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x∈R，－x2＋x－1<0； ②∀x∈R，|x|>x； ③∀x，y∈Z，2x－5y≠12； ④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0. 答案 ① 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题． (2)(2018·哈尔滨联考)已知命题 p：∀x∈R，3x<5x；命题 q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题 中为真命题的是( ) A．p∧q B．(綈 p)∧q C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q) 答案 B 解析 若 x＝0，则 30＝50＝1，∴p 是假命题， ∵方程 x3＝1－x2 有解，∴q 是真命题， ∴(綈 p)∧q 是真命题． 二、充要条件的判断 例 2 (1)设 m，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∵存在负数λ，使得 m＝λn，∴非零向量 m 与 n 方向相反，∴m·n<0. ∵m·n<0，即|m||n|cos〈m，n〉<0， ∴cos〈m，n〉<0，∴m 与 n 的夹角为钝角或平角，不一定有 m 与 n 反向，故选 A. (2)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设 p：00，即 a2－2a－3>0，解得 a<－1 或 a>3. (2)已知命题 p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成立．若 p∧q 为假命题，则实数 m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞) 解析 由命题 p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得 m≤－1， 由命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成立，可得－2－1. 1．已知命题 p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题 q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件， 则( ) A．p∨q 为真 B．p∧q 为真 C．p 真 q 假 D．p∨q 为假 答案 D 解析 由 x>3 能够得出 x2>9，反之不成立，故命题 p 是假命题；由 a2>b2 可得|a|>|b|，但 a 不 一定大于 b，反之也不一定成立，故命题 q 是假命题．因此选 D. 2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x，1 x>2 答案 B 解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以 A 是假命题；B 中当 x＝0 时，x2＝0，满足 x2≤0， 所以 B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为 2＋(－ 2)＝0 不是无理数，所以 C 是假命题； D 中对于任意一个负数 x，都有1 x<0，不满足1 x>2，所以 D 是假命题． 3．已知命题 p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题 q：若 mx2－mx＋1>0 恒成立，则 00 恒成立， 则 m＝0 或 m>0， Δ＝m2－4m<0， 则 0≤m<4，所以命题 q 为假，故选 C. 4．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得 n≤x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得 n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得 n>x2 C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得 n>x2 D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得 n>x2 答案 D 解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2 的否定是 n>x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R， ∀n∈N＋，使得 n>x2”．故选 D. 5．若∃x∈ 1 2 ，2 ，使得 2x2－λx＋1<0 成立是假命题，则实数λ的取值范围是( ) A．(－∞，2 2] B．(2 2，3] C. 2 2，9 2 D．{3} 答案 A 解析 因为∃x∈ 1 2 ，2 ，使得 2x2－λx＋1<0 成立是假命题，所以∀x∈ 1 2 ，2 ，2x2－λx＋1≥0 恒成立是真命题，即∀x∈ 1 2 ，2 ，λ≤2x＋1 x 恒成立是真命题，令 f(x)＝2x＋1 x ，则 f′(x)＝2 －1 x2 ，当 x∈ 1 2 ， 2 2 时，f′(x)<0，当 x∈ 2 2 ，2 时，f′(x)>0，所以 f(x)≥f 2 2 ＝2 2，则λ≤2 2. 6．命题 p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是( ) A．(0,4] B．[0,4] C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 答案 D 解析 因为命题 p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0， 所以綈 p：∃x∈R，ax2＋a x＋1<0， 则 a<0 或 a>0， Δ＝a2－4a>0， 解得 a<0 或 a>4. 7．下列命题中，真命题是( ) A．∃x∈R，ex≤0 B．∀x∈R，2x>x2 C．a＋b＝0 的充要条件是a b ＝－1 D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 答案 D 解析 因为 y＝ex>0，x∈R 恒成立，所以 A 不正确； 因为当 x＝－5 时，2－5<(－5)2，所以 B 不正确； “a b ＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当 a>1，b>1 时，显然 ab>1，D 正确． 8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题 p：∃x∈R，cos x＝5 4 ；命题 q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下 列结论正确的是( ) A．命题 p∧q 是真命题 B．命题 p∧(綈 q)是真命题 C．命题(綈 p)∧q 是真命题 D．命题(綈 p)∨(綈 q)是假命题 答案 C 解析 因为对任意 x∈R，都有 cos x≤1 成立，而5 4>1，所以命题 p：∃x∈R，cos x＝5 4 是假命 题；因为对任意的 x∈R，x2－x＋1＝ x－1 2 2＋3 4>0， 所以命题 q：∀x∈R，x2－x＋1>0 是真命题． 由此对照各个选项，可知命题(綈 p)∧q 是真命题． 9．命题 p 的否定是“对所有正数 x， x>x＋1”，则命题 p 可写为______________． 答案 ∃x∈(0，＋∞)， x≤x＋1 解析 因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则 k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0] 解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当 k＝0 时，则有－1<0；当 k≠0 时，则有 k<0 且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－40，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2 －4×2×1 2<0，则－22x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝3 2 ，则在命题 q1：p1∨p2； q2：p1∧p2；q3：(綈 p1)∨p2 和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是________． 答案 q1，q4 解析 因为 y＝ 3 2 x 在 R 上是增函数，即 y＝ 3 2 x>1 在(0，＋∞)上恒成立，所以命题 p1 是真 命题；sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π 4 ≤ 2，所以命题 p2 是假命题，綈 p2 是真命题，所以命题 q1： p1∨p2，q4：p1∧(綈 p2)是真命题． 13．(2018·鞍山模拟)已知命题 p：∃x∈R，使 tan x＝1；命题 q：x2－3x＋2<0 的解集是 {x|11 时，f′(x)>0，函数 f(x)＝ex x 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当 0m(x2＋1)，q：函数 f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1 存在零点．若“p∨q” 为真命题，“p∧q”为假命题，则实数 m 的取值范围是____________． 答案 8 17 ，1 解析 ∀x∈ 1 4 ，1 2 ，2x>m(x2＋1)，即 m< 2x x2＋1 ＝ 2 x＋1 x 在 1 4 ，1 2 上恒成立，当 x＝1 4 时，x＋1 x max＝17 4 ， ∴ 2x x2＋1 min＝ 8 17 ， ∴由 p 真得 m< 8 17. 设 t＝2x，则 t∈(0，＋∞)，则函数 f(x)化为 g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知 g(t)在(0，＋∞)上 存在零点，令 g(t)＝0，得 m＝－(t＋1)2＋2，又 t>0，所以由 q 真得 m<1. 又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q 一真一假， 则 m≥ 8 17 ， m<1 或 m< 8 17 ， m≥1， 解得 8 17 ≤m<1. 故所求实数 m 的取值范围是 8 17 ，1 .