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  • 2021-07-01 发布

高中数学讲义微专题84 古典概型

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微专题 84 古典概型 一、基础知识: 1、基本事件:一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如:在扔 骰子的试验中,向上的点数 1 点,2 点,……,6 点分别构成一个基本事件 2、基本事件空间:一次试验,将所有基本事件组成一个集合,称这个集合为该试验的基本事 件空间,用 表示。 3、基本事件特点:设一次试验中的基本事件为 (1)基本事件两两互斥 (2)此项试验所产生的事件必由基本事件构成,例如在扔骰子的试验中,设 为“出现 点”,事件 为“点数大于 3”,则事件 (3)所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得: 因为 ,所以 4、等可能事件:如果一项试验由 个基本事件组成,而且每个基本事件出现的可能性都是相 等的,那么每一个基本事件互为等可能事件。 5、等可能事件的概率:如果一项试验由 个基本事件组成,且基本事件为等可能事件,则基 本事件的概率为 证明:设基本事件为 ,可知 所以可得 6、古典概型的适用条件: (1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 当满足这两个条件时,事件 发生的概率就可以用事件 所包含的基本事件个数 占基 本事件空间的总数 的比例进行表示,即 7、运用古典概型解题的步骤:  1 2, , , nA A A iA i A 4 5 6A A A A            1 2 1 2n nP P A A A P A P A P A          1P        1 2 1nP A P A P A    n n 1 n 1 2, , , nA A A      1 2 nP A P A P A        1 2 1nP A P A P A       1 iP A n A A  n A  n        n AP A n  ① 确定基本事件,一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件,一般来说,试验中的具 体结果可作为基本事件,例如扔骰子,就以每个具体点数作为基本事件;在排队时就以每种 排队情况作为基本事件等,以保证基本事件为等可能事件 ② 可通过计数原理(排列,组合)进行计算 ③ 要保证 中所含的基本事件,均在 之中,即 事件应在 所包含的基本事件中选择符 合条件的 二、典型例题: 例 1:从 这 6 个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另外两个数的和的概率为 ________ 思路:事件 为“6 个自然数中取三个”,所以 ,事件 为“一个数是另外 两个数的和”,不妨设 ,则可根据 的取值进行分类讨论,列举出可能的情况: ,所以 。进而计算出 答案: 例 2:从集合 中随机选取一个数记为 ,从集合 中随机选取一个数 记为 ,则直线 不经过第三象限的概率为( ) A. B. C. D. 思路:设 为“ 的所有组合”,则 ,设事件 为“直线 不经 过第三象限”,则要求 ,所以 ,从而 答案:A 例 3:袋中共有 7 个大小相同的球,其中 3 个红球,2 个白球,2 个黑球。若从袋中任取三个 球,则所取 3 个球中至少有两个红球的概率是( ) A. B. C. D. 思路:设 为“袋中任取三球”,则 ,设事件 为“至少两个红球”,所以    ,n A n  A  A  1 6    3 6 20n C   A a b c  a            3,2,1 , 4,3,1 , 5,4,1 , 5,3,2 , 6,5,1 , 6,4,2   6n A        3 10 n AP A n  3 10  1,1,2A   k  2,1,2B   b y kx b  2 9 1 3 4 9 5 9  ,k b   3 3 9n     A y kx b  0, 0k b    1 2 2n A          2 9 n AP A n  4 35 13 35 18 35 22 35    3 7 35n C   A ,从而 答案:B 例 4:设函数 ,若 是从 三个数中任取一个, 是从 五个数中任取一个,那么 恒成立的概率是( ) A. B. C. D. 思路:设事件 为“ 从所给数中任取一个”,则 ,所求事件为事件 , 要计算 所包含的基本事件个数,则需要确定 的关系,从恒成立的不等式入手, 恒成立,只需 ,而 ,当 时, ,所以当 时, ,所以 ,得到关系后即可选出符合条件的 : 共 8 个,当 时, ,所以 符合条件,综上 可得 ,所以 答案:A 例 5:某人射击 10 次击中目标 3 次,则其中恰有两次连续命中目标的概率为( ) A. B. C. D. 思路:考虑设 为“10 次射击任意击中三次”,则 ,设事件 为“恰有两 次连续命中”,则将命中分为两次连续和一次单独的,因为连续与单独的命中不相邻,联想到 插空法,所以 (剩下七个位置出现八个空,插入连续与单独的,共有 种,然后要区分连续与单独的顺序,所以为 ),从而 答案:A   2 1 3 3 4 3 13n A C C C         13 35 n AP A n     11 xf x ax xx   a 0,1,2 b 1,2,3,4,5  f x b 3 5 7 15 2 5 1 2  ,a b   3 4 12n     A A ,a b  f x b  minf x b     11 11 1 xf x ax a x ax x        0a     1 11 1 2 1 1 2 11 1a x a a x a a ax x               1 11 11a x xx a        2 min 2 1 1f x a a a      2 1a b   ,a b          1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 ,      2,3 , 2,4 , 2,5 0a    11 11f x x    0,1   9n A        3 5 n AP A n  7 15 1 2 3 8 3 10    3 10 120n C   A   2 2 8 2 56n A C A  2 8C 2 2 8 2C A       7 15 n AP A n  例 6:已知甲袋装有 6 个球,1 个球标 0,2 个球标 1,3 个球标 2;乙袋装有 7 个球,4 个球标 0,1 个球标 1,2 个球标 2,现从甲袋中取一个球,乙袋中取两个球,则取出的三个球上标有的 数码乘积为 4 的概率是____________ 思路:设 为“两个袋中取出三个球”,则 ,事件 为“三个球标记数 码乘积为 4”,因为 ,所以三个球中有两个 2 号球,1 个 1 号球,可根据 1 号球的 来源分类讨论,当 1 号球在甲袋时,有 种,当 1 号球在乙袋时,则乙袋一个 1 号 球,一个二号球,共有有 种,即 种。则 答案: 例 7:四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个点,则这四个点不共面的概率 为( ) A. B. C. D. 思路:设 为“10 个点中取 4 个点”,则 ,设事件 为“4 个点不共面”, 若正面寻找不共面的情况较为复杂,所以考虑问题的对立面,即 为“4 个点共面”,由图可 得四点共面有以下几种情况:(1)四个点在四面体的面上,则面 上 6 个点中任意 4 个点均共面,则 ;(2)由平 行线所产生的共面(非已知面),则有 3 对,即 ;(3)由一 条棱上的三点与对棱的中点,即 ,所以共面的情况 ,所以 ,所以 答案:D 例 8:袋子里有 3 颗白球,4 颗黑球,5 颗红球,由甲,乙,丙三人依次各抽取一个球,抽取 后不放回,若每颗球被抽到的机会均等,则甲,乙,丙三人所得之球颜色互异的概率是( ) A. B. C. D. 思路:事件 为“不放回地抽取 3 个球”,则 ,基本事件为甲,乙,丙拿球的各    1 2 6 7 126n C C    A 4 2 2 1   1 2 2 2 2C C  2 1 3 2 6C C    8n A        8 4 126 63 n AP A n   4 63 5 7 7 10 24 35 47 70    4 10 210n C   A A 4 1 64 60N C   2 3N  2 6N    60 3 6 69n A           210 69 141n A n n A            47 70 n AP A n  1 4 1 3 2 7 3 11    3 12n A  种情况,且将这些球均视为不同元素。设所求事件“甲,乙,丙三人所得之球颜色互异”为 事件 ,则先要从白球黑球红球中各取一个( ),再分给三个人(三个元素全排 列),所以 ,从而 答案:D 例 9:甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 ,再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为 ,其中 ,若 或 ,就称甲乙“心有灵犀” 现在任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A. B. C. D. 思路:设 为“甲想乙猜的所有情况”,则 ,设事件 为“甲乙‘心有灵 犀’”,可对甲想的数进行分类讨论:当 时, 可取的值为 或 ;当 时, ,所以事件 包含的基本事件数 ,所以 答案:C 例 10:将 1,2,3,4 四个数字随机填入右方 的方格中,每个方格中恰填一数字,但数字可 重复使用,试问时间“A 方格的数字大于 B 方格的数字,且 C 方格的数字大于 D 方格的数字” 的概率为( ) A. B. C. D. 思路:事件 为“4 个数字填入方框中“,则 。设事件 E 为所求事件,可进 行分类讨论,若 A 填入 2,则 B 填入 1,若 A 填入 3,则 B 可填入 1,2;若 A 填入 4,则 B 可填 入 1,2,3;所以 A,B 两格的填法共有 6 种;同理 C,D 的填法也有 6 种,且 A,B 的填法与 C,D 的 填法相互独立,所以 ,从而 答案:B A 1 1 1 3 4 5C C C    1 1 1 3 3 4 5 3n A C C C A      1 1 1 3 3 4 5 3 3 12 3 11 C C C AP A A     a b  , 1,2,3,4,5,6a b a b 1a b  7 36 1 4 11 36 5 12    6 6 36n     A 1,2,3,4,5a  b a 1a  6a  6b  A   2 5 1 11n A           11 36 n AP A n  2 2 1 16 9 64 25 64 9 256    44 256n      6 6 36n P        36 9( ) 256 64 n EP E n  

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