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- 2021-07-01 发布
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专题21+简单的三角恒等变换
1.已知sin2α=,则cos2=( )
A. B.-
C. D.-
解析:cos2====,故选C。
答案:C
2.函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是( )
A.1 B.
C. D.1+
答案:C
3.函数y=sin·cos-coscos的图象的一条对称轴方程是( )
A.x= B.x=
C.x=- D.x=-
解析:对函数进行化简可得y=sin·cos-coscos=sincos
+cossin
=sin=sin,则由4x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z。
当k=0时,x=.故选A。
答案:A
4.如图,已知四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,BP⊥AC,BP=PC,CD>AB,则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是( )
A.AB与AD B.AB与BC
C.BD与BC D.AD与AP
即sin=,无解。
B选项:假设AB=BC,则有sinθ=1,则sinθ=,无解。
C选项:假设BD=BC,则有sinθ=,即1+2sin3θcosθ=sin2θ,无解。
D选项:假设AD=AP,则有sin2θ+sinθcosθ=cosθ,令f(θ)=sin2θ+sinθcosθ-cosθ=+-cosθ,则f(0)=-1<0,f=1->0,故必存在θ0使得:f(θ0)=0,故AD与AP可能重合.D选项正确。
答案:D
5.设a=(sin56°-cos56°),b=cos50°cos128°+cos40°cos38°,c=,d=(cos80°-2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为( )
A.a>b>d>c B.b>a>d>c
C.d>a>b>c D.c>a>d>b
解析:a=sin(56°-45°)=sin11°。
b=-sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin(52°-40°)=sin12°。
c==cos81°=sin9°。
d=(2cos240°-2sin240°)=cos80°=sin10°。
∴b>a>d>c。
答案:B
6.设M(x∈R)为坐标平面内一点,O为坐标原点,记f(x)=|OM|,当x变化时,函数f(x)的最小正周期是( )
A.30π B.15π
C.30 D.15
所以其最小正周期T==15。
答案:D
7.已知sinαcosβ=,则cosαsinβ的取值范围是__________。
解析:方法一:设x=cosα·sinβ,
则sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ=+x,
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ=-x。
∵-1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1,
∴∴
∴-≤x≤。
方法二:设x=cosα·sinβ,
sinα·cosβ·cosα·sinβ=x。
即sin2α·sin2β=2x。
由|sin2α·sin2β|≤1,得|2x|≤1,
∴-≤x≤。
答案:
8.函数y=sin·cos的最大值为__________。
解析:y=sincos
=cosxcos=cosx=cos2x+sinxcosx=×+sin2x=cos+,故函数的最大值是。
答案:
9.已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C,则△ABC面积的最小值为__________。
答案:h1h2
10.已知函数f(x)=+2sinx。
(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期;
(2)若f(α)=2,α∈[0,π],求f的值。
解析:(1)sinx≠0,解得x≠kπ(k∈Z),
⇒2cosαsinα=0。
∵α∈[0,π]且sinα≠0,∴α=。
∴f=2sin=2sin=。
方法二:由f(α)=2,α∈[0,π],得sinα+cosα=1⇒cosα=1-sinα,
代入sin2α+cos2α=1,得sin2α+(1-sinα)2=1⇒2sinα(sinα-1)=0。
∵sinα≠0,∴sinα=1,又∵α∈[0,π],∴α=,
∴f=2sin=2sin=。
11.已知函数f(x)=sin-2sin2x+1(x∈R),
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点,b,a,c成等差数列,且·=9,求a的值。
解析:f(x)=sin-2sin2x+1=-cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin。
(1)最小正周期:T==π,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)可解得:kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为:
(k∈Z)。
(2)由f(A)=sin=可得:2A+=+2kπ或2A+=+2kπ(k∈Z),
所以A=,又因为b,a,c成等差数列,
所以2a=b+c。
而·=bccosA=bc=9,∴bc=18。
∴cosA==-1
=-1=-1,
∴a=3。
12.设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间上是增函数,求ω的取值范围;
(3)设集合A=,B={x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围。
∵f(ωx)在上是增函数,
∴⊆。
∴-≥-且≤,∴ω∈。
(3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2,
即f(x)-2<m<f(x)+2。
∵A⊆B,∴当≤x≤π时,
不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立。
∴f(x)max-2<m<f(x)min+2,
∵f(x)max=f=3,f(x)min=f=2,
∴m∈(1,4)。