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- 2021-07-01 发布
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微专题 84 古典概型
一、基础知识:
1、基本事件:一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如:在扔
骰子的试验中,向上的点数 1 点,2 点,……,6 点分别构成一个基本事件
2、基本事件空间:一次试验,将所有基本事件组成一个集合,称这个集合为该试验的基本事
件空间,用 表示。
3、基本事件特点:设一次试验中的基本事件为
(1)基本事件两两互斥
(2)此项试验所产生的事件必由基本事件构成,例如在扔骰子的试验中,设 为“出现
点”,事件 为“点数大于 3”,则事件
(3)所有基本事件的并事件为必然事件
由加法公式可得:
因为 ,所以
4、等可能事件:如果一项试验由 个基本事件组成,而且每个基本事件出现的可能性都是相
等的,那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率:如果一项试验由 个基本事件组成,且基本事件为等可能事件,则基
本事件的概率为
证明:设基本事件为 ,可知
所以可得
6、古典概型的适用条件:
(1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个
(2)每个基本事件出现的可能性相等
当满足这两个条件时,事件 发生的概率就可以用事件 所包含的基本事件个数 占基
本事件空间的总数 的比例进行表示,即
7、运用古典概型解题的步骤:
1 2, , , nA A A
iA i
A 4 5 6A A A A
1 2 1 2n nP P A A A P A P A P A
1P 1 2 1nP A P A P A
n
n
1
n
1 2, , , nA A A 1 2 nP A P A P A
1 2 1nP A P A P A 1
iP A n
A A n A
n
n AP A n
① 确定基本事件,一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件,一般来说,试验中的具
体结果可作为基本事件,例如扔骰子,就以每个具体点数作为基本事件;在排队时就以每种
排队情况作为基本事件等,以保证基本事件为等可能事件
② 可通过计数原理(排列,组合)进行计算
③ 要保证 中所含的基本事件,均在 之中,即 事件应在 所包含的基本事件中选择符
合条件的
二、典型例题:
例 1:从 这 6 个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另外两个数的和的概率为
________
思路:事件 为“6 个自然数中取三个”,所以 ,事件 为“一个数是另外
两个数的和”,不妨设 ,则可根据 的取值进行分类讨论,列举出可能的情况:
,所以 。进而计算出
答案:
例 2:从集合 中随机选取一个数记为 ,从集合 中随机选取一个数
记为 ,则直线 不经过第三象限的概率为( )
A. B. C. D.
思路:设 为“ 的所有组合”,则 ,设事件 为“直线 不经
过第三象限”,则要求 ,所以 ,从而
答案:A
例 3:袋中共有 7 个大小相同的球,其中 3 个红球,2 个白球,2 个黑球。若从袋中任取三个
球,则所取 3 个球中至少有两个红球的概率是( )
A. B. C. D.
思路:设 为“袋中任取三球”,则 ,设事件 为“至少两个红球”,所以
,n A n
A A
1 6
3
6 20n C A
a b c a
3,2,1 , 4,3,1 , 5,4,1 , 5,3,2 , 6,5,1 , 6,4,2 6n A
3
10
n AP A n
3
10
1,1,2A k 2,1,2B
b y kx b
2
9
1
3
4
9
5
9
,k b 3 3 9n A y kx b
0, 0k b 1 2 2n A
2
9
n AP A n
4
35
13
35
18
35
22
35
3
7 35n C A
,从而
答案:B
例 4:设函数 ,若 是从 三个数中任取一个, 是从
五个数中任取一个,那么 恒成立的概率是( )
A. B. C. D.
思路:设事件 为“ 从所给数中任取一个”,则 ,所求事件为事件 ,
要计算 所包含的基本事件个数,则需要确定 的关系,从恒成立的不等式入手,
恒成立,只需 ,而 ,当
时, ,所以当
时, ,所以
,得到关系后即可选出符合条件的 :
共 8 个,当 时, ,所以 符合条件,综上
可得 ,所以
答案:A
例 5:某人射击 10 次击中目标 3 次,则其中恰有两次连续命中目标的概率为( )
A. B. C. D.
思路:考虑设 为“10 次射击任意击中三次”,则 ,设事件 为“恰有两
次连续命中”,则将命中分为两次连续和一次单独的,因为连续与单独的命中不相邻,联想到
插空法,所以 (剩下七个位置出现八个空,插入连续与单独的,共有
种,然后要区分连续与单独的顺序,所以为 ),从而
答案:A
2 1 3
3 4 3 13n A C C C
13
35
n AP A n
11
xf x ax xx a 0,1,2 b 1,2,3,4,5
f x b
3
5
7
15
2
5
1
2
,a b 3 4 12n A
A ,a b
f x b minf x b 11 11 1
xf x ax a x ax x
0a 1 11 1 2 1 1 2 11 1a x a a x a a ax x
1 11 11a x xx a 2
min 2 1 1f x a a a
2
1a b ,a b 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 ,
2,3 , 2,4 , 2,5 0a 11 11f x x 0,1
9n A
3
5
n AP A n
7
15
1
2
3
8
3
10
3
10 120n C A
2 2
8 2 56n A C A 2
8C
2 2
8 2C A
7
15
n AP A n
例 6:已知甲袋装有 6 个球,1 个球标 0,2 个球标 1,3 个球标 2;乙袋装有 7 个球,4 个球标
0,1 个球标 1,2 个球标 2,现从甲袋中取一个球,乙袋中取两个球,则取出的三个球上标有的
数码乘积为 4 的概率是____________
思路:设 为“两个袋中取出三个球”,则 ,事件 为“三个球标记数
码乘积为 4”,因为 ,所以三个球中有两个 2 号球,1 个 1 号球,可根据 1 号球的
来源分类讨论,当 1 号球在甲袋时,有 种,当 1 号球在乙袋时,则乙袋一个 1 号
球,一个二号球,共有有 种,即 种。则
答案:
例 7:四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个点,则这四个点不共面的概率
为( )
A. B. C. D.
思路:设 为“10 个点中取 4 个点”,则 ,设事件 为“4 个点不共面”,
若正面寻找不共面的情况较为复杂,所以考虑问题的对立面,即 为“4 个点共面”,由图可
得四点共面有以下几种情况:(1)四个点在四面体的面上,则面
上 6 个点中任意 4 个点均共面,则 ;(2)由平
行线所产生的共面(非已知面),则有 3 对,即 ;(3)由一
条棱上的三点与对棱的中点,即 ,所以共面的情况
,所以
,所以
答案:D
例 8:袋子里有 3 颗白球,4 颗黑球,5 颗红球,由甲,乙,丙三人依次各抽取一个球,抽取
后不放回,若每颗球被抽到的机会均等,则甲,乙,丙三人所得之球颜色互异的概率是( )
A. B. C. D.
思路:事件 为“不放回地抽取 3 个球”,则 ,基本事件为甲,乙,丙拿球的各
1 2
6 7 126n C C A
4 2 2 1
1 2
2 2 2C C
2 1
3 2 6C C 8n A
8 4
126 63
n AP A n
4
63
5
7
7
10
24
35
47
70
4
10 210n C A
A
4
1 64 60N C
2 3N
2 6N
60 3 6 69n A
210 69 141n A n n A
47
70
n AP A n
1
4
1
3
2
7
3
11
3
12n A
种情况,且将这些球均视为不同元素。设所求事件“甲,乙,丙三人所得之球颜色互异”为
事件 ,则先要从白球黑球红球中各取一个( ),再分给三个人(三个元素全排
列),所以 ,从而
答案:D
例 9:甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 ,再由乙猜甲刚才所想的数字,
把乙猜的数字记为 ,其中 ,若 或 ,就称甲乙“心有灵犀”
现在任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
思路:设 为“甲想乙猜的所有情况”,则 ,设事件 为“甲乙‘心有灵
犀’”,可对甲想的数进行分类讨论:当 时, 可取的值为 或 ;当
时, ,所以事件 包含的基本事件数 ,所以
答案:C
例 10:将 1,2,3,4 四个数字随机填入右方 的方格中,每个方格中恰填一数字,但数字可
重复使用,试问时间“A 方格的数字大于 B 方格的数字,且 C 方格的数字大于 D 方格的数字”
的概率为( )
A. B. C. D.
思路:事件 为“4 个数字填入方框中“,则 。设事件 E 为所求事件,可进
行分类讨论,若 A 填入 2,则 B 填入 1,若 A 填入 3,则 B 可填入 1,2;若 A 填入 4,则 B 可填
入 1,2,3;所以 A,B 两格的填法共有 6 种;同理 C,D 的填法也有 6 种,且 A,B 的填法与 C,D 的
填法相互独立,所以 ,从而
答案:B
A 1 1 1
3 4 5C C C
1 1 1 3
3 4 5 3n A C C C A
1 1 1 3
3 4 5 3
3
12
3
11
C C C AP A A
a
b , 1,2,3,4,5,6a b a b 1a b
7
36
1
4
11
36
5
12
6 6 36n A
1,2,3,4,5a b a 1a 6a
6b A 2 5 1 11n A
11
36
n AP A n
2 2
1
16
9
64
25
64
9
256
44 256n
6 6 36n P
36 9( ) 256 64
n EP E n