【数学】2019届一轮复习人教A版第8章立体几何初步第5课时空间几何体的表面积和学案 8页

第5课时　空间几何体的表面积和 ‎ 体积（对应 生用书（文）118 120页、（理）120 122页）
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‎ 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积.‎ ‎① 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式.② 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.‎ ‎
‎ ‎1. （必修2P60练习2改编）把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为　　　　Ｗ.‎ 答案：4R 解析：设圆柱的高为h，则有πR2h＝3×πR3，∴ h＝4R.‎ ‎2. （必修2P55练习2改编）已知正四棱柱的底面边长为‎3 cm，侧面的对角线长为‎3 cm，则这个正四棱柱的侧面积是　　　　 cm2 .‎ 答案：72‎ 解析：正四棱柱的高为＝6（cm），所以侧面积为4×3×6＝72（cm2）.‎ ‎3. （必修2P63习题2改编）一个正六棱锥的底面边长为‎6 cm，高为‎15 cm，则它的体积为　　　　 cm3.‎ 答案：270 解析：体积V＝Sh＝×6××6×6××15＝270（cm3）.‎ ‎4. （必修2P71复习题19改编）一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的　　　　Ｗ.‎ 答案： 解 析：轴截面如图，由题意＝＝，V圆锥PO1＝·PO1，V圆锥PO＝·PO，‎ ‎
‎ ‎∴ V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1＝·PO－·PO1＝·PO－··PO＝·PO，‎ ‎∴ ＝＝.‎ ‎5. （必修2P71复习题20改编）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为　　　　Ｗ.‎ 答案： 解析：设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得（2R）2＝（）2＋12＋12，解得R＝1，所以该球的体积V＝πR3＝.‎ ‎
‎ ‎1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧＝ch，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.柱体的体积公式是V柱体＝ShＷ.‎ ‎2. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧＝ch′；锥体的体积公式为V锥体＝ShＷ.‎ ‎3. 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧＝（c＋c′）·h′；台体的体积公式是V台体＝h（S＋＋S′）Ｗ.‎ ‎4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是S圆柱侧＝cl＝2πrl，圆锥的侧面积公式为S圆锥侧＝cl＝πrl，圆台的侧面积公式为S圆台侧＝（c＋c′）l＝π（r＋r′）lＷ.‎ ‎5. 若球的半径为R，则球的体积V＝πR3，球的表面积S＝4πR2.
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,　　　　　　　　　1　与几何体的表面积有关的问题)‎ ‎
,　　　　　1)　已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为　　　　Ｗ.‎ 答案：16 解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为＝2，所以该直四棱柱的侧面积S＝cl＝4×2×2＝16.‎ ‎
变式训练 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若＝，则的值为　　　　Ｗ.‎ 答案： 解析：由＝＝，得a＝r，＝＝.‎ ‎
,　　　　　　　　　2　与几何体体积有关的问题)‎ ‎
,　　　　　2)　如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ ‎
‎ ‎（1） 求证：直线BC∥平面PAD；‎ ‎（2） 若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积.‎ ‎（1） 证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.‎ 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.‎ ‎（2） 解：如图，取AD的中点M，连结PM，CM.‎ 由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，‎ 得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ ‎
‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.‎ 因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.‎ 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.‎ 取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN＝x.‎ 因为△PCD的面积为2，‎ 所以×x×x＝2，‎ 解得x＝－2（舍去）或x＝2.‎ 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2，‎ 所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.‎ ‎
变式训练 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　　　Ｗ.‎ ‎
‎ 答案： 解析：设球O的半径为R，因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面圆的半径为R，圆柱的高为2R.故圆柱O1O2的体积V1＝2πR3，球O的体积V2＝πR3，所以＝＝.‎ ‎
,　　　　　　　　　3　简单几何体的综合应用)‎ ‎
,　　　　　3)　如图，从三棱锥PABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.‎ ‎（1） 在三棱锥PABC中，求证：PA⊥BC；‎ ‎（2） 若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥PABC的体积.‎ ‎
‎ ‎（1） 证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC.‎ 如图，取BC的中点D，连结AD，PD，‎ 则AD⊥BC，PD⊥BC，AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴ BC⊥平面PAD.‎ ‎∵ PA⊂平面PAD，∴ PA⊥BC.‎ ‎
‎ ‎（2） 解：由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，PA＝P‎1A＝BC＝P1P3＝10，PB＝PC＝P1B＝13，‎ ‎∴ AD＝PD＝＝12.‎ 在等腰三角形DPA中，底边PA上的高h＝＝，‎ ‎∴ S△DPA＝PA·h＝5.‎ 又BC⊥平面PAD，‎ ‎∴ VPABC＝VBPDA＋VCPDA ‎＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA ‎＝BC·S△PDA＝×10×5＝.‎ 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ ‎
‎ ‎（1） 求证：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2） 若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ ‎（1） 证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD.又PD∩AP＝P，PD，AP⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.‎ 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2） 解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.‎ 由（1）知，AB⊥平面PAD，故AB⊥AD，AB⊥PE，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.‎ ‎
‎ 设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x，由AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD，得四边形ABCD为矩形.‎ 故四棱锥PABCD的体积VPABCD＝AB·AD·PE＝x3.‎ 由题设得x3＝，故x＝2.‎ 从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2，‎ 可得四棱锥PABCD的侧面积为 PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.‎ ‎
‎ ‎1. 若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为　　　　Ｗ.‎ 答案：6π 解析：因为圆锥的底面半径为2，高为，所以母线长l＝＝3，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×3＝6π.‎ ‎2. 一个长方体的三条棱长分别为3，8，9.若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为　　　　Ｗ.‎ 答案：3‎ 解析：设圆孔的底面半径为r，孔高为h.因为圆柱两底面积等于圆柱的侧面积，所以2πr2＝2πrh.由于孔的打法有三种情况：① 孔高为3，则2πr2＝2πr×3，解得r＝3；② 孔高为8，则r＝8；③ 孔高为9，则r＝9.而实际情况是，当r＝8，r＝9时，因为长方体有4条棱为3，所以受限制不能打，所以只有①符合.‎ ‎3. 现有一个底面半径为‎3 cm，母线长为‎5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是　　　　 cm.‎ 答案： 解析：因为圆锥底面半径为‎3 cm，母线长为‎5 cm，所以圆锥的高为＝4（cm），其体积为π×32×4＝12π（cm3），设铁球的半径为r，则πr3＝12π，所以该铁球的半径是 cm.‎ ‎4. （2016·泰州期末）如图，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，点O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD‎1A1的体积为V2，则的值为　　　　　Ｗ.‎ ‎
‎ 答案： 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，V1＝abc，V2＝abc，则＝.‎ ‎
‎ ‎5. 如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.‎ ‎（1） 求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎（2） 若AB＝BD＝CD＝1，点M为AD中点，求三棱锥A MBC的体积.‎ ‎（1） 证明：∵ AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ ‎∴ AB⊥CD.‎ ‎∵ CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴ CD⊥平面ABD.‎ ‎（2） 解：∵ AB⊥平面BCD，∴ AB⊥BD.‎ ‎∵ AB＝BD＝1，∴ S△ABD＝.‎ ‎∵ 点M是AD的中点，∴ S△ABM＝S△ABD＝.‎ 由（1）知，CD⊥平面ABD，‎ ‎∴ 三棱锥CABM的高h＝CD＝1，‎ 因此三棱锥AMBC的体积 VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝.‎ ‎
‎ ‎【示例】　（本题模拟高考评分标准，满分14分）‎ 如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱ABCA1B‎1C1，其中点D是AB的中点，点E是BC的三等分点.求几何体BDEA1B‎1C1的体积.‎ ‎
‎ ‎ 生错解：解：∵ BD＝，BE＝，∠DBE＝60°，‎ ‎∴ S△DBE＝BD·BEsin∠DBE＝a2，S△A1B‎1C1＝A1B1·B‎1C1sin 60°＝a2.‎ 由棱台体积公式得 VBDE A1B‎1C1＝h（S△BDE＋S△A1B‎1C1＋）＝h＝a2h.‎ 错因分析：没有弄清所给几何体的结构，几何体DBEA1B‎1C1不是棱台.‎ 审题引导： （1） 弄清几何体的结构，这里几何体DBEA1B‎1C1不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；（2） 运用体积公式进行计算.‎ 规范解答： ‎ ‎
‎ 解：如图，取BC中点F，连结DF，C1D，C‎1F，得三棱台DBFA1B‎1C1及三棱锥C1DEF.‎ ‎∵ S△A1B‎1C1＝A1B1·B‎1C1sin 60°＝a2，‎ S△DBF＝S△ABC＝S△A1B‎1C1＝a2，（4分）‎ ‎∴ VDBF A1B‎1C1＝h（S△DBF＋S△A1B‎1C1＋）‎ ‎
‎ ‎＝h＝a2h.（8分）‎ ‎∴ VC1DEF＝h··a2＝a2h，（10分）‎ ‎∴ VBDE A1B‎1C1＝VDBF A1B‎1C1－VC1 DEF＝a2h－a2h＝a2h.（14分）‎ ‎
‎ ‎1. 已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，‎ 则a3∶b3的值为　　　　Ｗ.‎ 答案： 解析：由正三棱柱的体积为a3，圆柱的体积为，所以a3＝，则a3∶b3的值为.‎ ‎
‎ ‎2. 如图，以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为　　　　.‎ 答案： 解析：设圆锥的底面半径为 r，由题意知，圆锥底面半径等于圆锥的高，‎ 则圆锥的侧面积＝πr·r＝πr2，圆柱的侧面积＝2πr·r＝2πr2.‎ 所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为πr2∶2πr2＝.‎ ‎3. 已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥DABC的体积为　　　　Ｗ.‎ 答案： 解析：三棱锥DABC的高为，△ABC的面积为6，则三棱锥DABC的体积为.‎ ‎4. 如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点.当AD＋DC1最小时，三棱锥DABC1的体积为　　　　Ｗ.‎ 答案： 解析：在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BB‎1C1C，所以AB⊥平面BB‎1C1C.因为AB＝1，BC＝2，点D为侧棱BB1上的动点，所以侧面展开，当AD＋DC1最小时，BD＝DB1＝1，所以S△BDC1＝×BD×B‎1C1＝1，所以三棱锥DABC1的体积为×S△BDC1×AB＝.‎ ‎
‎ ‎1. 几何体体积的求法 ‎（1） 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体，可直接套用公式计算求解.‎ ‎（2） 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征，弄清组合体的结构十分必要.‎ ‎2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法 选择恰当的棱或母线将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离.[备课札记 ‎