福建省莆田九中2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷 10页

数学（理科） 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．设 ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知角 的终边经过点 ，则 A. 3 B. C. D. -3 4．函数 的一个零点落在下列哪个区间 A． B． C． D． 5．已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 6．已知数列 满足 ， ，则 A. 2 B. C. D. -3 7．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四 升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为 4 升，上四节容量之和为 3 升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量 各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为 A. B. C. D. 8．函数 的图像可能是 { }lg( 1)A x y x= = − { }1,0,1,2,3B = − =BA { }1,0− { }1,0,1− { }1,2,3 { }2,3 2:log 0, : 2 4xp x q< ≥ p q¬ a ( )2, 1P − sin cos sin cos a a a a − =+ 1 3 1 3 − xxxf 2log1)( +−= )1,0( )2,1( )3,2( )4,3( 2.01.1=a 1.1log 2.0=b 1.12.0=c a b c> > b c a> > a c b> > c a b> > { }na 1 2a = ( )* 1 1 1 n n n aa n Na+ −= ∈+ 30a = 1 3 1 2 − 7 2 37 33 67 66 10 11 lnx xy x = 9．设数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 n 项和，已知 则 A. 15 2 B. 31 4 C. 33 4 D. 17 2 10．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 等于 A． B． C． D． 12. 已知函数 若方程 有三个不同的实数根，则实数 的 取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．已知向量 ， ，且 ，则 与 的夹角为 .． 14.定义运算 ，函数 图象的顶点是 ，且 成等差数列，则 ＝ . 15．在 中，角 所对应的边分别为 ，若 ， 则 面积的最大值为 . 16．设函数 ，其中 ．若函数 在 上恰有 2 个零点，则 的 取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ( ) πsin 3f x xω = +   0ω > ( )f x [ ]0,2π ω { }na nS 2 4 31 7a a S= =、 5S = ( ) lnf x kx x= − (1, )+∞ k (- 2]∞， (- ]∞，- 1 [2, )+∞ [1, )+∞ R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − 0 1x≤ ≤ ( ) 2f x x= (2015)f 2− 1− 1 2 , 0 4,( ) 6 , 4, x xf x x x  < ≤=  − > ( ) 1f x kx= + k 1 1( , )6 4 − 1 1( , ) ( , )6 4 −∞ − +∞ 1 1[ , )6 4 − 1 1( , ]6 4 − ( )3,4a = ( )1,b k= − a b⊥  4a b+ a a b ad bcc d = − 1 2( ) 3 xf x x x −= − + ( , )m n , , ,k m r l k r+ = ABC∆ A B C , ,a b c 4ac = sin 2sin cos 0B C A+ = ABC∆ 17．（本小题满分 10 分） 已知各项均为正数的等比数列 满足 ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ． 18．(本小题满分 12 分) 已知向量 ， ，函数 ． （Ⅰ）求函数 的零点； （Ⅱ）若 ，且 ，求 的值． 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 为常数）． （Ⅰ）已知 ，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求 的值域； 20．（本小题满分 12 分） { }na 1 1a = 3 2 2a a− = { }na 2n n nb a = { }nb n nS ( 3sin ,1 3cos )x x= −m (1 sin ,cos )x x= −n ( ) 3f x = ⋅m n + ( )f x 8( ) 5f α = π( , π)2 α ∈ cosα ( ) (sin cos )xf x e x x a= + + a 3a = − ( )y f x= (0, (0))f 0 x π≤ ≤ ( )f x 已知函数 在一个周期内的图象如图所示， 其中 ， ． （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）在 中，角 的对边分别是 ， 且 ，求 的面积． 21．(本小题满分 12 分) 已知等差数列 的前 和为 ，且 ． (Ⅰ) 求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，集合 ， （ⅰ）求 ； （ⅱ）若 ，求 的取值范围． 22．(本小题满分 12 分) 设 函 数 ， 是 的 导 函 数 ， 且 和 分 别 是 的两个极值 点． （Ⅰ）求 的解析式； （Ⅱ）若 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围； （Ⅲ）若对于 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围． ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( 0, )2 ω ϕ π> < M ( ,2)12 π N ( ,0)3 π ( )f x ABC∆ , ,A B C a,b,c 13, 3, ( ) 32 Aa c f= = = ABC∆ { }na n nS 5 3 9a S= = { }na 1 2 n n n b a a + = 1 2{ | , }n n nT T b b b nΩ = = + + + ∈ +N nT ,iT jT ∈Ω ( , 1, 2 , , )i j n=  i jT T⋅ 2( ) 4lnf x x ax bx= + + ( , )a b∈R ( )f x′ ( )f x 1 4 ( )f x ( )f x ( )f x ( , 3)m m + m 1 [1,e]x∀ ∈ 2 [1,e]x∃ ∈ 1 2( ) [ ( ) 5] 0f x f xλ ′+ + < λ 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1-5 DADBC 　　 6-10 BCBBD 　 11-12 AA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 　　14． 15． 16． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）设数列 的公比为 ，由 ， 得： …………………………………………………2 分 解得： 或 …………………………………………3 分 数列 的各项均为正数 …………………………………………………4 分 ………………………………………………5 分 （Ⅱ） ……① … ② ……7 分 由① ②得： …………………………8 分 …………………9 分 ………………………………………10 分 注：答案为： 或 均可. 18．解：（Ⅰ） 4 π 9− 1 5 4,6 3     { }na q 1 1a = 3 2 2a a− = 2 2 0q q− − = 2q = 1q = −  { }na ∴ 2q = ∴ 1 11 2 2n n na − −= × =  2n n nb = ∴ 2 3 1 1 1 1 1 11 2 3 ... ( 1)2 2 2 2 2n n nS n n−= × + × + × + + − × + × ∴ 12 3 4 1 1 1 1 1 11 2 3 ... ( 1)2 2 2 2 2 2 nn nS n n += × + × + × + + − × + × − 12 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 nn n nS += + + +⋅⋅⋅+ − 1 1 1[1 ( ) ]2 2 1 21 2 n n n + − = − − 1 11 2 2n n n += − − 1 12 2 2n n n nS −∴ = − − 22 2n n nS += − 12 2 2 n n n nS + − −= 2 2( ) 3 3sin 3sin cos 3cos 3f x x x x x= ⋅ = − + − +m n + 3sin cosx x= + ，…………………………………………………………（3 分） 由 ，得 ，所以 ， 所以函数 的零点为 ． …………………… ……………（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 ，………………（8 分） 因为 ，所以 ，则 ，……………（10 分） 所以 ． …………………………………（12 分） 19、解：（Ⅰ） ……………2 分 ， ………………………3 分 切线方程为： ，即 为所求的切线方程．…5 分 （ Ⅱ ） 由 ， 得 ．， ， 得 ． 在 上单调递增，在 上单调递减． ………………8 分 ， , ,…………11 分 的值域为 …………………………………12 分 20．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查 π2sin( )6x= + π2sin( ) 06x + = π π ( )6x k k+ = ∈Z ππ ( )6x k k= − ∈Z ( )f x ππ ( )6x k k= − ∈Z π 8( ) 2sin( )6 5f α α= + = π 4sin( )6 5 α + = π( , π)2 α ∈ 2π π 7π 3 6 6 α< + < π 3cos( )6 5 α + = − π π π π π πcos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin6 6 6 6 6 6 α α α α= + − = + + + 3 3 4 1 4 3 3 5 2 5 2 10 −= − ⋅ + ⋅ = ( ) (sin cos ) (cos sin ) 2 cosx x xf x e x x e x x e x′ = + + − = (0) 2f ′ = (0) 2f = − ∴ 2 2( 0)y x+ = − 2 2 0x y− − = ( ) 2 cos 0xf x e x′ = ≥ 0 2x π≤ ≤ ( ) 2 cos 0xf x e x′ = ≤ 2 x π π≤ ≤ ∴ ( )y f x= [0, ]2 π [ , ]2 π π ∴ 2 max ( )2y f e a ππ= = + (0) 1f a= + ( ) (0)f e a fππ = − + < min ( )y f e aππ= = − + ∴ ( )f x 2[ , ]e a e a π π− + + 化归与转化思想、数形结合思想．满分 12 分． 解：（Ⅰ）由图像可知：函数 的周期 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 又 过点 , ∴ ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 ∵ ， ， ∴ ，即 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ∴ .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （Ⅱ）∵ 即 ， 又 ∴ ，即 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 在 中， ， 由余弦定理得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∴ ，即 ， 解得 或 （舍去）. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 21．解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，由 ， ， 且 ，得 解得 ， ， 所以数列 的通项公式为 ．…………………………（4 分） （Ⅱ）由(Ⅰ)知 ，所以 ，（6 分） ( )f x 4 ( )3 12T π π π= × − = 2 2ω π= =π ( )f x ( ,2)12 π ( ) 2sin( ) 212 6f π π ϕ= + = sin( ) 16 π ϕ+ = 2 πϕ < 2( , )6 3 3 π π πϕ+ ∈ − 6 2 π πϕ+ = 3 πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x π= + ( ) 2sin( ) 3,2 3 Af A π= + = 3sin( )3 2A π+ = 4(0, ), ( , )3 3 3A A π π ππ∈ + ∈ 2 3 3A π π+ = 3A π= ABC∆ , 13, 33A a c π= = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 213 9 3b b= + − 2 3 4 0b b− − = 4b = 1b = − 1 1sin 4 3 sin 3 32 2 3ABCS bc A π ∆ = = × × × = { }na d 1 ( 1)na a n d= + − 1 1 ( 1)2nS na n n d= + − 5 3 9a S= = 1 1 4 9, 3 3 9, a d a d + =  + = 1 1a = 2d = { }na 1 2( 1) 2 1na n n= + − = − 2 1na n= − 1 2 2 1 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1n n n b a a n n n n+ = = = −− + − + （ⅰ） ． ……… ……………（8 分） （ⅱ）因为 ， 所以数列 是递增数列，即 ， 所以当 时， 取得最小值为 ，而 ，…………（9 分） 故 时， 取得最小值为 ． ………………………………………（10 分） 又 ，所以 ，则 ，…………………………（11 分） 因此 ． ……………………………………………………………（12 分） 22 解：（Ⅰ） （ ），…………………（1 分） 由题意可得： 和 分别是 的两根， 即 ， ，解出 ， ． ．……………………………………………………（3 分） （Ⅱ）由上得 （ ）， 由 或 ； 由 ． 故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，………（5 分） 从而对于区间 ，有 或 或 ， 解得 的取值范围： ． ………… …………………………（7 分） （Ⅲ）“对于 ， ，使得 成立”等价于 1 2 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )3 3 5 5 7 2 1 2 1n nT b b b n n = + + + = − + − + − + + −− +  11 2 1n = − + 1 1 1 2(1 ) (1 ) 02 3 2 1 (2 1)(2 3)n nT T n n n n+ − = − − − = >+ + + + { }nT 1 2 3 nT T T T< < < < 1n = nT 2 3 ,iT jT ∈Ω ( , 1, 2 , , )i j n=  1i j= = | |i jT T⋅ 4 9 11 ( )2 1nT nn += − ∈+ N 1nT < | | 1i jT T⋅ < 4 19 i jT T≤ ⋅ < 4( ) 2f x ax bx ′ = + + 22 4ax bx x + += 0x > 1 4 ( ) 0f x′ = 1 4 2 b a + = − 41 4 2a × = 1 2a = 5b = − 21( ) 4ln 52f x x x x= + − 4( ) 5f x xx ′ = + − ( 1)( 4)x x x − −= 0x > ( ) 0f x′ > 0 1x⇒ < < 4x > ( ) 0f x′ < 1 4x⇒ < < ( )f x (0,1) (4, )+∞ (1,4) ( , 3)m m + 0 , 3 1, m m ≤  + ≤ 1 , 3 4, m m ≤  + ≤ 4m ≥ m {1} [4, )+∞ 1 [1,e]x∀ ∈ 2 [1,e]x∃ ∈ 1 2( ) [ ( ) 5] 0f x f xλ ′+ + < “ ，使 （ ）成立”． 由 上 可 得 ： 时 ， 单 调 递 减 ， 故 单 调 递 增 ， ∴ ； ……………… …………………………………………（9 分） 又 时， 且在 上递减，在 递增， ， ……………………………………………………（10 分） 从而问题转化为“ ，使 ”，即“ ，使 成 立”，故 ． ． ………………………（12 分） 2 [1,e]x∃ ∈ 2 1 min[ ( ) 5] [ ( )]f x f xλ ′ + < − 1 [1,e]x ∈ 1 [1,e]x ∈ 1( )f x 1( )f x− 1 min[ ( )]f x− 9(1) 2f= − = 2 [1,e]x ∈ 2 2 2 4( ) 5 0f x xx ′ + = + > [1,2] [2,e] 2 min[ ( )] (2) 4f x f′ ′= = 2 [1,e]x∃ ∈ 4 9( ) 2x x λ + < 2 [1,e]x∃ ∈ 9 42( )x x λ < + max 9 9 9[ ]4 2 4 82( )x x λ < = =×+ 9( , )8 λ ∈ −∞