专题16+数列的通项公式的求解方法-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖 13页

一．【学习目标】‎ ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ ‎3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.‎ ‎4.会用数列的递推关系求其通项公式.‎ 二．【方法总结】‎ ‎1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质. ‎ 练习1. 已知数列满足，，则数列的前40项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ 练习2. 数列满足，且对于任意的都有，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ 练习3. 已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】, , ,‎ 则,数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎，利用叠加法， ，‎ ‎，则.选B. ‎ ‎【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.‎ 练习1. 数列的一个通项公式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习2.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是an＝(　　)‎ A. (10n－1) B. C. (10n－1) D. (10n－1).‎ ‎【答案】B ‎【解析】1－＝0.9，1－＝0.99，…，故原数列的通项公式为an＝.选B.‎ 练习3．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．‎ ‎4.项和互化求通项 例4.设是数列的前项和，且，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，考查所给选项：‎ ‎，‎ 则选项B错误；‎ 当时：，即，‎ 考查ACD选项：,‎ 则选项AC错误，‎ 本题选择D选项.‎ ‎【方法规律总结】：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ 练习1. 设数列满足，通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 练习2. 设数列满足，通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时， ，‎ ‎…………...(1) ， ……....(2),‎ ‎(1)-(2)得： ， ， 符合，则通项公式是，选C.‎ 练习3. 已知正项数列的前项和为，且， ，现有如下说法：‎ ‎①；②当为奇数时，；③．‎ 则上述说法正确的个数为（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【方法总结】：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎5.构造辅助数列求通项 ‎（1）的形式 例5.数列满足则（ ）‎ A. 33 B. 32 C. 31 D. 34‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足，是以2为公比的等比数列，首项为1，得到 故答案为：A。 ‎ 练习1. 已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝3an+2，则{an}的通项公式为 A. an＝2n-1 B. an＝3n-1 C. an＝2n-1 D. an＝6n-4‎ ‎【答案】B ‎【解析】，得是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ 则，即。故选B。‎ ‎（2）的形式 例6设为数列的前项和，，且.记 为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单调性，直接研究表达式的单调性。‎ 练习1. 已知数列的前项和为，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 练习2. 已知数列满足，则的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，∴‎ ‎，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C. ‎ 练习2. 已知数列满足，，则 ( )‎ A. 121 B. 136 C. 144 D. 169‎ ‎【答案】C 练习3. 数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴（）‎ 当也适合，故 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故选B.‎ 练习4. 已知数列则 （ ）‎ A. B. C. 或1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【方法总结】：已知数列要求通项，可以两边取倒数，得到是等差数列，已知 可以求出 ，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式，，再取倒数可以求出，代入n=7,求得结果即可.‎ 练习5. 已知数列的首项，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，可得，‎ 是以为公差，以为首项的等差数列，，故选C.‎ ‎7.倒序相加求通项 例7. 已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【方法总结】：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与数列第一项联系起来，就知道该怎么对x赋值了，继续推导，要求学生理解f（t）+f（1-t）=2．本题有一定的探索性，难度大. ‎ 练习2.已知数列满足， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，对进行变形，得 ‎ 则，即4个一循环，那么，故选A.‎ ‎【方法总结】：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.‎ 练习2. 在数列中，，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A 练习3. 已知数列满足，则＝（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，是周期为的数列，，故选C. ‎ ‎10.裂项求通项 例10. 数列满足，且对任意的都有，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对任意的都成立，，即 ‎，，把上面个式子相加可得，，，从而有， ，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎