2017-2018学年湖南省怀化三中高二下学期期中考试数学理试题 Word版 8页

‎2017-2018学年湖南省怀化三中高二下学期期中考试理科数学试题 命题人：齐锴 审题人：宁勇 时量：120分钟 分值：150分 一、 选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。‎ ‎1.设a,b,c∈R,且a>b,则( )‎ ‎ A.ac>bc B. C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎2.动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是 （ ）‎ A双曲线 B 双曲线的一支 C两条射线 D 一条射线 ‎3.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题，则（ ）‎ A． B.‎ C． D.‎ ‎5.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）‎ ‎（A） （B）（C） （D）‎ ‎6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是　(　　)‎ A．B．C．D．‎ ‎7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8.设等差数列的前项和为，若,,，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知锐角的内角的对边分别为，，‎ ‎，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10.已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，‎ 若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎11.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=.‎ ‎12.不等式的解集为.‎ ‎13.设满足约束条件 ，则的最大值为.‎ ‎14.已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、成等比数列，‎ 则 ‎15.直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为，则梯形的面积为.‎ 三.解答题： ‎ ‎16.（12分）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长x为何值时，花园面积最大并求出最大面积 ‎17.（12分）已知有两个不等的负根，无实根，若为真，为假，求m的取值范围.‎ ‎18.（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.‎ ‎(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.‎ ‎19.（12分）设为数列{}的前项和，已知，2，N ‎（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；(Ⅱ) 求数列｛｝的前项和。‎ ‎20.( 13分)双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．‎ ‎21.( 14分)已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，.‎ ‎（i）证明：平分线段（其中为坐标原点）；‎ ‎（ii）当最小时，求点的坐标.‎ ‎2017年下期期中考试高二年级理科数学试题 ‎ 答 案 ‎ 选择题：1------5: D D A C D 6------10：D B C D D 填空题：11、 12、 13、3 14、 15、48‎ 解答题：‎ ‎16、（12分）设矩形高为y, 由三角形相似得: ‎ ‎.‎ ‎17、（12分）解：∵p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根， ∴，∴m＞2， 又∵q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根， ∴， ∴1＜m＜3， -----------6分 ‎ 又p或q为真，p且q为假， ∴当p真q假时，或，∴m≥3； 当p假q真时，‎ ‎，∴1＜m≤2； 综上所述，m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}。 -----------12分 ‎ ‎ ‎18、（12分）(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,‎ 所以tanB=1,解得B= -----------6分 ‎(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-)ac,解得ac≤4+2,所以△ABC的面积为acsin≤×(4+2)=+1.所以△ABC面积的最大值为+1. ---------12分 ‎19、（12分）（Ⅰ）令，得，因为，所以，‎ 令，得，解得。当时，由 ‎，两式相减，整理得，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，。 --------------5分 ‎(Ⅱ)由(I )知，记其前项和为，于是 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① ‎-②得 ‎ ‎ 从而 --------------12分 ‎20、( 13分)（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，‎ 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，‎ 可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．‎ 所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x． -------5分 ‎（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），‎ 由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，‎ 可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．‎ ‎=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），‎ ‎（+）•=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，‎ 可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+•k=0‎ 可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±． -------13分 ‎ ‎ ‎21、( 14分)（1）依条件，‎ 所以椭圆C的标准方程为 --------------3分 ‎ ‎（2）设，，，又设中点为，‎ ①因为，所以直线的方程为：，‎ ‎，‎ 所以，‎ 于是，，‎ 所以．因为，‎ 所以，，三点共线，‎ 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）． --------------8分 ②，，‎ 所以，令（），‎ 则（当且仅当时取“”），‎ 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或. ----14分