【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第41讲　直线、平面平行的判定及其性质学案 14页

第41讲　直线、平面平行的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．‎ ‎2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.‎ ‎2017·江苏卷，15‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，14‎ ‎2016·四川卷，18‎ 与直线、平面平行有关的命题判断；线线平行的证明；线面平行的证明；面面平行的证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置.‎ 分值：4～6分 ‎1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与__此平面内__的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)‎ ‎__l∥a__，__a⊂α__，‎ ‎__l⊄α__⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__交线__与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ ‎__l∥α__，__l⊂β__，‎ ‎__α∩β＝b__⇒l∥b ‎2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条__相交直线__与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ‎__a∥β__，__b∥β__，‎ ‎__a∩b＝P__，__a⊂α，__‎ ‎__b⊂α__⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的__交线__平行 ‎__α∥β__，__α∩γ＝a__，‎ ‎__β∩γ＝b__⇒a∥b ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)‎ ‎(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)‎ ‎(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)‎ ‎(4)平行于同一平面的两条直线平行．(　×　)‎ ‎(5)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.(　×　)‎ 解析 (1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．‎ ‎(2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面．‎ ‎(3)错误．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.‎ ‎(4)错误．两条直线平行或相交或异面．‎ ‎(5)错误．直线a∥β或直线a⊂β.‎ ‎2．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是(　D　)‎ A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B‎1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB‎1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 如图，延长B‎1A1至A2，使A‎2A1＝B‎1A1，延长D‎1A1至A3，使A‎3A1＝D‎1A1，连接AA2，AA3，A‎2A3，A1B，A1D．易证AA2∥A1B∥D‎1C，AA3∥A1D∥B‎1C．‎ ‎∴平面AA‎2A3∥平面CB1D1，即平面AA‎2A3为平面α.‎ 于是m∥A‎2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A‎2A3，于是m，n所成的角为60°，其正弦值为.选A．‎ ‎4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：‎ ‎①若a∥b，b⊂α，则a∥α；‎ ‎②若a∥b，a∥α，则b∥α；‎ ‎③若a∥α，b∥α，则a∥b.‎ 其中真命题的个数是(　A　)‎ A．0　　 B．‎1　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，‎ 所以①不正确；‎ 对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，‎ 因此②也不正确；‎ 对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，‎ 因此③也不正确．‎ ‎5．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为__平行__.‎ 解析 如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.‎ 一　直线与平面平行的判定与性质 判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)．‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎【例1】 (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)AD⊥AC．‎ 解析 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．‎ 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．‎ ‎(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ADB∩平面BCD＝BD，‎ BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．‎ 因为AD⊂平面ADB，所以BC⊥AD．‎ 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以AD⊥平面ABC．‎ 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC．‎ 二　平面与平面平行的判定与性质 判定面面平行的四种方法 ‎(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．‎ ‎(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．‎ ‎(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．‎ ‎【例2】 如图所示，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B‎1C1的中位线，∴GH∥B‎1C1.‎ 又∵B‎1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC．‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 三　空间平行关系的探索性问题 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．‎ ‎【例3】 如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE, AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在线段CE上．‎ ‎(1)求证：AE⊥BE；‎ ‎(2)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.‎ 解析 (1)证明：由DA⊥平面ABE及AD∥BC，‎ 得BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，‎ 因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE，‎ 又BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE.‎ 因为BE⊂平面BCE，故AE⊥BE.‎ ‎(2)在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，‎ 在△BEC中，过点G作GN∥BC交CE于点N，连接MN，‎ 则由＝＝＝，得CN＝CE.‎ 因为MG∥AE，AE⊂平面ADE，‎ MG⊄平面ADE，所以MG∥平面ADE，‎ 又GN∥BC，BC∥AD，AD⊂平面ADE，GN⊄平面ADE，‎ 所以GN∥平面ADE，‎ 又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE，‎ 因为MN⊂平面MGN，所以MN∥平面ADE.‎ 故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN∥平面ADE.‎ ‎1．有下列命题：‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ 其中真命题的个数是(　A　)‎ A．1　　 B．‎2　‎　‎ C．3　　 D．4‎ 解析 命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．‎ ‎2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：‎ ‎①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；‎ ‎②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；‎ ‎③若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.‎ 其中正确命题的个数是(　B　)‎ A．3　　 B．‎2　‎　‎ C．1　　 D．0‎ 解析 ①若n⊥α，n⊥β，则n为平面α与β的公垂线，则α∥β，故①正确；‎ ‎②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，三点可能在平面β的异侧，此时α与β相交，故②错误；‎ ‎③若n，m为异面直线．n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，根据面面平行的判定定理，可得③正确．故选B．‎ ‎3．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．‎ ‎(1)求证：AM＝CM；‎ ‎(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC．‎ 证明 (1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，‎ ‎∴AC＝，BC＝，AB＝2，则AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，‎ 又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．‎ 在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，‎ 在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，‎ ‎∴AM＝CM.‎ ‎(2)如图，连接DB交AC于点F，‎ ‎∵DCAB，∴DF＝FB．‎ 取PM的中点G，连接DG，FM，‎ 则DG∥FM，‎ 又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，‎ ‎∴DG∥平面AMC．‎ 连接GN，则GN∥MC，GN⊄平面AMC，MC⊂平面AMC．‎ ‎∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC，‎ 又DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC．‎ ‎4．如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?‎ 解析 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：‎ ‎∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．‎ ‎∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.‎ 又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，‎ PA⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，‎ 又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.‎ 易错点　忽视判定定理和性质定理的使用条件 错因分析：如下面的例子中，已知α∥β，a⊂α，b⊂β，那么a与b不一定平行，还可能异面．‎ ‎【例1】 已知三个平面α，β，γ，满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G，求证：＝.　‎ 证明 (1)当a，b共面时，设a，b共面θ，连接AE，BF，CG.‎ ‎∵α∥β∥γ，α∩θ＝AE，β∩θ＝BF，γ∩θ＝CG，‎ ‎∴AE∥BF∥CG.‎ 据平行线分线段成比例可知＝；‎ ‎(2)当a，b异面时，如图(1)，连接AG交β于点O，连接OB，OF.‎ ‎∵β∥γ，β∩面ACG＝OB，γ∩面ACG＝CG，‎ ‎∴OB∥CG，‎ 同理可得OF∥AE，‎ ‎∴＝，＝，∴＝.‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD．‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD．‎ 解析 (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：‎ 连接CM.因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 从而CM∥AB．‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB．‎ ‎(2)证明：连接BM，由已知得，PA⊥AB，PA⊥CD，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA⊥平面ABCD．从而PA⊥BD，因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥MD，且BC＝MD．所以四边形BCDM是平行四边形．‎ 所以BM＝CD＝BC，BCDM是菱形，∴BD⊥MC，又MC∥AB，所以BD⊥AB．又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．‎ 又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD．‎ 课时达标　第41讲 ‎[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质，常以解答题为主，难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．(2018·广东揭阳模拟)设两个不同的平面α，β，两条不同的直线 a，b，且a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的(　B　)‎ A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析 因为“a∥β，b∥β”，若a∥b，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a∥β，b∥β”，故选B．‎ ‎2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　B　)‎ A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 解析 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，所以EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形．‎ ‎3．设a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(　D　)‎ A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C．若a∥α且a∥β，则α∥β D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β 解析 对于A项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A项不正确；对于B项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B项不正确；对于C项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C项不正确．排除A，B，C项，故选D．‎ ‎4．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP的图形是(　A　)‎ A．①②　　 B．①④‎ C．②③　　 D．③④‎ 解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.‎ ‎5．已知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是(　C　)‎ A．若a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b B．若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥β C．若a∥b，α∩β＝a，则b∥α或b∥β D．若直线a与b异面，a⊂α，b⊂β，则α∥β 解析 对于A项，a与b还可能相交或异面，此时a与b不平行，故A项不正确；对于B项，α与β可能相交，此时设α∩β＝m，则a∥m，b∥m，故B项不正确；对于D项，α与β可能相交，如图所示，故D项不正确，故选C．‎ ‎6．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①⇒n∥α；②⇒m∥n；③⇒α∥β；④⇒m∥n.其中所有正确命题的序号是(　B　)‎ A．③④　　 B．②③‎ C．①②　　 D．①②③④‎ 解析 ①不正确，n可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m，n可能为异面直线．故选B．‎ 二、填空题 ‎7．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于____.‎ 解析 因为直线EF∥平面AB‎1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB‎1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC，又在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.‎ ‎8．(2018·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①③__(把所有正确的题号填上)．‎ 解析 ①可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b⊂β，α∩β＝a，b⊂γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行．‎ ‎②a∥γ，b∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b.这些条件无法确定两直线的位置关系．‎ ‎③可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a⊂γ，b⊂γ，可得两直线平行．‎ ‎9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t＝____.‎ 解析 连接AC交BQ于N，交BD于O，‎ 连接MN，如图，则O为BD的中点．‎ 又∵BQ为△ABD边AD上中线，‎ ‎∴N为正△ABD的中心．‎ 令菱形ABCD的边长为a，‎ 则AC＝a，AN＝a.‎ ‎∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，‎ 平面PAC∩平面MQB＝MN ‎∴PA∥MN，∴PM∶PC＝AN∶AC，‎ 即PM＝PC，∴t＝.‎ 三、解答题 ‎10．如图，P是△ABC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心．求证：平面 A′ B′ C′∥平面 ABC．‎ 证明 连接PA′，PC′并延长，分别交BC，AB于M，N.‎ ‎∵A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，‎ ‎∴M，N分别是BC，AB的中点．连接MN，‎ 由＝＝知A′C′∥MN，∵MN⊂平面ABC，∴A′C′∥平面ABC．同理，A′B′∥平面ABC，而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线，∴平面A′B′C′∥平面ABC．‎ ‎11．如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B‎1F∥平面A1BE？证明你的结论．‎ 解析 当点F为棱C1D1中点时，可使B‎1F∥平面A1BE，证明如下：‎ 分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，‎ 因为A1D1∥B‎1C1∥BC，且A1D1＝BC，‎ 所以四边形A1BCD1为平行四边形，‎ 因此D‎1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D‎1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C‎1C∥B1B，且FG＝C‎1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B‎1F∥BG，而B‎1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B‎1F∥平面A1BE.‎ ‎12．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，Q是CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A‎1F∥平面D1AQ，求A‎1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围．‎ 解析 设平面AD1Q与直线BC交于点G，连接AG，QG，则G为BC的中点．分别取B1B，B‎1C1的中点M，N，连接A‎1M，MN，A1N，如图所示．∵A‎1M∥D1Q，A‎1M⊄平面D1AQ，‎ D1Q⊂平面D1AQ，∴A‎1M∥平面D1AQ.同理可得MN∥平面D1AQ.‎ ‎∵A‎1M，MN是平面A1MN内的两条相交直线，‎ ‎∴平面A1MN∥平面D1AQ.‎ 由此结合A‎1F∥平面D1AQ，可得直线A‎1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上的动点．‎ 设直线A‎1F与平面BCC1B1所成角为θ，移动点F并加以观察，可得当点F与M(或N)重合时，A‎1F与平 面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ＝＝2；当点F与MN的中点重合时，A‎1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tan θ＝＝2.‎ ‎∴A‎1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围为[2,2]．‎