数学文卷·2017届江西省南昌市八一中学高三2月测试（2017 10页

‎ 2016~2017学年度第二学期高三 文科数学2月份月考测试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。‎ ‎（1）若集合，且，则集合可能是( ) ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知方程有实根，且，则复数等于 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎（3）设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的 ( )条件 ‎ （A）充分不必要 （B）必要不充分条件 （C）充要 （D）既不充分也不必要 ‎（4）双曲线的离心率，则它的渐近线方程为( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，‎ 则该几何体的侧视图为( )‎ （7） 已知是内的一点，且若和的面积分别为，则的最小值是（　 ）‎ ‎ A．20 B．18 C．16 D．9 ‎ ‎（8）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为( )‎ ‎ （A）7　　 （B）9　　 （C）10　　（D）11‎ ‎（9）已知实数x，y满足：，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎（10）已知函数的图象关于对称，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于 ( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知，则不等式的解集为( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）设向量，，且，则________.‎ ‎（14）若角满足，则的值等于____________.‎ ‎（15）已知直线与圆交于两点，且 为等边三角形，则圆的面积为____________.‎ ‎（16）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的零点，则的取值范围是____________．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元；未售出的产品，每盒亏损元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示。该同学为这个开学季购进了盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润。‎ ‎（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）将表示为的函数，并根据直方图估计利润不少于元的概率。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在矩形中，，点在边上，点在边上，且，垂足为，若将沿折起，使点位于位置，连接 ‎，得四棱锥．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若，直线与平面所成角的大小为，求几何体的体积.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，‎ 求实数的取值范围．‎ 请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎ (Ⅰ)求证：当时，不等式成立．‎ ‎ (Ⅱ)关于的不等式在R上恒成立，求实数的最大值．‎ 高三文科数学2月份月考测试卷参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B A A B B B B D C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，；‎ 当时，‎ 因为也适合上式，因此，数列的通项公式为 ………5分 ‎（2）由（1）知，，故 记数列的前项和为，则 记，则，故数列的前项和为 ……12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由频率直方图得：需求量为的频率，  需求量为的频率，需求量为[140,160)的频率，  则中位数 ……………4分 ‎（Ⅱ）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，  所以当 时，  …………5分 当时，…………7分 所以 . ……………8分 因为利润不少于4800元，所以，解得,…………10分 所以由（1）知利润不少于4800元的概率   ……………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 证：(1)‎ ‎  …………5分 ‎(2)过作于平面平面 平面直线与平面ABCM所成角的大小为 ‎ 是正三角形 ‎ ……………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，‎ 因为在椭圆上，所以， ．．．．．．．．．2分 因此，故椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）椭圆上不存在这样的点，证明如下：设直线的方程为，‎ 设，，的中点为，‎ 由消去，得， ……………6分 所以，且，故且．．．．．8分 由得 ．．．．．．．．．9分 所以有，．．．．．．．．．．．．10分 ‎(也可由知四边形为平行四边形 而为线段的中点，因此，也为线段的中点，‎ 所以，可得)，‎ 又，所以，与椭圆上点的纵坐标的取值范围矛盾。．．．．．．11分 因此点不在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当，．‎ 令得，．………………………………1分 又的定义域为，由得，由得，．‎ 所以时，有极小值为1．‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………3分 ‎（Ⅱ）若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于0．‎ ‎，且，令，得到………………………4分 当，即时，恒成立，即在区间上单调递减…………5分 故在区间上的最小值为，………………………6分 由，得，即 ‎．………………………………………………7分 当即时，‎ ‎①若，则对成立，所以在区间上单调递减………8分 则在区间上的最小值为，‎ 显然，在区间的最小值小于0不成立．………………………9分 ‎②若，即时，则有 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上的最小值为，………………………10分 由，得，解得，即，……11分 综上，由①②可知，符合题意．………………………………12分 ‎22. （本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由得． ‎ ‎∵,,, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即. ……………4分 ‎（Ⅱ）将代入圆的方程得,‎ 化简得． ……………5分 设两点对应的参数分别为、,则 ……………6分 ‎∴． ……………8分 ‎∴,,或． ……………10分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：(1)证明：由 ………2分 得函数的最小值为3，从而，所以成立. ………5分 ‎(2) 由绝对值的性质得， ………7分 所以最小值为，从而， ………8分 解得， ………9分 因此的最大值为. ………10分 ‎