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  • 2021-07-01 发布

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期寒假作业检测数学试题

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徐州一中 2019~2020 学年度高二数学寒假检测 2 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.曲线 在点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. 2.已知 为函数 的极小值点,则 ( ) A. 4 B. 2 C.4 D.2 3.函数 的单调递减区间为( ) A.(-1,1] B.(0,1] C. [1,+ ) D.(0,+ ) 4.设函数 ,则( ) A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点 C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点 5.已知点 在曲线 上, 为曲线在点 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是( ) A.[0, ) B. C. D. 6.已知函数 的图像是下列四个图像之一,且其导函数 的图像 如 右图所示,则该函数的图像是( ) 7.若 , ,且函数 在 处有极值,则 的最大值等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 8.设直线 与函数 , 的图像分别交于点 ,则当 达到最小时 的值为( ) A.1 B. C. D. 9.(多选题)已知函数 ,则( ) A. 在 单调递增 B. 在 单调递减 C. 的图像关于直线 对称 D. 的图像关于点 对称 10.(多选题)设直线 , 分别是函数 ,图象上点 , 处的切线, 与 垂直相交于点 ,且 , 分别与 轴相交于点 , ,则 的面积可能是( ) 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + = xxy ln2 1 2 −= ∞ ∞ ( ) xf x xe= 1x = ( )f x 1x = ( )f x 1x = − ( )f x 1x = − ( )f x 2sin cosy x x= + ( , 1)π − a 3( ) 12f x x x= − a = − − P 4 1xy e = + α P α 4 π [ , )4 2 π π 3( , ]2 4 π π 3[ , )4 π π ( )y f x= ( )y f x′= 0a > 0b > 3 2( ) 4 2 2f x x ax bx= − − + 1x = ab x t= 2( )f x x= ( ) lng x x= ,M N MN t 1 2 5 2 2 2 ( ) ln ln(2 )f x x x= + − ( )f x (0,1) ( )f x (1,2) ( )y f x= 1x = ( )y f x= (1,0) 1l 2l ln , 0 1( ) ln , 1 x xf x x x − < <=  > 1P 2P 1l 2l P 1l 2l y A B PAB∆ A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上.) 11.已知函数 为 的导函数,则 的值为____. 12.函数 在 =______处取得极小值. 13.在平面直角坐标系 中,若曲线 (a,b 为常数)过点 ,且该曲线在点 P 处的切 线与直线 平行,则 的值是 . 14 . 已 知 函 数 , ( 其 中 ) . 对 于 不 相 等 的 实 数 , 设 = , = .现有如下命题:①对于任意不相等的实数 ,都有 ; ②对于任意的 及任意不相等的实数 ,都有 ;③对于任意的 ,存在不相等的实数 ,使得 ;④对于任意的 ,存在不相等的实数 ,使得 .其中真命题 有___________(写出所有真命题的序号). 三、解答题(本大题共 2 小题,共 30 分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上.) 15.设函数 (I)求曲线 在点 处的切线方程; (II)设 ,若函数 有三个不同零点,求 c 的取值范围. 16.已知函数 . (Ⅰ)求 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 的切线 的斜率为负数时,求 在 轴上截距的取值范围. xOy x baxy += 2 )5,2( −P 0327 =++ yx ba + ( ) 3 2 .f x x ax bx c= + + + ( ).y f x= ( )( )0, 0f 4a b= = ( )f x 2( ) xf x x e−= ( )f x ( )y f x= l l x 1 2 2 2+ 3 4 1 ln3+ ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x′= ( )f x (0)f ′ 3 2( ) 3 1f x x x= − + x ( ) 2xf x = 2( )g x x ax= + a∈R 1 2,x x m 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x − − n 1 2 1 2 ( ) ( )g x g x x x − − 1 2,x x 0m > a 1 2,x x 0n > a 1 2,x x m n= a 1 2,x x m n= − 参考答案与解析 1.选 C 由 ,得 ,所以 , 所 以 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 , 即 . 2.选 D 因为 ,令 , ,当 时 , 单调递增;当 时 , 单调递减;当 时 , 单调递增.所以 .故选 D. 3.选 B∵ ,∴ ,由 ,解得 ,又 ,∴ 故 选 B. 4.选 D , , 恒成立,令 ,则 ,当 时, ,函数单调减,当 时, ,函数单调增,则 为 的极小值点,故选 D. 5.选 D 因为 ,即 tan ≥-1,所以 . 6.选 B 由导函数图像可知函数的函数值在[ 1,1]上大于零,所以原函数递增,且导 函数值在[ 1,0]递增,即原函数在[ 1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数 值在[0,1]递减,即原函数在[0,1]上切线的斜率递减,所以选 B. 7.选 D ,由 ,即 ,得 . 由 , ,所以 ,当且仅当 时取等号.选 D. 8.选 D 由题 不妨令 ,则 ,令 解得 ,因 时, ,当 时, , 所以当 时, 达到最小.即 . 9.选 ABC 由 , 知, 在 上单调递增,A 正确;在 上单调递减,B 正确;又 ,所以 的图象关于 对称,C 正确; ,D 不正确 10.选 BC 设 (不妨设 ),则由导数的几何 意 义 易 得 切 线 的 斜 率 分 别 为 由 已 知 得 切线 的方程分别为 ,切 线 的方程为 ,即 .分别令 得 又 与 的交点为 .∵ 2cos siny x x′ = − π 2cos π sin π=-2xy =′ = − (π, 1)− 1 2( π)y x+ = − − 2 2 1 0x y+ − π + = ( ) xf x xe= 0>xe 1−=x 1−x 1x = − ( )f x 2sin cosy x x= + 2sin cosy x x= + 2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + − ( ) 0f x′ = 2x = ± ( , 2)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 2,2)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 2, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a = 21 ln2y x x= − 1y x x ′ = − 0y′ 1 1x−   0x > 0 1x<  ( ) ( 1)xf x e x′ = + ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > ' 2 4 4 1( 1) 2 x x x x ey e e e − −= = ≥ −+ + + α 3 4 π α π≤ ≤ − − − 2( ) 12 2 2f x x ax b′ = − − (1) 0f ′ = 12 2 2 0a b− − = 6a b+ = 0a > 0b > 2( ) 92 a bab + =≤ 3a b= = 2| | lnMN x x= − ( 0)x > 2( ) lnh x x x= − 1'( ) 2h x x x = − '( ) 0h x = 2 2x = 2(0, )2x∈ '( ) 0h x < 2( , )2x∈ +∞ '( ) 0h x > 2 2x = | |MN 2 2t = 2(1 )( ) (2 ) xf x x x −′ = − 0 2x< < ( )f x (0,1) (1,2) (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x = (2 )+ ( ) 2[ln(2 ) ln ] 0f x f x x x− = − + ≠ ( ) ( )1 1 1 2 2 2, ln , , lnP x x P x x− 1 21, 0 1x x> < < 1 2,l l 1 2 1 2 1 1, .k kx x = = − 1 2 1 2 2 1 11, 1, .k k x x x x = − ∴ = ∴ = ∴ 1l ( )1 1 1 1lny x x xx − = − 2l ( )2 2 2 1lny x x xx + = − − 1 1 1 1lny x x x x  − = − −   0x = ( ) ( )1 10 , 1 ln , 0 ,1 ln .A x B x− + + 1l 2l 2 1 1 1 2 1 1 2 1( ,ln )1 1 x xP xx x −++ + , ∴ , ∴ , 故 选 BC. 11.3 . 12.2 由题意 ,令 得 或 .因 或 时, , 时, .∴ 时 取得极小值. 13.-3 由题意可得 ①又 ,过点 的切线的斜率 ②,由①②解得 ,所以 . 14 . ①④ 因 为 在 上 是 单 调 递 增 的 , 所 以 对 于 不 相 等 的 实 数 , 恒成立,①正确; 因为 ,所以 = ,正负不定,②错误; 由 , 整 理 得 . 令 函 数 ,则 ,令 ,则 ,又 , ,从而存在 ,使得 ,于是 有 极 小 值 , 所 以 存 在 ,使得 ,此时 在 上单调递增,故不存在不 相等的实数 ,使得 ,不满足题意,③错误; 由 得 , 即 , 设 , 则 , 所 以 在 上 单 调 递 增 的 , 且 当 时 , ,当 时, ,所以对于任意的 , 与 的图象一定有交点,④正确. 15.(本题满分 15 分)(I)由 ,得 .┄┄┄┄2 分 因为 , , 所以曲线 在点 处的切线方程为 .┄┄┄┄5 分 (II)当 时, ,所以 . 令 ,得 ,解得 或 .┄┄┄┄8 分 与 在区间 上的情况如下: )5,2( −P 1 1x > 2 1 1 2 2 1 1 2 11 | | | | 12 1 1PAB A B P x xS y y x x x∆ += − ⋅ = < =+ + 0 1PABS∆< < ( ) (2 +3) , (0) 3xf x x e f′ ′= ∴ = 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x = 0x < 2x > ( ) 0f x′ > 0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x = ( )f x 5 4 2 ba− = + 2( ) 2 bf x ax x ′ = − 74 4 2 ba − = − 1, 2a b= − = − 3a b+ = − ( ) 2xf x = R 1 2,x x 1 2 1 2 2 2 0 x x m x x −= >− 2( )g x x ax= + 2 2 1 1 2 2 1 2 ( )x ax x axn x x + − += − 1 2x x a+ + m n= 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = − 2( ) ( ) ( ) 2xp x f x g x x ax= − = − − ( ) 2 ln 2 2xp x x a′ = − − ( ) ( )t x p x′= 2( ) 2 (ln 2) 2xt x′ = − 2(1) 2(ln 2) 2 0t′ = − < 2(3) 8(ln 2) 2 0t′ = − > 0 (1,3)x ∈ 0 2 0( ) 2 (ln 2) 2 0xt x′ = − = ( )p x′ 0 0 0 2 2 2 2( ) 2 ln 2 2 2logln 2 (ln 2) xp x x a a′ = − − = − − 2 2 22log (ln 2)a = − 2( ) 0ln 2p x′ = > ( )p x R 1 2,x x 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = − m n= − ( ) ( )f x g x′ ′= − 2 ln 2 2xa x− = + ( ) 2 ln 2 2xh x x= + 2( ) 2 (ln 2) 2 0xh x′ = + > ( )h x R x → +∞ ( )h x → +∞ x → −∞ ( )h x → −∞ a y a= − ( )y h x= ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ( ) 23 2f x x ax b′ = + + ( )0f c= ( )0f b′ = ( )y f x= ( )( )0, 0f y bx c= + 4a b= = ( ) 3 24 4f x x x x c= + + + ( ) 23 8 4f x x x′ = + + ( ) 0f x′ = 23 8 4 0x x+ + = 2x = − 2 3x = − ( )f x ( )f x′ ( ),−∞ +∞ x ( ), 2−∞ − 2− 22, 3  − −   2 3 − 2 ,3  − +∞   ( )f x′ + 0 − 0 + ┄┄┄┄10 分 所以,当 且 时,存在 , , , 使得 .┄┄┄┄13 分 由 的单调性知,当且仅当 时,函数 有三 个不同零点. ┄┄┄┄15 分 16.(本题满分 15 分) (Ⅰ) 的定义域为 , ① ┄┄┄┄2 分 当 或 时, ;当 时, 所以 在 , 单调递减,在 单调递增.┄┄┄┄4 分 故当 时, 取得极小值,极小值为 ; 当 时, 取得极大值,极大值为 . ┄┄┄┄6 分 (Ⅱ)设切点为 ,则 的方程为 所以 在 轴上的截距为 ┄┄┄┄10 分 由已知和①得 . 令 ,则当 时, 的取值范围为 ;当 时, 的取值范围是 . ┄┄┄┄13 分 所以当 时, 的取值范围是 . 综上, 在 轴上截距的取值范围 . ┄┄┄┄15 分x ( )f x  c  32 27c −  0c > 32 027c − < ( )1 4, 2x ∈ − − 2 22, 3x  ∈ − −   3 2 ,03x  ∈ −   ( ) ( ) ( )1 2 3 0f x f x f x= = = ( )f x 320, 27c  ∈   ( ) 3 24 4f x x x x c= + + + ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2xf x e x x−′ = − − ( ),0x∈ −∞ ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( )0,2 0x = ( )f x ( )0 0f = 2x = ( )f x ( ) 22 4f e−= ( )( ),t f t l ( )( ) ( )y f t x t f t′= − + l x ( ) ( ) ( ) 22 32 2 f t tm t t t tf t t t = − = + = − + +′ − − ( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( ) ( )2 0h x x xx = + ≠ ( )0,x∈ +∞ ( )h x [2 2, )+∞ ( ), 2x∈ −∞ − ( )h x ( ), 3−∞ − ( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( )m t ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞ l ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞