2020届二轮复习几何概型课件（51张）（全国通用） 51页

§12.2 　几何概型 第十二章 　 概率、随机变量及其 分布 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 1. 了解随机数的意义，能运用模拟方法 ( 包括计算器产生随机数来进行模拟 ) 估计概率 . 2. 初步体会几何概型的意义 . 3. 通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的 _____ (_____ 或 _____ ) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称 为 _________ . 2. 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 1. 几何概型 知识梳理 ZHISHISHULI 长度 面积 体积 几何概型 3. 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本 特点 (1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果 有 ________ ； (2) 等可能性：每个结果的发生 具有 _________ . 4. 随机模拟方法 (1) 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 . (2) 用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法 . 这个方法的基本步骤是 ① 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ② 统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N ； ③ 计算频率 f n ( A ) ＝ 作为 所求概率的近似值 . 无限多个 等可能性 1. 古典概型与几何概型有什么区别？ 提示　 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个 . 2. 几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示　 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值 . 【 概念方法微思考 】 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 在一个正方形区域内任取一点的概率是零 .( 　　 ) (2) 几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等 .( 　　 ) (3) 在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 .( 　　 ) (4) 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 .( 　　 ) (5) 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 .( 　　 ) × 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 × √ √ √ √ 题组二　教材改编 1 2 3 4 5 6 2 . 在 线段 [0,3] 上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为 √ 解析　 坐标小于 1 的区间为 [0,1) ，长度为 1 ， [0,3] 的区间长度为 3 ， √ 1 2 3 4 5 6 3 . 有 四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ∴ P ( A )> P ( C ) ＝ P ( D )> P ( B ). 4. 如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 1 2 3 4 5 6 √ 解析　 如题干图所示，区域 D 的面积为 4 ， 而 阴影部分 ( 不包括 ) 表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域 . 易 知该阴影部分的面积为 4 － π. 题组三　易错自纠 解析　 由 | x | ≤ m ，得－ m ≤ x ≤ m . 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6 6. 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C . 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC ， CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm 2 的概率为 ___. 解析　 设 AC ＝ x cm(0< x <12) ，则 CB ＝ (12 － x )cm ，则矩形的面积 S ＝ x (12 － x ) ＝ 12 x － x 2 (cm 2 ). 由 12 x － x 2 <32 ， 即 ( x － 8)( x － 4)>0 ，解得 0< x <4 或 8< x <12. 在数轴上表示，如图所示 . 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　与长度、角度有关的几何概 型 例 1 　 在等腰 Rt △ ABC 中，直角顶点为 C . (1) 在斜边 AB 上任取一点 M ，求 | AM |<| AC | 的概率； 师生共研 解　 如 图所示，在 AB 上取一点 C ′ ，使 | AC ′ | ＝ | AC | ，连接 CC ′ . 由于点 M 是在斜边 AB 上任取的 ， 所以 点 M 等可能分布在线段 AB 上 ， 因此 基本事件的区域应是线段 AB . (2) 在 ∠ ACB 的内部，以 C 为端点任作一条射线 CM ，与线段 AB 交于点 M ，求 | AM |<| AC | 的概率 . 解　 由于在 ∠ ACB 内以 C 为端点任作射线 CM ， 所以 CM 等可能分布在 ∠ ACB 内的任一位置 ( 如图所示 ) ， 因此 基本事件的区域应是 ∠ ACB ， 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法 求与长度 ( 角度 ) 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 ( 角度 ) ，然后求解 . 要特别注意 “ 长度型 ” 与 “ 角度型 ” 的不同，解题的关键是构建事件的区域 ( 长度或角度 ). 思维升华 跟踪训练 1 　 (1) 某公司的班车在 7 ： 00 ， 8 ： 00,8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 √ 解析　 如图所示，画出时间轴 . 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中 ，而 当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 上时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型的概率计算公式， (2) 如图，四边形 ABCD 为矩形， AB ＝ ， BC ＝ 1 ，以 A 为圆心， 1 为半径作四分之一个 圆弧 ， 在 ∠ DAB 内任作射线 AP ，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 ___. 解析　 因为在 ∠ DAB 内任作射线 AP ， 所以 它的所有等可能事件所在的区域是 ∠ DAB ， 当 射线 AP 与线段 BC 有公共点时 ，射线 AP 落在 ∠ CAB 内 ， 则 区域为 ∠ CAB ， 题型二　与面积有关的几何概 型 命题点 1 　与面积有关的几何概型的计算 多维探究 例 2 　 (2017 · 全国 Ⅰ ) 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 √ 解析　 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2 ， 则 正方形内切圆的半径为 1 ，可得 S 正方形 ＝ 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称， 命题点 2 　随机模拟 例 3 　 (1) 如图所示，矩形长为 6 ，宽为 4 ，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为 96 颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积 为 A.7.68 B.8.68 C.16.32 D.17.32 √ 而 S 矩形 ＝ 6 × 4 ＝ 24 ，则 S 椭圆 ＝ 0.68 × 24 ＝ 16.32. 解析　 由随机模拟的思想方法， (2) 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率 . 先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数，指定 0,1,2,3 表示没有击中目标， 4,5,6,7,8,9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下的随机数： 7527 　 0293 　 7140 　 9857 　 0347 　 4373 　 8636 　 6947 　 1417 　 4698 0371 　 6233 　 2616 　 8045 　 6011 　 3661 　 9597 　 7424 　 7610 　 4281 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 ____. 0.4 解析　 根据数据得该运动员射击 4 次至少击中 3 次的数据分别为 7527 　 9857 　 8636 　 6947 　 4698 　 8045 　 9597 7424 ，共 8 个， 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 . 思维升华 跟踪训练 2 　 (2016 · 全国 Ⅱ ) 从区间 [0,1] 内随机抽取 2 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， y 1 ， y 2 ， … ， y n ，构成 n 个数对 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， … ， ( x n ， y n ) ，其中两数的 平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为 √ 解析　 由题意得 ( x i ， y i )( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 在如图所示方格中 ， 而 平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中， 题型三　与体积有关的几何概 型 师生共研 例 4 　 如图，正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ，在正方体内随机取点 M ， 则 使 四棱锥 M — ABCD 的体积 小于 的 概率为 ___. 解析　 过点 M 作平面 RS ∥ 平面 AC ， 则 两平面间的距离是四棱锥 M — ABCD 的高，显然点 M 在平面 RS 上任意位置时， 求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 ( 总空间 ) 以及事件的体积 ( 事件空间 ) ，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 . 思维升华 跟踪训练 3 　 在一个球内有一棱长为 1 的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为 解析　 由题意可知这是一个几何概型，棱长为 1 的正方体的体积 V 1 ＝ 1 ，球的直径是正方体的体对角线长， √ 3 课时作业 PART THREE √ 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 在区间 [ － 1,3] 上随机取一个数 x ，若 x 满足 | x | ≤ m 的概率 为 ， 则实数 m 为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析　 区间 [ － 1,3] 的区间长度为 4. 不等式 | x | ≤ m 的解集为 [ － m ， m ] ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2018· 益阳市、湘潭市调考 ) 若正方形 ABCD 的边长为 4 ， E 为四边上任意一点，则 AE 的长度大于 5 的概率等于 √ 解析　 设 M ， N 分别为 BC ， CD 靠近点 C 的四等分点 ， 则 当 E 在线段 CM ， CN ( 不包括 M ， N ) 上时， AE 的长度大于 5 ， 因为 正方形的周长为 16 ， CM ＋ CN ＝ 2 ， 4.(2018· 广东七校联考 ) 在如图所示的圆形图案中有 12 片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角 为 ， 若在圆内随机取一点，则此点取自树叶 ( 即图中阴影部分 ) 的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 设圆的半径为 r ， 5.(2018· 石家庄模拟 ) 已知 P 是 △ ABC 所在平面内一点 ， ＝ 0 ，现将一粒黄豆随机撒在 △ ABC 内，则黄豆落在 △ PBC 内的概率 是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 以 PB ， PC 为邻边作平行四边形 PBDC ， 故选 D. 6.(2018· 惠州模拟 ) 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明 . 如图所示是赵爽的弦图 . 弦图是一个勾股形 ( 即直角三角形 ) 之弦为边的正方形，其面积称为弦实 . 图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱 ( 红 ) 色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2 × 勾 × 股＋ ( 股－勾 ) 2 ＝ 4 × 朱实＋黄实＝弦实＝弦 2 ，化简得：勾 2 ＋股 2 ＝弦 2 . 设勾股形中勾股比为 1 ∶ ， 若向弦图内随机抛掷 1 000 颗图钉 ( 大小忽略不计 ) ，则落在黄色图形内的图钉数大约 为 A.866 B.500 C.300 D.134 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2016· 山东 ) 在 [ － 1,1] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y ＝ kx 与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相交 ” 发生的概率为 ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由已知得，圆心 (5,0) 到直线 y ＝ kx 的距离小于半径， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 在等腰直角三角形 ABC 中， ∠ C ＝ 90° ，在直角边 BC 上任取一点 M ，则 ∠ CAM <30° 的概率是 ____. 解析　 因为点 M 在直角边 BC 上是等可能出现的，所以 “ 区域 ” 是长度 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，在长方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 A — A 1 BD 内的概率为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 在区间 [1,5] 和 [2,4] 上分别各取一个数，记为 m 和 n ，则 方程 ＝ 1 表示 焦 点 在 x 轴上的椭圆的概率是 ___. 如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q ( m ， n ) ，点 Q 落在阴影部分 ( 不包括 m ＝ n 这条直线 ) 的概率即为所求的概率，易知直线 m ＝ n 恰好将矩形平分， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 已知向量 a ＝ ( － 2,1) ， b ＝ ( x ， y ). (1) 若 x ， y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 ( 六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 a · b ＝－ 1 的概率； 解　 将 一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6 × 6 ＝ 36 ， 由 a · b ＝－ 1 ，得－ 2 x ＋ y ＝－ 1 ， 所以满足 a · b ＝－ 1 的基本事件为 (1,1) ， (2,3) ， (3,5) ，共 3 个 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 若 x ， y 在连续区间 [1,6] 上取值，求满足 a · b <0 的概率 . 解　 若 x ， y 在连续区间 [1,6] 上取值，则全部基本事件的结果为 Ω ＝ {( x ， y )|1 ≤ x ≤ 6,1 ≤ y ≤ 6}. 满足 a · b <0 的基本事件的结果为 A ＝ {( x ， y )|1 ≤ x ≤ 6,1 ≤ y ≤ 6 且－ 2 x ＋ y <0}. 画出图象如图所示，矩形的面积为 S 矩形 ＝ 25 ， 12. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 . 如果甲船停泊时间为 1 h ，乙船停泊时间为 2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y ，记事件 A 为 “ 两船都不需要等待码头空出 ” ， 则 0 ≤ x ≤ 24 ， 0 ≤ y ≤ 24 ，要使两船都不需要等待码头空出 ， 当且仅当 甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上 ， 即 y － x ≥ 1 或 x － y ≥ 2 . 故 所求事件构成集合 A ＝ {( x ， y )| y － x ≥ 1 或 x － y ≥ 2 ， x ∈ [0,24] ， y ∈ [0,24 ]}. A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其内部 . 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 设任取两点所表示的数分别为 x ， y ，则 0 ≤ x ≤ 1 ，且 0 ≤ y ≤ 1 ， 如 图所示，则总事件所占的面积为 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 如图所示， 所以弦 AB 的长为 2 . 又圆的半径为 2 ，所以 ∠ ACB ＝ 60° ， 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. p 1 < p 2 < p 3 B. p 2 < p 3 < p 1 C. p 3 < p 1 < p 2 D. p 3 < p 2 < p 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 因为 x ， y ∈ [0,1] ，