数学理卷·2019届陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试（2018-03） 11页

高新部高二开学考试数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。) ‎ ‎1.已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2. 由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎3. 如图，空间四边形中，点分别在上， ， ，则 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4. 设点为双曲线（， ）上一点， 分别是左右焦点， 是的内心，若， ， 的面积满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. ‎ C. 4 D. ‎ ‎5．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若两点 ， ，当||取最小值时， 的值等于(　　)‎ ‎ A．19 B．－ C． D． ‎7．已知命题p:∃ ，,命题q: ,则(　　)‎ ‎ A．命题p∨q是假命题 　　　 　B．命题p∧q是真命题 ‎ C．命题p∧()是真命题 　 　D．命题p∨()是假命题 ‎8．设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知，分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上.若，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：① ② ③ ④‎ 其中正确的式子的序号是（ ）‎ A．②③ B．①④ C.①③ D．②④‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13.对四个样本点，，，分析后，得到回归直线方程为，则样本点中的值为 ．‎ ‎14.若在上是减函数，则的取值范围是 ．‎ ‎15.在区间内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为 ．‎ ‎16.对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“‎ 拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则 ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共70分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ ‎ (1)设.‎ ‎①求；‎ ‎②求；‎ ‎③求；‎ ‎(2)求除以9的余数．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图是大丰区新丰中学2016年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.‎ ‎（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；‎ 甲 乙 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎4 4 4 6 7‎ ‎3‎ ‎9 7 6 6 4‎ ‎3 2‎ ‎（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，//,,,点在棱上. ‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎ （3）是否存在正实数，使得，且满足二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）解不等式f（x）＜x+5．‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎（1）若函数在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）若函数的图象上存在两点关于原点对称，求的取值范围.‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ （1）求函数的单调区间和最小值；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求的值；‎ ‎（3）若,且对任意恒成立，求的最大值.‎ ‎1-4.CCBA 5-8.BBCA 9-12.BCCB ‎13. 7.01 14. 15. 16 . 2017‎ ‎17、(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. ‎ ‎②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，‎ 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. ‎ ‎③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.‎ ‎（2）解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1‎ ‎＝89－1＝(9－1)9－1‎ ‎＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，‎ 显然上式括号内的数是正整数．‎ 故S被9除的余数为7.‎ ‎18、（1）众数为84，中位数84；‎ ‎（2），所以，所以乙的数据波动小.‎ ‎19.（12分）(1)证：平面平面，‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ ‎ 又 ‎ （2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又四边形为矩形，‎ 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则，，，则 ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ 异面直线所成角的余弦值为 （2） 假设存在正实数满足题意，易知平面的一个法向量为，设，‎ 由得：得：‎ ‎ 即： ‎ ‎，‎ 设平面的一个法向量为则 ‎ 即 令，则，‎ 即 ， 则 解之得：‎ 综上所述，存在满足题意.‎ ‎20.【解答】解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．‎ 又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，‎ 则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，‎ 故△=（lga）2﹣4lgb≤0，‎ 将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，‎ 故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；‎ ‎（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，‎ 即x2+4x+1＜x+5，‎ 所以x2+3x﹣4＜0，‎ 解得﹣4＜x＜1，‎ 因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．‎ ‎21.（12分）‎ ‎ 解：（1）当时，.‎ ‎ 因为在处取得极值，所以，即 ‎ ，解得，经验证满足题意，所以.‎ ‎ (2)由题意知的图像上存在两点关于原点对称，即 ‎ 图象上存在一点，使得 ‎ 在的图象上，即有 ‎ 消去，得 ‎ ，化简得.‎ ‎ 则由题意关于的方程在上有解.‎ ‎ 设，‎ ‎ 令，得，‎ ‎ 当时，，在为增函数；‎ ‎ 当时，，在为减函数.‎ ‎ 所以 ‎ ，即的值域为.‎ ‎ 所以当时，方程在上有解.‎ ‎ 所以当时，函数的图像上存在两点关于原点对称.‎ ‎22.（12分）‎ ‎ 解：（1）的单调增区间为，单调减区间为，‎ ‎（2），，‎ Ⅰ．当时，，在上单调递增，，所以，舍去.‎ Ⅱ．当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎①若，在上单调递增，，所以，舍去，‎ ‎②若，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.‎ ‎③若，在上单调递减，，所以，舍去，‎ 综上所述，.‎ ‎（3）法一：由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立.‎ 令，则，令，则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 因为方程在上存在唯一的实根，且，当时，，即，‎ 当时，，即.‎ 所以函数在上递减，在上单调递增.‎ 所以 所以，又因为，故整数的最大值为3.‎ 法二：直接构造函数 ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ① 当时，在上恒成立，在上恒成立，‎ ‎ ；‎ ‎ ② 当时，令 ‎ 当变化时，、变化情况如下表：‎ x ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减函数 极小值 增函数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 即 ‎ 同法一 ‎ ‎ 的最大值是3‎