2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第8节课件（29张）（全国通用） 29页

第 8 节　曲线与方程 最新考纲　 1. 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系； 2. 了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质； 3. 会根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 . 1. 曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C ( 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 ) 上点的坐标与一个二元方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的实数解满足如下关系： (1) 曲线上点的坐标都 是 ________________ ； (2) 以这个方程的解为坐标的点都 是 ____________ ， 那么这个方程叫 做 ___________ ， 这条曲线叫 做 ______________ . 知 识 梳 理 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 2. 求动点的轨迹方程的一般步 骤 (1) 建系 —— 建立适当的坐标系 . (2) 设点 —— 设轨迹上的任一点 P ( x ， y ). (3) 列式 —— 列出动点 P 所满足的关系式 . (4) 代换 —— 依条件式的特点，将其转化为 x ， y 的方程式，并化简 . (5) 证明 —— 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 . 3. 两曲线的交点 设曲线 C 1 的方程为 F 1 ( x ， y ) ＝ 0 ，曲线 C 2 的方程为 F 2 ( x ， y ) ＝ 0 ，则 C 1 ， C 2 的交点坐标 即 为 方程 组 __________________ 的 实数解 . 若此方程 组 ________ ， 则两曲线无交点 . 无解 [ 常用结论与微点提醒 ] 求轨迹方程的常用方 法 1. 直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式 ( 两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等 ) 进行整理、化简，即把这种关系 “ 翻译 ” 成含 x ， y 的等式就得到曲线的轨迹方程 . 2. 定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程 . 3. 相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点 ( 称之为相关点 ) 而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程 . 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 答案 　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. 已知命题 “ 曲线 C 上的点的坐标是方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的解 ” 是正确的，则下列命题中正确的是 ( 　　 ) A . 满足方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的点都在曲线 C 上 B . 方程 f ( x ， y ) ＝ 0 是曲线 C 的方程 C . 方程 f ( x ， y ) ＝ 0 所表示的曲线不一定是曲线 C D . 以上说法都正确 解析　 曲线 C 可能只是方程 f ( x ， y ) ＝ 0 所表示的曲线的一部分，因此答案 C 正确 . 答案 　 C 3. 已知 M ( － 1 ， 0) ， N (1 ， 0) ， | PM | － | PN | ＝ 2 ，则动点 P 的轨迹是 ( 　　 ) A . 双曲线 B. 双曲线左支 C . 一条射线 D. 双曲线右支 解 析　 由于 | PM | － | PN | ＝ | MN | ，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线 . 答 案 　 C 4. 已知 M ( － 2 ， 0) ， N (2 ， 0) ，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ________. 解 析　 连接 OP ，则 | OP | ＝ 2 ， ∴ P 点轨迹是去掉 M ， N 两点的圆， ∴ 方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≠ ±2). 答 案 　 x 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≠ ±2) 5. ( 选修 2 － 1P35 例 1 改编 ) 曲线 C ： xy ＝ 2 上任一点到两坐标轴的距离之积为 ________. 解 析　 曲线 xy ＝ 2 上任取一点 ( x 0 ， y 0 ) ，则 x 0 y 0 ＝ 2 ，该点到两坐标轴的距离之积为 | x 0 || y 0 | ＝ | x 0 y 0 | ＝ 2. 答 案 　 2 (2) 当 a ≠ 3 ， a >0 时， | PF 1 | ＋ | PF 2 |>| F 1 F 2 |. 由椭圆定义知 P 点的轨迹为椭圆 . 答案 　 (1) 线段 F 1 F 2 　 (2) 椭圆 考点一　直接法求轨迹方程 【例 1 】 (2017· 义乌模拟 ) 已知动圆过定点 A (4 ， 0) ，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. ( 1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程； ( 2) 已知点 B ( － 1 ， 0) ，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P ， Q ，若 x 轴是 ∠ PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点 . 即 y 1 ( x 2 ＋ 1) ＋ y 2 ( x 1 ＋ 1) ＝ 0 ， ( kx 1 ＋ b )( x 2 ＋ 1) ＋ ( kx 2 ＋ b )( x 1 ＋ 1) ＝ 0 ， 2 kx 1 x 2 ＋ ( b ＋ k )( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 2 b ＝ 0 ③ 将 ① ， ② 代入 ③ 得 2 kb 2 ＋ ( k ＋ b )(8 － 2 bk ) ＋ 2 k 2 b ＝ 0 ， ∴ k ＝－ b ，此时 Δ >0 ， ∴ 直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，即直线 l 过定点 (1 ， 0). 规律方法 　利用直接法求轨迹方程 (1) 利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简 . (2) 运用直接法应注意的问题 ① 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的 . ② 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 . 解析　 因为点 B 与点 A ( － 1 ， 1) 关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为 (1 ，－ 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x 2 ＋ 3 y 2 ＝ 4( x ≠ ±1). 答案 　 x 2 ＋ 3 y 2 ＝ 4( x ≠ ±1) 考点二　定义法求轨迹方程 【例 2 】 已知两个定圆 O 1 和 O 2 ，它们的半径分别是 1 和 2 ，且 | O 1 O 2 | ＝ 4 ，动圆 M 与圆 O 1 内切，又与圆 O 2 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 . 解 　如图所示，以 O 1 O 2 的中点 O 为原点， O 1 O 2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 . 规律方法 　 (1) 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程 . (2) 理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键 . (3) 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 . 【训练 2 】 已知圆 M ： ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，圆 N ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C . 求 C 的方程 . 解 　由已知得圆 M 的圆心为 M ( － 1 ， 0) ，半径 r 1 ＝ 1 ；圆 N 的圆心为 N (1 ， 0) ，半径 r 2 ＝ 3. 设圆 P 的圆心为 P ( x ， y ) ，半径为 R . 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以 | PM | ＋ | PN | ＝ ( R ＋ r 1 ) ＋ ( r 2 － R ) ＝ r 1 ＋ r 2 ＝ 4 ＞ | MN | ＝ 2. 考点三　相关点法 ( 代入法 ) 求轨迹方程 答案 　 C