数学理卷·2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试（2018 9页

榆林市2018届高考模拟第一次测试 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若向量，满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.按下面的流程图进行计算.若输出的，则输出的正实数值的个数最多为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知曲线，则下列说法正确的是（ ）‎ A．把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线 B．把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线 C. 把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线 D．把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线 ‎7.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍 ‎，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（ ）‎ A．立方丈 B．立方丈 C. 立方丈 D．立方丈 ‎8.曲线上一动点处的切线斜率的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的直径为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设满足约束条件，若目标函数的取值范围恰好是函数的一个单调递增区间，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若角的终边经过点，则的值是 ．‎ ‎14.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．‎ ‎15.设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是 ．‎ ①若，则或.‎ ②若，则或.‎ ③若，则或与相交.‎ ④若，则或.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎18. 数列满足.‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎19. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面 ‎，且是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值的大小.‎ ‎20. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点做圆的两条切线，切点为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线是讲过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过定点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.‎ ‎21. 已知函数，记.‎ ‎（1）求证：在区间内有且仅有一个实数；‎ ‎（2）用表示中的最小值，设函数，若方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为.求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参考方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值；‎ ‎（2）过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设，且.求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与不可能同时成立.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DCCBD 6-10:BBCAC 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 14.丙 15.② 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由及正弦定理可得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以.故.‎ ‎（2）由余弦定理及（1）得，，‎ 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以的面积的最大值为.‎ ‎18.解：（1）由已知可得，即，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）得，所以，‎ ‎，‎ ‎19.解：（1）解法一：取的中点，连接.‎ 在中，是的中点，是的中点，‎ 所以，又因为，‎ 所以且.‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又因为平面平面，故平面.‎ 解法二：因为平面，‎ 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由已知可得，‎ 设平面的一个法向量是.‎ 由得 令，则.‎ 又因为，所以，又平面，‎ 故平面.‎ ‎（2）由（1）可知平面的一个法向量是.‎ 易得平面的一个法向量是 所以，又二面角为锐角，‎ 故二面角的余弦值大小为.‎ ‎20.解：（1）由已知得 设与轴交于点，由圆的对称性可知，.‎ 于是，所以，‎ 所以，所以.故抛物线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，设，‎ 联立得，则.‎ 设，同理得，‎ 则四边形的面积 令，则 是关于的增函数，‎ 故，当且仅当时取得最小值.‎ ‎21.证明：（1），定义域为，，当 时，在上单调递增，又，而在上连续，根据零点存在定理可得：在区间有且仅有一个实根.‎ ‎（2）当时，，而，故此时有，由（1）知，在上单调递增，有为在内的实根，所以，故当时，，即；‎ 当时，，即.因而，‎ 当时，，因而在上递增；‎ 当时，，因而在上递减；‎ 若方程在有两不等实根，则满足 要证：，即证：，即证：，‎ 而在上递减，即证：，又因为，即证：，即证：‎ 记，由得：.‎ ‎，，则，当时，；当时，.‎ 故，所以当时，,‎ ‎,‎ 因此，‎ 即在递增.从而当时，，即，‎ 故得证.‎ ‎22.解：（1）由直线过点可得，故，‎ 则易得直线的直角坐标方程为.‎ 根据点到直线的距离方程可得曲线上的点到直线的距离，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（为参数）.‎ 又易知曲线的普通方程为.‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通方程可得，‎ ‎，依据参数的几何意义可知.‎ ‎23.解：（1）由，得，‎ 由基本不等式及，有，即.‎ ‎（2）假设与同时成立，‎ 则且，则，‎ 即：，由（1）知因此①‎ 而，因此②，因此①②矛盾，‎ 因此假设不成立，原结论成立.‎