数学文卷·2019届湖南师大附中高二上学期期中考试（2017-11） 11页

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期中考试 数学(文科)‎ 时量：120分钟　　　满分：150分 得分：______________‎ 第Ⅰ卷(共100分)‎ 一、选择题(本大题共9个小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设集合A＝，B＝，则A∪B＝‎ A．(－4，3) B．(4，2] C．(－∞，2] D．(－∞，3)‎ ‎2．对于任意实数a，b，c，d，下列命题：‎ ‎①如果a>b，c≠0，那么ac>bc; ②如果a>b，那么ac2>bc2；‎ ‎③如果ac2>bc2，那么a>b; ④如果a>b，那么<.‎ 其中真命题为 A．① B．② C．③ D．④‎ ‎3．已知等差数列中，a1＋a4＋a7＝π，那么cos(a3＋a5)＝‎ A. B．－ C. D．－ ‎4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则f＝‎ A．1 B. C．－1 D．－ ‎5．若x，y满足约束条件，则的最大值为 A. B．1‎ C．2 D．3‎ ‎6．设a＝()1.4，b＝3，c＝ln，则a，b，c的大小关系是 A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c ‎7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为 A.(425－1)‎ B.(426－1)‎ C．250－1‎ D．251－1‎ ‎8．已知函数f(x)＝，则f＋f的值是 A．－ B．－ C．2 D. ‎9．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 A. 1－π B. π C. 1－π D. π 第Ⅰ卷 选择题答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 得 分 答 案 二、填空题(本大题共2个小题，每小题5分，共10分，请把答案的最简形式填写在题中的横线上)‎ ‎10．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________(cm3)．‎ ‎11．设sin＝，则sin 2θ等于________．‎ 三、解答题(本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎12．(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)＝x2＋(a－3)x＋4，其中a为实数. 命题p：f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，命题q：x0∈R，f(x0)≤0.‎ ‎(Ⅰ)判断“a＜2”是“綈p为真命题”的什么条件，并说明理由；‎ ‎(Ⅱ)若“p∧(綈q)”为真命题，求a的取值范围．‎ ‎13. (本小题满分11分)‎ 为推行“新课堂”教学法，某老师在甲、乙两个班分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式进行教学实验．为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图(如下图所示)，记成绩不低于70分者为“成绩优良”. ‎ ‎(Ⅰ)分别计算甲、乙两班20个样本中，分数前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳； ‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率．‎ ‎14.(本小题满分12分)‎ 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B－ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3.‎ ‎(Ⅰ)求证：OD⊥面ABC；‎ ‎(Ⅱ)求点M到平面ABD的距离．‎ ‎15.(本小题满分12分)‎ 等差数列的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b2＋a2＝13.‎ ‎(Ⅰ)求an与bn; ‎ ‎(Ⅱ)若不等式＋＋…＋<对n∈N成立，求最小正整数m的值．‎ 第Ⅱ卷(共50分)‎ 一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设命题p：x∈R，x2－4x＋2m≥0(其中m为常数)，则“m≥1”是“命题p为真命题”的什么条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分也不必要 ‎2．函数y＝f(x)是R上的增函数，函数y＝f(x－2 017)的图象关于点(2 017，0)对称，若实数x，y满足不等式f(x2－6x)＋f(y2－8y＋24)<0，则x2＋y2的取值范围是 A．(0，4) B．(4，6)‎ C．(16，36) D．(0，36)‎ ‎3．定义域为[a，b]的函数y＝f(x)的图象的两个端点为A、B，M(x，y)是f(x)的图象上任意一点，其中x＝λa＋(1－λ)b，(λ∈[0，1])，向量＝λ＋(1－λ)，若不等式≤k恒成立，则称函数f(x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y＝x－在[1，2] 上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 A. B. C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) ‎ 第Ⅱ卷 选择题答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 得 分 答 案 二、填空题(本大题共2个小题，每小题5分，共10分，请把答案的最简形式填写在题中的横线上)‎ ‎4．已知平面向量a，b，若＝，＝2，a与b的夹角θ＝，且(a－mb)⊥a，则m＝________．‎ ‎5．已知函数f＝，若0<2ab，c≠0，那么ac>bc不成立；②如果a>b，那么ac2>bc2不成立；③如果ac2>bc2，那么a>b成立；④如果a>b，那么<不成立．故选C.‎ ‎3．B　【解析】∵等差数列中，a1＋a4＋a7＝π，‎ ‎∴a1＋a4＋a7＝3a4＝π，‎ ‎∴a4＝π，‎ ‎∴a3＋a5＝2a4＝π，‎ ‎∴cos(a3＋a5)＝cosπ＝－cos＝－，故选B.‎ ‎4．A　【解析】由图知，A＝2，且T＝－＝，‎ 则周期T＝π，所以ω＝2. 因为f＝2，‎ 则sin＝1，从而φ＝.‎ 所以f(x)＝2sin，故f＝2sin＝1，选A.‎ ‎5．D　【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.故答案选D.‎ ‎6．D　【解析】c＝ln<1，b＝3>()>()1.4＝a>1，从而b>a>c.选D.‎ ‎7．A　【解析】第1次循环：k＝1，S＝0，S＝2，k＝3，k≥50? 否；‎ 第2次循环：k＝3，S＝2，S＝2＋23，k＝5，k≥50？否；‎ 第3次循环：k＝5，S＝2＋23，S＝2＋23＋25，k＝7，k≥50？否；…‎ 第25次循环：k＝49，S＝2＋23＋…＋249，k＝51，，k≥50？是，‎ 故输出的S＝2＋23＋…＋249＝＝(425－1) ，故选择A.‎ ‎8．B　【解析】∵f＝log2＝log2＝log22－2＝－2，‎ ‎∵＝3x，‎ ‎∴f＝3log3＝，∴f＋f＝－，故答案为B.‎ ‎9．B　【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形(如图所示)，当P落在阴影部分时符合要求．∴P＝＝.故选B.‎ 二、填空题 ‎10.　【解析】由三视图可知，该几何体为底面是边长为20 cm的正方形、高为20 cm的四棱锥，故所求的体积为V＝×20×20×20＝(cm3)．‎ ‎11．－　【解析】由sin＝得(sin θ＋cos θ)＝，两边平方得(1＋sin 2θ)＝，所以sin 2θ＝－.‎ 三、解答题 ‎12．【解析】(Ⅰ)若綈p为真命题，则p为假命题，即f(x)在区间[1，＋∞)上不是增函数，‎ 所以－>1，即a＜1. 所以綈p为真命题a＜1.(3分)‎ 因为a＜1a＜2，所以“a＜2”是“綈p为真命题”的必要不充分条件．(5分)‎ ‎(Ⅱ)若p为真命题，则－≤1，即a≥1.(6分)‎ 若綈q为真命题，则x∈R，x2＋(a－3)x＋4>0恒成立．‎ 所以Δ＝(a－3)2－16<0，即－1＜a＜7.(8分)‎ 因为“p∧(綈q)”为真命题，则p和綈q都为真命题，所以，即1≤a＜7.‎ 故a的取值范围是[1，7)．(10分)‎ ‎13．【解析】(Ⅰ)甲班样本中成绩前十的平均分为 甲＝(72＋74＋74＋79＋79＋80＋81＋85＋89＋96)＝80.9.(2分)‎ 乙班样本中成绩前十的平均分为 乙＝ (78＋80＋81＋85＋86＋93＋96＋97＋99＋99)＝89.4.(2分)‎ 甲班样本成绩前十的平均分远低于乙班样本成绩前十的平均分，大致可以判断“新课堂”教学方式的教学效果更佳．(5分)‎ ‎(Ⅱ)样本中成绩60分以下的学生中甲班有4人，记为：a，b，c，d，乙班有2人，记为：1，2. (6分)‎ 则从a，b，c，d，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，一共有15个基本事件，(8分)‎ 设A表示“这2人来自不同班级”有如下：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，一共有 ‎8个基本事件，(10分)‎ 所以 P(A)＝.(11分) ‎ ‎14．【解析】(Ⅰ)由题意，OM＝OD＝3，‎ ‎∵DM＝3，∴∠DOM＝90°，OD⊥OM.(3分)‎ 又∵菱形ABCD，∴OD⊥AC.‎ ‎∵OM∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC.(6分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知OD＝3为三棱锥D－ABM的高．‎ ‎△ABM的面积为S△ABM＝BA×BM×sin 120°＝×6×3×＝，(8分)‎ 又 AB＝AD＝6，BD＝3，所以S△ABD＝×3×＝.(10分) ‎ ‎∵VM－ABD＝VD－MAB，S△ABD·d＝S△AMB·OD，‎ ‎∴d＝＝.(12分)‎ ‎15．【解析】(Ⅰ)设的公差为d，的公比为q，则d为正数，an＝a1＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ ‎∵b2S2＝64，b2＋a2＝13.‎ ‎∴，d2－4d＋4＝0，(2分)‎ 解得，(4分)‎ 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(6分)‎ ‎(Ⅱ)∵Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，‎ ‎∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－，(9分)‎ 而－<≤.(10分)‎ 解得m≥2 013.(11分)‎ ‎∴所求m的最小正整数是2 013.(12分)‎ 第Ⅱ卷(共50分)‎ 一、选择题 ‎1．B　【解析】若命题p为真，则对任意x∈R，x2－4x＋2m≥0恒成立，所以Δ＝16－8m≤0，即m≥2.‎ 因为m≥2m≥1，则“m≥1”是“命题p为真”的必要不充分条件，选B.‎ ‎2．C　【解析】因为函数y＝f(x－2 017)的图象关于点(2 017，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即y＝f(x)是R上的增函数且是奇函数．所以f(x2－6x)＋f(y2－8y＋24)<0等价于f(x2－6x)b>0)．(1分)‎ 因为e＝，所以＝.据题意，点在椭圆上，则＋＝1，‎ 于是＋＝1b＝1.(3分)‎ 因为a＝c，a2－c2＝b2＝1，则c＝1，a＝.(4分)‎ 故椭圆的方程为＋y2＝1.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由椭圆方程知，点F1(－1，0)，F2(1，0)．‎ 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，代入椭圆方程得y2＝.‎ 不妨设点P、Q，则·＝·＝≠2.‎ 所以直线l的斜率存在．(7分)‎ 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 由，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.(8分)‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 于是y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2[x1x2＋(x1＋x2)＋1]．‎ ‎＝k2＝－.(9分)‎ 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，‎ ·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2‎ ‎＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝＋＋1－＝.(10分)‎ 由＝2，得k2＝1，所以k＝±1.此时直线l与椭圆相交．(11分)‎ 故直线l的倾斜角是45°或135°.(12分)‎ ‎7．【解析】(Ⅰ)因为h(x)＝f2(x)＋g(x)－(x＋5)＝x2＋(a－1)x＋1，‎ 令h(x)＝0，(1分)‎ 则x2＋(a－1)x＋1＝0，∵x≠0，则1－a＝x＋.(2分)‎ 作函数y＝1－a与y＝x＋(0－1时，两图象无公共点，‎ 则h(x)在区间[0，2]内无零点；‎ ‎② 当1－a＝2时或1－a>时，即a<－或a＝－1时，两图象仅有一个公共点，则h(x)在区间[0，2]内仅有一个零点；‎ ‎③ 当2<1－a≤时，即－≤a<－1时，两图象有两个公共点，‎ 则h(x)在区间[0，2]内有两个零点．(6分)‎ ‎(Ⅱ)当x∈[0，4]时，x2∈[0，16]，则x2＋9∈[9，25]，所以f(x)的值域是[3，5]；(7分)‎ 当x0∈[－2，2]时，设函数g(x0)的值域是M，依题意，[3，5] M，‎ ‎① 当a＝0时，g(x0)＝－3不合题意；(9分)‎ ‎② 当a>0时，M＝[g(－2)，g(2)]＝[－2a－3，2a－3]，‎ 由 ，得，解得a≥4；(11分)‎ ‎③ 当a<0时，M＝[g(2)，g(－2)]＝[2a－3，－2a－3]，‎ 由 ，得，解得a≤－4；‎ 综上得，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞) .(13分)‎