四川省资阳市乐至县宝林中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学模拟试题 16页

www.ks5u.com 四川省乐至县宝林中学2019—2020学年上期 高一数学期末模拟试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1._______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式将所求角化为锐角.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数，属于基础题.‎ ‎2.已知全集合,，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合和集合，求，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查集合运算，注意全集的范围，属于基础题.‎ ‎3.若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．‎ ‎【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，‎ 扇形的面积为：4（cm2）．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．‎ ‎4.函数的最小正周期是______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的周期，即可得结果.‎ ‎【详解】函数的最小正周期是.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的周期，属于基础题.‎ ‎5.已知,向量与的夹角是，则实数_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，与两向量共线且方向相同，利用共线向量的坐标关系，即可求出的值.‎ ‎【详解】向量与的夹角是，‎ 即两向量共线且方向相同，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 当时，（舍去）.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标关系，属于基本题.‎ ‎6.计算：_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分数指数幂的运算法则，及对数运算法则，即可出结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂以及对数运算，属于基础题.‎ ‎7.函数的值域是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出函数各段的函数值范围，再取并集，即可得结果.‎ ‎【详解】当时，‎ 当时，‎ 的值域为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的值域以及指数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎8.若，，则与的夹角等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的夹角公式即可求得答案.‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查向量的夹角的计算，属于基础题.‎ ‎9.计算：_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所求式子因式分解，再用二倍角公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式，以及特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.在平面直角坐标系中，角的终边关于一、三象限的角平分线对称，且角的终边经过点，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称关系求出终边上一点坐标，用三角函数的定义，求出的正余弦值，再用两角和的正弦公式，即可求出答案.‎ ‎【详解】角的终边关于一、三象限的角平分线对称，且角的 终边经过点，则角的终边经过点，‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故答案为1‎ ‎【点睛】本题考查三角函的定义以及两角和的正弦公式，属于基础题.‎ ‎11.函数的递增区间是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进行讨论．‎ ‎【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，‎ 当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间．‎ 综上所述，递增区间是．‎ ‎【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解．‎ ‎12.如图，菱形ABCD的边长为1，，E、F分别为AD、CD的中点，则＝ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：＝‎ 考点：1.向量的三角形法则；2.向量的数量级运算 ‎13.已知函数是定义在R上的奇函数,且当x>0时,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 答案为：.‎ ‎14.已知函数，对于上任意有如下条件：①；②；③.其中能使恒成立的条件是_____.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数奇偶性，然后再确定单调区间，利用函数的单调性即可得结果.‎ ‎【详解】,任取，‎ 是偶函数，‎ 在单调递增，‎ 由，得到，‎ 而此时，‎ 不成立.‎ 故答案为: ②③‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质，并利用函数的单调性比较自变量的大小关系，属于中档题.‎ 二、解答题：本大题共6道题，计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知，求：（1）；（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题意首先求得，结合诱导公式可得三角函数式的值为.‎ ‎(2)由(1)中的结论结合两角和差正余弦公式可得 .‎ 试题解析：‎ ‎∵，∴ ‎ ‎（1）原式＝＝ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ＝ ‎ 点睛： (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．‎ ‎(2)诱导公式应用的步骤：‎ 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→‎ ‎0～2π的角的三角函数→锐角三角函数 注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．‎ ‎16.函数在它的某一个周期内的单调减区间是.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为1，最小值为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为；‎ ‎(2)首先求得函数的解析式结合函数的定义域可得函数的最大值为1，最小值为 试题解析：‎ ‎（1）由条件，， ∴ ∴ ‎ 又∴ ‎ ‎∴的解析式为 ‎ ‎（2）将的图象先向右平移个单位，得 ‎ ‎∴ ‎ 而 ‎ ‎∴函数在上的最大值为1，最小值为 ‎17.已知函数 ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）记函数求函数的值域；‎ ‎（3）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数有意义，确定不等式组，即可求出定义域；‎ ‎（2）利用对数恒等式，化简，转化为求二次函数的值域；‎ ‎（3）不等式有解，转化为与的最值关系，即可求出的范围.‎ ‎【详解】（1）函数有意义，须满足，∴， ‎ ‎∴所求函数的定义域为. ‎ ‎（2）由于，∴，‎ ‎ 而 ‎∴函数， ‎ 其图象的对称轴为，‎ 所以所求函数的值域是；‎ ‎（3）∵不等式有解，∴ ，‎ 令，由于，∴‎ ‎∴的最大值为 ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域、值域、不等式有解求参数，属于基本运算，是基础题.‎ ‎18.如图，在中，BC、CA、AB的长分别为.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，试证明为直角三角形.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用向量方法证明，由，两边同乘以，再利用向量数量积公式，即可得证；‎ ‎（1）证法一：，结合向量数量积公式即可得证；‎ 证法二：已知等式转化为三角形边角关系，再结合（1）的结论，即可得证.‎ ‎【详解】（1）∵， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）,由 得 ，‎ ‎， ‎ ‎∴△ABC为直角三角形. ‎ 证法二：由（1）类似可证得：（*） ‎ 由得， 即：，‎ ‎∴，结合（*）式得，‎ ‎∴，∴△ABC为直角三角形 .‎ ‎【点睛】本题考查向量在三角形中的应用，考查等价转换思想，属于中档题.‎ ‎19.如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 建立坐标系，设出坐标，把平衡关系转化为向量关系，然后根据三角的相关公式整理出正数关于角的函数，再进行恒等变换求出参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角 分别为，则由三角函数定义得，‎ ‎，‎ 由于系统处于平衡状态，∴‎ ‎∴ ，‎ ‎【方法一】移项，（1）、（2）平方相加得：，‎ 即 ，‎ 而存在正数使得系统平衡，∴△＝，‎ ‎∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，‎ 不扣分．这时均为0）‎ 由（*）解得，由（2）式知 ‎∴，这是关于的增函数， ‎ ‎∴正数的取值范围为 .‎ ‎【方法二】（1）、（2）平方相加得：，‎ 由（1）知，，而 ‎∴ 随单调递增，∴‎ ‎（这里的锐角满足，此时）‎ 且（写成不扣分，这时均为0）‎ ‎∴从而，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴, ∴正数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的正交分解及坐标表示，考查了有实际物理背景的向量之间的运算，利用向量加法的法则建立起相关的方程，然后求出参数，用向量法求解物理问题是向量的一个重要运用.‎ ‎20.已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由偶函数得，根据对数运算法则化简得的值；（2）化简方程得关于一元二次方程，先讨论时，是否满足条件，再根据实根分布讨论的取值范围．本题也可利用参变分离法，转化为讨论函数交点个数.‎ 试题解析：解：（1）∵（）是偶函数，‎ ‎∴对任意，恒成立 即：恒成立，∴‎ ‎（2）由于，所以定义域为，也就是满足 ‎∵函数与的图象有且只有一个交点，‎ ‎∴方程上只有一解 ‎ 即：方程在上只有一解 ‎ 令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解 当时，解得，不合题意；‎ 当时，记，其图象的对称轴 ‎∴函数在上递减，而 ‎∴方程（*）在无解 当时，记，其图象的对称轴 所以，只需，即，此恒成立 ‎∴此时的范围为 综上所述，所求的取值范围为 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎ ‎