【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第六章第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案 21页

第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 ‎1．一元二次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C＞0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2．确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤 以上简称为“直线定界，特殊点定域”.‎ ‎3．简单的线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由变量x，y组成的一次不等式(组)‎ 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 线性规划问题 ‎1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)‎ ‎(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)‎ ‎(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 解析：选C　x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分．‎ ‎3．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　平面区域如图中阴影部分所示．‎ 解可得A(1,1)，‎ 易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.‎ ‎∴S△ABC＝××1＝.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)‎ A．－15 B．－9‎ C．1 D．9‎ 解析：选A　法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.‎ 法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.‎ ‎5．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．‎ 解析：∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，∴‎2m＋3－5>0，即m>1.‎ 答案：(1，＋∞)‎ ‎6．若实数x，y满足约束条件则x－2y的最大值为________．‎ 解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点A(1,1)处取得最大值－1.‎ 答案：－1‎ 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域　　　 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题，高考主要考查：(1)求平面区域的面积；(2)已知平面区域求参数的取值或范围，一般以选择题、填空题出现，难度不大.‎ ‎(一)直接考——求平面区域的面积 ‎1．不等式组表示的平面区域的面积为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　 B．1　　　　‎ C．5　　　　 D．无穷大 解析：选B　不等式组 表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.‎ ‎2．不等式组所表示的平面区域的面积为________．‎ 解析：‎ 如图，平面区域为直角梯形，易得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为S＝×(3＋5)×2＝8.‎ 答案：8‎ ‎[题型技法]　解决求平面区域面积问题的方法步骤 ‎(1)画出不等式组表示的平面区域；‎ ‎(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．‎ ‎(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数 ‎3．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．0 D．－2‎ 解析：选A　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 要使阴影部分为直角三角形，‎ 当k＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立，‎ 所以k>0，则必有BC⊥AB，‎ 因为x＋y－4＝0的斜率为－1，‎ 所以直线kx－y＝0的斜率为1，即k＝1，故选A.‎ ‎4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．(0,1]‎ C. D．(0,1]∪ 解析：选D　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 由得A，，‎ 由得B(1,0)．‎ 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a 的取值范围是00，y>0，则当x＝1时，0－a≥kAB＝＝－3，解得a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]．‎ 答案：(－∞，3]‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　)‎ 解析：选C　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.‎ ‎2.(2018·日照一模)已知变量x，y满足：则z＝()2x＋y的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D．4‎ 解析：选D　作出满足不等式组的可行域如图中阴影部分所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝()2x＋y取得最大值，由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax＝()2×1＋2＝4，故选D.‎ ‎3.(2018·郑州质量预测)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为(　　)‎ A．[0，＋∞) B. C. D. 解析：选C　画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x轴)部分所示，直线y＝k(x＋1)过定点M(－1，0)，‎ 由解得过点M(－1，0)与A(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知00，即z＝2(2－x)＋y＝4－2x＋y，即y＝2x＋z－4，平移直线y＝2x可知，当直线经过点M(2,4)时，z取得最小值，最小值为4.故选C.‎ 法二：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 由可行域的形状可知，z＝2|x－2|＋|y|的最值必在顶点M(2，4)，N(1,3)，P(1,5)处取到，分别代入z＝2|x－2|＋|y|可得z＝4或z＝5或z＝7，故选C.‎ ‎3.(2018·山西五校联考)不等式组表示的平面区域为Ω，直线x＝a(a>1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a(1－a≥kAB＝＝－3，解得a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]．‎ 答案：(－∞，3]‎ ‎5.若x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；‎ ‎(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．‎ 解：(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，C(1,0)，‎ 联立解得A(3,4)．‎ 平移直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，‎ 过C(1,0)取最大值1.‎ 所以z的最大值为1，最小值为－2.‎ ‎(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.‎ 故所求a的取值范围为(－4,2)．‎ ‎6.(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长(分钟)‎ 广告播放时长(分钟)‎ 收视人次(万)‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．‎ ‎(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？‎ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．‎ ‎(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.‎ 考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．‎ 又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组得点M的坐标为(6,3)．‎ 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．‎