2018届二轮复习圆与方程及直线与圆的位置关系课件（全国通用） 23页

第 二 节　 圆与方程及直线与圆的位置关系 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 圆的方程 . 2. 直线与圆的位置关系 . 3. 圆与圆的位置关系 . 1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 2. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系 . 3. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 . 4. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 　　主要考查根据所给条件选取适当的圆的方程待定系数法求圆的方程或求圆的切线方程，判断直线与圆的位置关系，利用圆与圆的位置关系解决相关问题等 . 　　直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系是高考热点 . 并考查圆的方程及直线与圆的位置关系等综合问题，以中等难度为主 . 知识点一 圆的方程 1. 圆的定义及其方程 (1) 在平面内到 _____ 的距离等于 的点的轨迹叫做圆 . (2) 确定一个圆的基本要素是： _____ 和 _____ . (3) 圆的标准方程： ① 两个条件：圆心 ( a ， b ) ，半径 r ； ② 标准方程： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 . 定点 圆心 半径 定长 (4) 圆的一般方程 ① 一般方程： x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ； ②方程表示圆的充要条件为： _____________ ； D 2 ＋ E 2 － 4 F >0 2. 点与圆的位置关系 (1) 理论依据： __ 与 ____ 的距离与半径的大小关系 (2) 三个结论：圆的标准方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，点 M ( x 0 ， y 0 ) ① _______________ ＝ r 2 ⇔ 点在圆上； ② _______________ > r 2 ⇔ 点在圆外； ③ _______________ < r 2 ⇔ 点在圆内 . ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 圆心 点 知识点二 直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 设直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2 ＋ B 2 ≠ 0) ， 圆： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0) ， d 为圆心 ( a ， b ) 到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ . 　　 方法 位置关系　　 几何法 代数法 相交 d r Δ 0 相切 d r Δ 0 相离 d r Δ 0 < ＝ > < ＝ > 　　 方法 位置关系　　 几何法：圆心距 d 与 r 1 ， r 2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 ________ ____ 相外切 _________ 一组实数解 相交 _______________ _________________ 相内切 d ＝ | r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) 一组实数解 内含 0 ≤ d <| r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) 无解 d > r 1 ＋ r 2 d ＝ r 1 ＋ r 2 | r 1 － r 2 |< d < r 1 ＋ r 2 无解 两组不同的实数解 【 名师助学 】 1 . 确定一个圆的方程 ， 需要三个独立条件 . “ 选形式 ， 定参数 ” 是求圆的方程的基本方法 ， 即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 ，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分 利用圆的性质 . 2 . 确定圆的方程时 ， 常用到的圆的三个性质 (1) 圆心在过切点且垂直切线的直线上； (2) 圆心在任一弦的中垂线上； (3) 两圆内切或外切时 ， 切点与两圆圆心三点共线 . 方法 1 圆的方程 求圆的方程的几种方法： (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； (2) 待定系数法： ① 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，根据已知条件列出关于 a 、 b 、 r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D 、 E 、 F 的方程组，进而求出 D 、 E 、 F 的值 . 【 例 1】 (1) 过点 A ( － 2 ， 4) ， B (3 ，－ 1) 两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程为 ________ ； (2) 经过点 A ( － 2 ，－ 4) ，且与直线 l ： x ＋ 3 y － 26 ＝ 0 相切于点 B (8 ， 6) 的圆的方程为 ________. [ 点评 ] 　解决此类问题的关键是设出圆的方程利用待定系数法求解 ， 或利用圆的几何性质求出圆心及半径 . 方法 2 直线与圆的位置关系 (1) 求过圆外一点 ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程： ① 几何方法：当斜率存在时，设为 k ，切线方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，即 kx － y ＋ y 0 － kx 0 ＝ 0. 由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程 . ② 代数方法：设切线方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，即 y ＝ kx － kx 0 ＋ y 0 ，代入圆的方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ ＝ 0 ，求得 k ，切线方程即可求出 . 【 例 2】 已知点 P (0 ， 5) 及圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x － 12 y ＋ 24 ＝ 0. 若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ，求 l 的方程 . [ 点评 ] 　解决本题的关键是利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解 ， 或将直线方程与圆的方程联立利用弦长公式求解 . 方法 3 与圆有关的综合问题 直线与圆综合问题的求解策略 (1) 利用解析几何的基本思想方法 ( 即几何问题代数化 ) ，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决 . (2) 直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑 . 【 例 3】 已知圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0. 问在圆 C 上是否存在两点 A 、 B 关于直线 y ＝ kx － 1 对称，且以 AB 为直径的圆经过原点？ 若存在，写出直线 AB 的方程；若不存在， 说明理由 . 解　 圆 C 的方程可化为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 9 ，圆心为 C (1 ，－ 2). 假设在圆 C 上存在两点 A ， B 满足条件， 则圆心 C (1 ，－ 2) 在直线 y ＝ kx － 1 上，即 k ＝－ 1. 于是可知， k AB ＝ 1. 设 l AB ∶ y ＝ x ＋ b ，代入圆 C 的方程， 整理得 2 x 2 ＋ 2( b ＋ 1) x ＋ b 2 ＋ 4 b － 4 ＝ 0 ， 则 Δ ＝ 4( b ＋ 1) 2 － 8( b 2 ＋ 4 b － 4)>0 ，