陕西省咸阳市武功县2020届高三一模数学（理）试题 18页

武功县2020届高三摸底考试 理科数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，＝（ ）‎ A. [－2，1] B. [－2，2] C. [1，2] D. （－∞，2]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质先求出集合B，再由交集定义求出．‎ ‎【详解】解：∵集合， ， ． 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．‎ ‎2.若（是虚数单位），则的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】（是虚数单位）‎ 可得 解得 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.‎ ‎3.已知向量，，.若为实数且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，因为，则，选B；‎ 考点：向量的坐标运算；‎ ‎4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 频率分布直方图的纵轴表示的是，所以结合组距为300可得频率．‎ ‎【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在的频率为：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义．‎ ‎5.已知命题，，则p是q成立的（ ）条件．‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对数不等式得到命题中的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义判定即可得到结论．‎ ‎【详解】由，得．‎ ‎∵Ü，‎ ‎∴p是q成立的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】充分、必要条件的判断方法 ‎（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．‎ ‎（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．‎ ‎（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．‎ ‎6.设等差数列的前项和为.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 又.可得，则 ‎ 故选D.‎ ‎7.如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）‎ A. 平面 B. ‎ C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】在正方体中与 平行，因此有与平面 平行，A正确；在平面 内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与 垂直，从而 平面 ，C正确；由知与所成角为45°，D错．故选D．‎ ‎8.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．‎ ‎【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是； ②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数， 在上的值为负数，故第三个图象满足； ③为奇函数，当时，，故第四个图象满足； ④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．‎ ‎9.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：同角间三角函数关系 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.直线过点（0，2），被圆截得的弦长为2则直线l的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. y=或y=2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果.‎ ‎【详解】因为直线l被圆C：，截得的弦长为，所以圆心到直线距离为，设直线l的方程为，（斜率不存在时不满足题意）则或，即直线l的方程是或,选D.‎ ‎【点睛】本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.‎ ‎11.椭圆长轴上的两端点，，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，，且，可得且，再根据椭圆中、、的平方关系得到的值，结合椭圆焦点在轴，得到此椭圆的标准方程．‎ ‎【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为，且 由两焦点恰好把长轴三等分可得即 ‎，‎ 故所求的椭圆方程为：‎ 故选．‎ ‎【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出，的值．‎ ‎12.函数有极值的充要条件是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以，即，应选答案C．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种.‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．‎ ‎【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，则先从6对夫妇中选一对，有种结果， 再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有种结果， 根据分步计数原理得到结果是6×40＝240， 故答案为240．‎ ‎【点睛】本题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原则．‎ ‎14.已知等比数列满足，则 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列公比为，根据题意可得，所以，所以 考点：等比数列性质 ‎15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.‎ ‎【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.‎ 如下图所示：‎ ‎①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；‎ ‎②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.‎ 综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.‎ 故答案为.‎ ‎16.如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设 因为 ，所以 ，因为是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在函数图象上，所以 ，解得 点A的横坐标为 ‎ ，故答案为.‎ 三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 23题为选考题，考生根据要求作等）‎ ‎（一）必考题 ‎17.在中，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由 即，‎ 解得：（因为舍去）或.‎ ‎18.‎ 如图所示,在直三棱柱中,,,.‎ ‎ (1)证明:; (2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎ (1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得, ,即, 平面, 又平面, . (2)如图,作交于D点,连接BD, 由三垂线定理知, 为二面角平面角. ‎ 在中,, 在中,, 即二面角的余弦值为.‎ ‎19.盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的分布列.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即可以取3，4，5，6．取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可．‎ ‎【详解】解：的可能取值为3，4，5，6‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 此时旧球个数的概率分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎【点睛】本题考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出取某个值时对应的事件的概率．‎ ‎20.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线方程； ‎ ‎（Ⅱ）若点在此双曲线上，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）设双曲线方程为，由双曲线过点，能求出双曲线方程；（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值 试题解析：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程 将点代入双曲线方程，得，‎ 即 所以，所求的双曲线方程为 ‎（Ⅱ）由（1）知 因为，所以 又在双曲线上，则 考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 ‎21.已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的递增区间为 的递减区间为 ‎（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为,令得由时，列表分析在根的左右的符号，得的递增区间为，的递减区间为，（2）由（1）得到，‎ ‎，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，即或.‎ 解：（1）因为2分 令得 由时，在根的左右的符号如下表所示 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 所以的递增区间为6分 的递减区间为8分 ‎（2）由（1）得到，‎ 要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 14分 即或. 16分 考点：利用导数研究函数性质 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分）‎ ‎22.在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线交点的直角坐标．‎ ‎【答案】点的直角坐标为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．‎ ‎【详解】解：直线的普通方程为，①‎ 曲线的直角坐标方程为，②‎ 联立①②解方程组得或根据的范围应舍去 故点的直角坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属基础题．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设不等式（）的解集为，且，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1） （2）的最小值为3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用，推出关于的绝对值不等式，结合为整数直接求的值；（2）利用的值化简函数，利用绝对值基本不等式求出的最小值.‎ 试题解析：（1）因为，且， ‎ 所以，且 解得，‎ 又因为，‎ 所以.‎ ‎（2）因 ‎ 当且仅当，即时取得等号，‎ 所以的最小值为3.‎ ‎ ‎