【数学】天津市南开中学2021届高三上学期第一次月考试题 11页

天津市南开中学 2021 届高三上学期第一次月考试题 一、选择题（本大题共 9 小题，共 45 分） 1．已知集合 { || 2 | 1}A x x   ，  2| 2 0B x x x    ，则  RA B  ð （ ） A．{ |0 2}x x  B．{ | 1 1 2 3}x x x    或 C．{ |1 2}x x  D．{ |2 3}x x  2．对于实数 a，b，c，“ a b ”是“ 2 2ac bc ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设 2 1ln3, log 3, 3 e a b c    ，则（ ） A． a b c  B． b a c  C． a c b  D． c b a  4．函数 ( ) ln 2 6f x x x   的零点一定位于区间（ ） A．(1,2) B． (2,3) C． (3,4) D． (4,5) 5．函数 | |2 sin2xy x 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形 ABCD 中， 2, 2AB BC  ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边CD 上，若 2AB AF   ，则 AE BF  的值是（ ）． A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 7．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 4) ( )f x f x  ，当 (0,1)x 时， ( ) 3xf x  ，则  3log 54f  （ ） A． 3 2  B． 2 3  C． 2 3 D． 3 2 8．已知函数 2 2 1, 0( ) 1, 0 x x xf x x x x         ，若 ( ) ( ) sin(2020 ) 1F x f x x   在区间[ 1,1] 上有 m 个零点 1 2 3, , , , mx x x x ，则        1 2 3 mf x f x f x f x     （ ）． A．4042 B．4041 C．4040 D．4039 9．若曲线 2 1 :C y x 与曲线 2 e: ( 0) x C y aa   存在公切线，则实数 a 的取值范围（ ）． A．(0,1) B． 2e1, 4      C． 2e ,24      D． 2e ,4    二、填空题（本大题共 6 小题，共 30 分）． 10．已知复数 2 1 iz i   （i 为虚数单位），则| |z ________． 11． 62x x     的展开式的常数项是________．（用数字作答） 12．已知函数 ln( 1), 0( ) 0, 0 x xf x x     ，若 ( 4) (2 3)f x f x   ，则实数 x 的取值范围是 _________． 13．已知函数  2 2( ) log 2 4 1 3f x x x    ，当 [ 2,2]x  时，则函数 ( )f x 的最大值 与最小值之和是________． 14．已知函数 1 2 2 2 , [0, )( ) 2 , ( ,0) x m xf x x mx x         的最小值为 2m ，则实数 m 的值为_________． 15．已知 mR ，函数 2 | 3 1|, 1( ) log ( 1), 1 x xf x x x      ， 2( ) 2 2 1g x x x m    ， 若 ( ( ))y f g x m  有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 75 分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题 14 分） 已知函数 2( ) sin 2 2cos ( 0)6f x x x         的周期为 ． （1）求 的值及函数 ( )f x 的单调递增区间； （2）若 0 2,6 3x      ，且  0 8 5f x  ，求 0sin2x 的值． 17．（本小题 15 分） 已知函数 2( ) ( )2 1xf x a a   R 为奇函数． （1）求 a 的值； （2）解不等式  2log 3f x  ； （3）若不等式 ( ) 0f x m  对任意 [1,2]x 恒成立，求实数 m 的取值范围． 18．（本小题 15 分） 如图， PD  平面 ABCD ， AD CD ， //AB CD ， //PQ CD ， 2 2 2AD CD DP PQ AB     ，点 E，F，M 分别为 AP ，CD ， BQ 的中点． （1）求证： //EF 平面 MPC ； （2）求锐二面角Q PM C  的大小； （3）若 N 为线段CQ 上的点，且直线 DN 与平面 PMQ 所成的角为 6  ，求线段QN 的长． 19．（本小题 15 分） 已知函数 2( ) ln 2( 0)f x a x ax     ． （1）若曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))P f 处的切线与直线 2 2 0x y   垂直，求 a 的值； （2）若对于任意 (0, )x  都有 ( ) 2( 1)f x a  成立，试求 a 的取值范围； （3）记 ( ) ( ) ( )g x f x x b b   R ．当 1a  时，函数 ( )g x 在区间 1,e e   上有两个零点， 求实数 b 的取值范围． 20．（本小题 16 分） 已知函数 ( ) ln 1f x x ax   ，其中 a R ． （1）求 ( )f x 的单调区间； （2）当 1a  时，斜率为 k 的直线 l 与函数 ( )f x 的图象交于两点  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 其中 1 2x x ，证明： 1 2 1 1x xk   ； （3）是否存在 k  Z ，使得 2( ) 2 1f x ax k x        对任意 1x  恒成立？若存在，请求 出 k 的最大值；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 一、选择题 1 2 3 4 5 9 7 8 9 D B C B D C A B D 二、填空题 10． 2 11．240 12． 3,2     13．6 14． 16 15． 5{0} ,17     三、解答题 16．解：（1） 2 3 1( ) sin 2 2cos sin2 cos2 1 cos26 2 2f x x x x x x              3 1sin2 cos2 1 sin 2 12 2 6x x x            ， ∵ 2 2T    ，∴ 1  ． ∴ 2 2 22 6 2k x k        ，解得 ,3 6k x k k      Z ∴ ( )f x 的递增区间为 , ,3 6k k k        Z （2）∵  0 8 5f x  ∴ 0 8sin 2 16 5x       ∴ 0 3sin 2 6 5x      ∵ 0 2,6 3x      ∴ 0 32 ,6 2 2x        ∴ 0 4cos 2 6 5x       ∴ 0 0 3 3 4 1 4 3 3sin2 sin 2 6 6 5 2 5 2 10x x                        17．解：（1）∵ ( )f x 为奇函数，∴ ( ) ( )f x f x   ，∴ 2 2 2 1 2 1x xa a         1 12 2 2 2 2 22 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x xa               ，∴ 1a   （2）   22 log 2 2log 1 12 1 1xf x x        ∵  2log 3f x  ∴ 21 31x    ，解得 1 12 x  所以不等式的解集为 1 ,12    （3）因为不等式 ( ) 0f x m  对任意 [1,2]x 恒成立， 所以 ( )f x m 对任意 [1,2]x 恒成立， 令 2 [2,4]xt   ，则 1 2 1 2( ) 11 2 1 1 x x ty f x t t          ， 所以 1 1 ty t   在[2,4]上单调递增，所以 min 1 2 31 2y    ， 所以 min[ ( )] 3f x   ，所以 3m   ． 18．解：（1）连接 EM ，因为 // , //AB CD PQ CD ，所以 //AB PQ ， 又因为 AB PQ ，所以 PABQ为平行四边形． 由点 E 和 M 分别为 AP 和 BQ 的中点，可得 //EM AB 且 EM AB ， 因为 // , 2AB CD CD AB ，F 为CD 的中点，所以 //CF AB 且CF AB ， 可得 //EM CF 且 EM CF ，即四边形 EFCM 为平行四边形， 所以 //EF MC ，又 EF  平面 MPC ， CM  平面 MPC ， 所以 //EF 平面 MPC ． （2）因为 PD  平面 ABCD ， AD CD ，可以建立以 D 为原点， 分别以 , ,DA DC DP    的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系． 依题意可得 (0,0,0), (2,0,0), (2,1,0), (0,2,0)D A B C ， (0,0,2), (0,1,2), (1,1,1), (1,1, 1), (0,1,0), (1, 1,1), (0,2, 2)            P Q M PM PQ CM PC 设 1 ( , , )n x y z 为平面 PMQ 的法向量， 则 1 1 0 0 n PM n PQ          ，即 0 0 x y z y      ， 不妨设 1z  ，可得 1 (1,0,1)n  设 2 ( , , )n x y z 为平面 MPC 的法向量， 则 2 2 0 0 n PC n CM          ，即 2 2 0 0 y z x y z       ，不妨设 1z  ，可得 2 (0,1,1)n  ． 设锐二面角Q PM C  的平面角为 ∴ 1 2 1 2 1 2 1cos cos , 2 n n n n n n             ，所以 3   ． 所以，二面角Q PM C  的大小为 3  ． （3）设 (0 1)ON QC     ，即 (0, , 2 )QN QC      ， 则 (0, 1,2 2 )N    ，从而 (0, 1,2 2 )DN     ． 由（2）知平面 PMQ 的法向量为 1 (1,0,1)n  ， 由题意， 1 1 1 sin cos ,6 | | DN n DN n DN n           ，即 2 2 1 | 2 2 | 2 ( 1) (2 2 ) 2         ， 整理得 23 10 3 0    ，解得 1 3   或 3  ， 因为 0 1  所以 1 3   ，所以 1 3QN QC  ， 1 5| |3 3QN QC  ． 19．解：（1）直线 2 2 0x y   的斜率为 1 2  ，函数 ( )f x 的定义域为(0, ) ． 因为 2 2( ) af x x x     ，所以 2 2(1) 21 1 af      ，所以 4a  ， （2） 2 2 2 2( ) a axf x x x x      由 ( ) 0f x  解得 2x a  ； 由 ( ) 0f x  解得 20 x a   ． 所以 ( )f x 在区间 2 ,a     上单调递增，在区间 20, a     上单调递减， 所以当 2x a  时，函数 ( )f x 取得最小值 min 2y f a      ． 因为对于任意 (0, )x  都有 ( ) 2( 1)f x a  成立，所以 2 2( 1)f aa       即可． ∴ 2 2ln 2 2( 1)2 a aa a     ，即 2lna aa  ，解得 20 ea  ， 所以 a 得取值范围是 20, e     ． （3）依题意得 2( ) ln 2g x x x bx      ，则 2 2 2( ) x xg x x    ， 由 ( ) 0g x  解得 1x  ，由 ( ) 0g x  解得 0 1x  ． 函数 ( )g x 在区间 1,e e   上有两个零点， 所以  1 0 ( ) 0 (1) 0 g e g e g       ，解得 21 1b ee     ． 所以 b 的取值范围是 21, 1ee      ． 20．解：（1）因为 1( ) , 0f x a xx     ， 当 0a  时， ( ) 0f x  恒成立，所以 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增， 当 0a  时， 10,x a     时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 10, a     上单调递增， 1 ,x a      时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 1 ,a     上单调递减, 综上所述：当 0a  时， ( )f x 在(0, ) 上单调递增， 当 0a  时， ( )f x 在 10, a     上单调递增，在 1 ,a     上单调递减． （2）当 1a  时， ( ) ln 1f x x x   ， 所以 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ln ln ln ln 1y y x x x x x xk x x x x x x           ，所以 2 1 2 1 ln ln1 x xk x x    ， 要证 1 2 1 1x xk   ，即证 2 1 2 2 1 1 1 ln ln 1x x x x x x   ， 因为 2 1 0x x  ，即证 2 1 2 2 1 2 1 1 lnx x x x x x x x    ， 令 2 1 ( 1)x t tx   ，即证 11 ln 1( 1)t t tt      ，令 ( ) ln 1( 1)k t t t t    ， 由（1）知， ( )k t 在(1, ) 上单调递减， 所以 ( ) (1) 0k t k  ，即 ln 1 0t t   ，所以 ln 1t t  ， 令 1( ) ln 1( 1)h t t tt     ，则 2 2 1 1 ( 1)( ) 0( 1)t th t tt t t       ， 所以 ( )h t 在 (1, ) 上单调递增，所以 ( ) (1) 0h t h  ，即 1ln 1 ( 1)t tt    ； 综上可得 11 ln 1( 1)t t tt      ，即 1 2 1 1x xk   ； （3）由已知得 2( ) 2 1f x ax k x        ， 即为 (ln 1) ( 2)( 1)x x k x x    ，即 ln 2 0( 1)x x x kx k x     ， 令 ( ) ln 2 ( 1)g x x x x kx k x     ，则 ( ) lng x x k   ， 当 0k  时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在(1, ) 上单调递增， (1) 1 0g k   ，即 1k  ，矛盾，故舍去； 当 0k  时，由 ln 0x k  ，得 kx e ，由 ln 0x k  ，得1 kx e  ， 所以 ( )g x 在  1, ke 上单调递减，  ,ke  单调递增， 所以 min( ) 2 ( 0)kg x k e k   ， 即当 min( ) 2 0( 0)kg x k e k    恒成立，求 k 的最大值． 令 ( ) 2 tG t t e  ，则 ( ) 2 tG t e   ， 当 2 0te  ，即 ln 2t  时， ( )G t 单调递增，当 2 0te  ，即 ln 2t  时， ( )G t 单调递减， 所以 max( ) (ln2) 2ln2 2 0G x G    ，所以不存在整数 k 使 2 0kk e  成立， 综上所述，不存在满足条件的整数 k．