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  • 2021-07-01 发布

四川省宜宾四中2020届高三下学期第一次在线月考数学(理)试题

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‎2020年春四川省宜宾四中高三第一学月考试 理科数学 注意事项:‎ 答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则的子集个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.为虚数单位,复数在复平面内对应的点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知f(x)=,则f[f(3)]= ‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.5‎ 4. 下列函数中,任取函数定义域内,满足,且 在定义域内单调递减的函数是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他 在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是 比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项 式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为 A. B. C. D.‎ ‎6.函数的图象大致形状为 ‎7.已知平面向量的夹角为,且,则 A.64 B.‎36 ‎C.8 D.6‎ ‎8.二项式的展开式中第项是常数项,则的值是 A. B. C. D.‎ ‎9.函数的一条对称轴是 A. B. C. D.‎ ‎10.若,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.双曲线的右焦点为,点在的一条渐近线上,为坐标原点,若,则的外接圆方程是 A. B.‎ C. D.‎ ‎12.若,,,则的最大值为 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛,他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如下,其中甲班学生成绩中位数为81,乙班学生成绩的平均数为86,则______.‎ ‎14.已知向量=(sin2α,1),=(cosα,1),若∥, ,则______.‎ ‎15.已知公比为整数的等比数列的前项和为,且,,若,则数列的前项和为______.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与椭圆交于、两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________.‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准:(单位:吨),用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分按议价收费,为了了解全布市民用用水量分布情况,通过袖样,获得了100位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照 …… 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图 ‎(1)求频率分布直方图中的值;‎ ‎(2)若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计 的值,并说明理由。‎ ‎18.(12分)的内角,,的对边分别为,,,已知,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求中的最长边.‎ ‎19.(12分)如图,在矩形中,,,是的中点,以为折痕将向上折起,变为,且平面平面.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎20.(12分)已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线斜率之积为,求的最小值.‎ ‎21.(12分)已知.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)当时,求证:对于,恒成立;‎ ‎(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 已知直线的参数方程是(是参数),以坐标原点为原点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)判断直线与曲线的位置关系;‎ ‎(2)过直线上的点作曲线的切线,求切线长的最小值.‎ ‎23.(10分)已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若不等式的解集为,且满足,求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省宜宾四中高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1.A 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B 9.A 10.B 11.A 12.C ‎13.5 14. 15. 16.‎ ‎17.(1)由直方图,可得 ,‎ 解得.‎ ‎(2)因为前6组频率之和为 而前5组的频率之和为 ‎ ‎ 所以.‎ 由 解得.因此,估计月用水量标准为2.9吨,85%的居民每月的用水量不超过标准.‎ ‎18.(1)因为.‎ ‎(2)由(1)知为钝角,所以为最大角,‎ 因为,所以,又,所以.‎ 由正弦定理得:,所以为最大边.‎ ‎19.(Ⅰ)证明:∵,,‎ ‎∴,∴, ‎ 取的中点,连结,则, ‎ ‎∵ 平面平面,‎ ‎∴平面,∴ ,‎ 从而平面,∴‎ ‎(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,‎ 则、、、,‎ ‎,从而=(4,0,0),,.‎ 设为平面的法向量,‎ 则可以取 设为平面的法向量,‎ 则可以取 因此,,有,即平面 平面,‎ 故二面角的大小为.‎ ‎20.(1)当经过原点时,,此时,‎ 又,椭圆方程为.‎ ‎(2)由,‎ ‎,,由,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,恒过定点,‎ ‎===,‎ 当时,的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,.‎ ‎21.(1),‎ 当时,.解得.‎ 当时,解得.所以单调增区间为,‎ 单调减区间为.‎ ‎(2)设,‎ 当时,由题意,当时,‎ 恒成立.,‎ ‎∴当时,恒成立,单调递减.又,‎ ‎∴当时,恒成立,即.‎ ‎∴对于,恒成立.‎ ‎(3)因为.‎ 由(2)知,当时,恒成立,‎ 即对于,,‎ 不存在满足条件的;当时,对于,,‎ 此时.∴,‎ 即恒成立,不存在满足条件的;‎ 当时,令,可知与符号相同,‎ 当时,,,单调递减.∴当时,,即恒成立.综上,的取值范围为.‎ ‎22.(1)由直线的参数方程消去参数得的方程为.‎ ‎,‎ ‎,‎ 曲线的直角坐标方程为,‎ 即.‎ 圆心到直线的距离为,‎ 直线与圆的相离.‎ ‎(2)直线上的点向圆引切线,则切线长为 ‎.‎ 即切线长的最小值为.‎ ‎23.(Ⅰ)可化为,‎ 即或或 解得或,或;‎ 不等式的解集为. ‎ ‎(Ⅱ)易知; ‎ 所以,又在恒成立; ‎ 在恒成立;‎ 在恒成立;‎ ‎.‎