【数学】2020届一轮复习人教A版第66课等差、等比数列在实际问题中的应用学案（江苏专用） 5页

第66课　等差、等比数列在实际问题中的应用 ‎1. 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题.‎ ‎2. 通过解决实际问题的过程，培养提出问题，分析问题，解决问题的能力.‎ ‎1. 阅读：必修5第45～46页，第58～59页.‎ ‎2. 解悟：①生活中的等差数列和等比数列模型；②体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法；③整理数列求和的常用方法.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，做第58、59页例题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 用火柴棒按下图的方法搭.‎ ‎……‎ 按图示的规律搭下去，则可推测第n个图中所用的火柴棒数量an＝　2n＋1　.‎ 解析：由图可知，三角形的个数增加一个，则火柴棒的数量增加2，所以火柴棒数量an是一个首项为3，公差为2的等差列，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.‎ ‎2. 某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个变成2个)，那么经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成　512　个.‎ 解析：3×60÷20＝9(次)，29＝512(个)，故经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成512个.‎ ‎3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则这座塔的顶层共有灯　3　盏.‎ 解析：设塔的顶层有a盏灯.由题意可知，各层的灯数构成一个首项为a，公比为2的等比数列，所以＝381，解得a＝3，故塔的顶层共有灯3盏.‎ ‎4. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm，将梯形的一条腰10等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为　153　cm.‎ 解析：因为是10等分，所以设上底a1，下底a11，根据梯形的中位线定理可知a1＋a11＝2a6，a2＋a10＝2a6，a3＋a9＝2a6，a4＋a8＝2a6，a5＋a7＝2a6，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9a6，a6＝＝＝17，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9×17＝153，故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 等差数列模型 例1　流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.‎ 解析：由题意知11月1日到n日，每天新感染者人数构成等差数列{an}，a1＝20，d1＝50，所以11月n日新感染者人数an＝50n－30.‎ 从n＋1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列{bn}，b1＝50n－60，d2＝－30，所以这30天内感染该病毒的患者人数为＋(30－n)·(50n－60)＋×(－30)＝8 670，‎ 化简得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49(舍)，‎ 即11月12日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570人.‎ 考向❷ 等比数列模型 例2　某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.‎ ‎(1) 设n年内(本年为第1年)总投入An万元，旅游业总收入Bn万元，求An和Bn；‎ ‎(2) 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg 2≈0.301)‎ 解析：(1) 第一年投入800万元，第二年投入800×万元，…，第n年投入800(1－)n－1万元，‎ 所以n年内的总投入为An＝800＋800×＋…＋800×＝4 000－4 000×；　‎ 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400万元，‎ 所以n年内的旅游业总收入为Bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)n－1＝1 600×()n－1 600.‎ ‎(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则Bn－An＞0，‎ 即1 600×－1 600－4 000＋4 000×＞0，‎ 化简得2×＋5×－7＞0.‎ 设＝x，代入上式得2x2－7x＋5＞0，解得x＞或x＜1(舍去)，‎ 即＞，两边取对数得nlg ＞lg ，‎ 所以n＞≈4.103，即n≥5.‎ 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.‎ 考向❸ 分期付款模型 例3　某工厂更新设备，在1993年初贷款100万元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，计划在10年内还清，年利率为13%，那么每年需偿还金额多少万元？‎ 解析：方法一：设每年偿还金额为x万元，‎ 则第一年末贷款余额为100(1＋13%)－x；‎ 第二年末贷款余额为 ‎[100(1＋13%)－x](1＋13%)－x＝100(1＋13%)2－[1＋(1＋13%)]x；‎ 第三年末贷款余额为 ‎{[100(1＋13%)－x](1＋13%)－x}(1＋13%)－x ‎＝100(1＋13%)3－[1＋(1＋13%)＋(1＋13%)2]x，‎ ‎……‎ 所以第10年末贷款余额为 ‎100(1＋13%)10－[1＋(1＋13%)＋(1＋13%)2＋…＋(1＋13%)9]x，‎ 所以100(1＋13%)10－[1＋(1＋13%)＋(1＋13%)2＋…＋(1＋13%)9]x＝0，‎ 解得x＝＝≈18.4，‎ 故每年需偿还金额18.4万元.‎ 方法二：10年内，借款的本利和为100(1＋13%)10万元，设每年偿还金额为x万元，则还款的本利和为x[(1＋13%)9＋(1＋13%)8＋…＋(1＋13%)＋1]万元，‎ 由借款本利和等于分期付款的本利和，可得 ‎100(1＋13%)10＝x[(1＋13%)9＋(1＋13%)8＋…＋(1＋13%)＋1]，‎ 所以x＝＝≈18.4，‎ 故每年需偿还金额18.4万元.‎ ‎【注】 理解、记忆分期付款中建立方程的依据.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 有一个细胞集团，每小时死亡2个，余下的各个分裂成2个，设最初有细胞7个，n小时后细胞总数为　3×2n＋4　.‎ 解析：设n小时后的细胞总数为an，则a0＝7，且an＋1＝2(an－2)，即an＋1－4＝2(an－4)，所以数列{an－4}是首项为a0－4＝3，公比为2的等比数列，所以an＝3×2n＋4(n∈N).因此，n小时后的细胞总数为(3×2n＋4)个.‎ ‎2. 植树节某班20名同学在一段直线公路的一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为　2 000　m.‎ 解析：设放置在第x个树坑旁边，则s＝10×2·[(x－1)＋(x－2)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(20－x)]＝20[＋]＝20(x2－21x＋210)，由对称轴方程为x＝10.5，知当x＝10或11时，s取得最小值2 000.‎ ‎3. 某人为了购买商品房，从2008年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.‎ 若年利率为p，每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币总数为　　元.‎ 解析：到2016年1月1日可取回钱的总数为a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝.‎ ‎4. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝　16　.‎ 解析：由题意得每节竹竿的长度构成等差数列{an}，公差为d(d>0).‎ 由题意知a1＝10，‎ an＋an－1＋an－2＝114，‎ a＝a1an，‎ 则3an－1＝114，‎ 解得an－1＝38，‎ 所以(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，‎ 即(10＋5d)2＝10(38＋d)，‎ 解得d＝2，‎ 所以an－1＝10＋2(n－2)＝38，‎ 解得n＝16.‎ ‎1. 数列应用题的一般思路：‎ ‎(1) 读题分析，明确哪些量成等差数列，哪些成等比数列，哪些量给出的是递推关系；‎ ‎(2) 应用相关数列知识解答.‎ ‎2. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎