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- 2021-07-01 发布
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2016-2017学年辽宁省铁岭市调兵山一中高二(上)期初数学试卷(理科)
一.选择题:(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“∃x0∈R,使得x2=1”的否定是( )
A.∀x∈R,都有x2=1 B.∃x0∉R,使得x2=1
C.∀x∈R,都有x2≠1 D.∃x0∈R,使得x2≠1
2.△ABC中,A=60°,B=45°,a=10,则b的值( )
A.5 B.10 C. D.5
3.若a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
A.< B.> C.> D.a|c|>b|c|
4.已知p:x=2,q:0<x<3,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分,又不必要条件
5.设椭圆的左焦点为F,P为椭圆上一点,其横坐标为,则|PF|=( )
A. B. C. D.
6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A. B. C. D.
7.一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为( )
A.83 B.108 C.75 D.63
8.关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且:x2﹣x1=15,则a=( )
A. B. C. D.
9.如图所给的程序运行结果为S=35,那么判断框中应填入的关于k的条件是( )
A.k=7 B.k≤6 C.k<6 D.k>6
10.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
11.数列{an}前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=am•an,若Sn<a恒成立则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.2
12.已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 .
14.已知函数y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin2φ .
15.已知数列{an}是首项为4,公差为3的等差数列,数列{bn}满足bn(an+an+1)=1,则数列{bn}的前32项的和为 .
16.设角α的终边在第一象限,函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f()=f(x)sinα+(1﹣sinα)f(y),则使等式f()=成立的α的集合为 .
三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A,B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件?
18.某电子原件生产厂生产的10件产品中,有8件一级品,2件二级品,一级品和二级品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件,计算:
(1)2件都是一级品的概率;
(2)至少有一件二级品的概率.
19.已知函数f(x)=2sinx•cosx+2cos2x﹣
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f(﹣)=,且sinB+sinC=,求bc的值.
20.已知函数f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求实数m的取值范围.
21.如图,已知P是椭圆+=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F是椭圆的右焦点,O是椭圆的中心,B是椭圆的上顶点,H是直线x=﹣(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点,若PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率的平方的值.
22.已知A,B是函数f(x)=+log2的图象上任意两点,且=(+),点M(,m).
(I)求m的值;
(II)若Sn=f()+f()+…+f(),n∈N*,且n≥2,求Sn.
(III)已知an=,其中n∈N*.Tn为数列{an}的前项和,若Tn>λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求λ的取值范围.
2016-2017学年辽宁省铁岭市调兵山一中高二(上)期初数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题:(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“∃x0∈R,使得x2=1”的否定是( )
A.∀x∈R,都有x2=1 B.∃x0∉R,使得x2=1
C.∀x∈R,都有x2≠1 D.∃x0∈R,使得x2≠1
【考点】命题的否定.
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可..
【解答】解:特称命题的否定是全称命题,
所以命题“∃x0∈R,使得x2=1”的否定是:∀x∈R,都有x2≠1.
故选:C.
2.△ABC中,A=60°,B=45°,a=10,则b的值( )
A.5 B.10 C. D.5
【考点】正弦定理.
【分析】由A与B的度数求出sinA与sinB的值,再由a的值,利用正弦定理即可求出b的值.
【解答】解:△ABC中,∵a=10,A=60°,B=45°,
∴根据正弦定理得:b===.
故选:C.
3.若a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
A.< B.> C.> D.a|c|>b|c|
【考点】不等式比较大小.
【分析】由a>b,通过取a=2,b=﹣1时,可得A,B不成立,取c=0时,a|c|>b|c|不成立.由c2+1>0,根据不等式的性质可得>.
【解答】解:∵a>b,∴取a=2,b=﹣1时,<,>,不成立,取c=0时,a|c|>b|c|不成立.
由c2+1>0,则>.
综上只有C正确.
故选:C.
4.已知p:x=2,q:0<x<3,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分,又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论
【解答】解:当x=2时,满足0<x<3,即充分性成立,
当x=1时,满足0<x<3但x=2不成立,即必要性不成立,
故p是q的充分不必要条件,
故选:A
5.设椭圆的左焦点为F,P为椭圆上一点,其横坐标为,则|PF|=( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】确定椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,即可求得P到左焦点的距离.
【解答】解:椭圆的左焦点为F(﹣,0),右焦点为(,0),
∵P为椭圆上一点,其横坐标为,
∴P到右焦点的距离为
∵椭圆的长轴长为4
∴P到左焦点的距离|PF|=4﹣=
故选D.
6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A. B. C. D.
【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T==π,解得ω=2.由函数当x=时取得最大值2,得到+φ=+kπ(k∈Z),取k=0得到φ=﹣.由此即可得到本题的答案.
【解答】解:∵在同一周期内,函数在x=时取得最大值,x=时取得最小值,
∴函数的周期T满足=﹣=,
由此可得T==π,解得ω=2,
得函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ)
又∵当x=时取得最大值2,
∴2sin(2•+φ)=2,可得+φ=+2kπ(k∈Z)
∵,∴取k=0,得φ=﹣
故选:A.
7.一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为( )
A.83 B.108 C.75 D.63
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列,进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和求得第三个n项的和,进而把前2n项的和加上第三个n项的和,即可求得答案.
【解答】解:等比数列的第一个n项的和为:48,第二个n项的和为60﹣48=12
∴第三个n项的和为:12×=3
∴前3n项的和为60+3=63
故选D
8.关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且:x2﹣x1=15,则a=( )
A. B. C. D.
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式,然后与已知条件化简求解a的值即可.
【解答】解:因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),
所以x1+x2=2a…①,
x1•x2=﹣8a2…②,
又x2﹣x1=15…③,
①2﹣4×②可得(x2﹣x1)2=36a2,代入③可得,152=36a2,解得a==,
因为a>0,所以a=.
故选:A.
9.如图所给的程序运行结果为S=35,那么判断框中应填入的关于k的条件是( )
A.k=7 B.k≤6 C.k<6 D.k>6
【考点】程序框图.
【分析】根据程序,依次进行运行得到当S=35时,满足的条件,即可得到结论.
【解答】解:当k=10时,S=1+10=11,k=9,
当k=9时,S=11+9=20,k=8,
当k=8时,S=20+8=28,k=7,
当k=7时,S=28+7=35,k=6,
此时不满足条件输出,
∴判断框中应填入的关于k的条件是k>6,
故选:D.
10.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
【考点】系统抽样方法.
【分析】由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an,由751≤an≤1000 求得正整数n的个数,即为所求.
【解答】解:由1000÷50=20,故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列,
且此等差数列的通项公式为an=8+(n﹣1)20=20n﹣12.
由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6.
再由n为正整数可得 39≤n≤50,且 n∈Z,
故做问卷C的人数为12,
故选A.
11.数列{an}前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=am•an,若Sn<a恒成立则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.2
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由am+n=am•an,分别令m和n等于1和1或2和1,由a1求出数列的各项,发现此数列是首项和公比都为的等比数列,利用等比数列的前n项和的公式表示出Sn,而Sn<a恒成立即n趋于正无穷时,求出Sn的极限小于等于a,求出极限列出关于a的不等式,即可得到a的最小值.
【解答】解:令m=1,n=1,得到a2=a12=,同理令m=2,n=1,得到a3=,…
所以此数列是首项为,公比也为的等比数列,则Sn==(1﹣),
Sn<a恒成立即n→+∞时,Sn的极限≤a,所以a≥(1﹣)=,
则a的最小值为.
故选A
12.已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】圆的切线方程.
【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.
【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|
所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.
所以||的最大值为7.
故选:B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 7 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移,可得当x=1且y=2时,z取得最大值.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的三角形及其内部,由
可得A(1,2),z=x+3y,将直线进行平移,
当l经过点A时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=1+2×3=7.
故答案为:7
14.已知函数y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin2φ .
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性,结合二倍角公式进行求解即可.
【解答】解:y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)=sin(πx+φ﹣α),其中sinα=,cosα=.
∵函数的图象关于直线x=1对称,
∴π+φ﹣α=+kπ,
即φ=α﹣+kπ,
则sin2φ=sin2(α﹣+kπ)=sin(2α﹣π+2kπ)=sin(2α﹣π)=﹣sin2α=﹣2sinαcosα
=﹣2××=,
故答案为:
15.已知数列{an}是首项为4,公差为3的等差数列,数列{bn}满足bn(an+an+1)=1,则数列{bn}的前32项的和为 .
【考点】数列的求和.
【分析】通过等差数列{an}的首项和公差可知an=3n+1,利用平方差公式、裂项可知bn=(﹣),进而并项相加即得结论.
【解答】解:∵数列{an}是首项为4、公差为3的等差数列,
∴an=4+3(n﹣1)=3n+1,
∵bn(an+an+1)=1,
∴bn==•=(﹣),
∴数列{bn}的前n项和为(﹣+﹣+…+﹣)
=(﹣)
=(﹣),
故所求值为(﹣)=,
故答案为:.
16.设角α的终边在第一象限,函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f()=f(x)sinα+(1﹣sinα)f(y),则使等式f()=成立的α的集合为 .
【考点】基本不等式.
【分析】令x=,y=0,可得=;再令x=1,y=0,则,利用f(0)=0,f(1)=1,,即可得出.
【解答】解:令x=,y=0,则=,
再令x=1,y=0,则,
∵f(0)=0,f(1)=1,,
∴=sin2α,
∵角α的终边在第一象限,
∴,∴.
∴使等式f()=成立的α的集合为.
故答案为:;
三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A,B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件?
【考点】等差关系的确定.
【分析】由等差数列的求和公式和通项公式,分别证明必要性和充分性即可.
【解答】证明:充分性:当n=1时,a1=A+B;当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2An+B﹣A,
显然当n=1时也满足上式,
∴an﹣an﹣1=2A
∴{an}是等差数列.
必要性:∵数列{an}为等差数列,
∴Sn=na1+d=n2+(a1﹣)n,
令A=,B=a1﹣,则Sn=An2+Bn(A,B是常数).
综上,“Sn=An2+Bn(A,B是常数)”是“数列{an}为等差数列”的充要条件.
18.某电子原件生产厂生产的10件产品中,有8件一级品,2件二级品,一级品和二级品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件,计算:
(1)2件都是一级品的概率;
(2)至少有一件二级品的概率.
【考点】等可能事件的概率;互斥事件的概率加法公式.
【分析】(1)本题是一个等可能事件的概率,从10件产品中抽取2件,共有C102个基本事件,而满足条件的事件的结果有C82,根据等可能事件的概率公式得到结果.
(2)至少有一件二级品包括抽取的2件产品中包含了一件一级品,一件二级品与抽取的2件产品均为二级品,这两种情况是互斥的,根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果.
【解答】解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
设2件都是一级品为事件A.…
从10件产品中抽取2件,共有C102=45个基本事件,且都是等可能的
而事件A的结果有C82=28种,…
则P(A)=. …
(2)设至少有一件二级品为事件B,…
则B是两个互斥事件:“抽取的2件产品中包含了一件一级品,
一件二级品(记为B1)”与“抽取的2件产品均为二级品(B2)”的和. …
而P(B1)=,P(B2)=,…
∴P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2) …
=. …
答:2件都是一级品的概率为;至少有一件二级品的概率为.
19.已知函数f(x)=2sinx•cosx+2cos2x﹣
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f(﹣)=,且sinB+sinC=,求bc的值.
【考点】余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.
【分析】(1)f(x)解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式求出最小正周期,由正弦函数的单调性确定出f(x)的单调递减区间即可;
(2)由f(x)解析式,以及f(﹣)=,求出A的度数,将sinB+sinC=,利用正弦定理化简,求出bc的值即可.
【解答】解:(1)f(x)=2sinx•cosx+2cos2x﹣=sin2x+cos2x=2sin(2x+),
∵ω=2,∴f(x)的最小正周期T=π,
∵2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z;
(2)由f(﹣)=2sin[2(﹣)+]=2sinA=,即sinA=,
∵A为锐角,∴A=,
由正弦定理可得2R===,sinB+sinC==,
∴b+c=×=13,
由余弦定理可知:cosA===,
整理得:bc=40.
20.已知函数f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求实数m的取值范围.
【考点】一元二次不等式的解法;函数恒成立问题.
【分析】(1)直接因式分解后求解不等式的解集;
(2)把函数f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15,分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围.
【解答】解:由g(x)=2x2﹣4x﹣16<0,得x2﹣2x﹣8<0,
即(x+2)(x﹣4)<0,解得﹣2<x<4.
所以不等式g(x)<0的解集为{x|﹣2<x<4};
(2)因为f(x)=x2﹣2x﹣8,
当x>2时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,
则x2﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15成立,
即x2﹣4x+7≥m(x﹣1).
所以对一切x>2,均有不等式成立.
而(当x=3时等号成立).
所以实数m的取值范围是(﹣∞,2].
21.如图,已知P是椭圆+=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F是椭圆的右焦点,O是椭圆的中心,B是椭圆的上顶点,H是直线x=﹣(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点,若PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率的平方的值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】依题意,可求得P(c,),H(﹣,0),利用HB∥OP求得c2=ab,再利用椭圆的性质即可求得e2.
【解答】解:依题意,作图如下:
∵F(c,0)是椭圆的右焦点,PF⊥OF,
∴P(c,),
∴直线OP的斜率k==;
又H是直线(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点,
∴H(﹣,0),又B(0,b),
∴直线HB的斜率k′==;
∵HB∥OP,
∴=,
∴c2=ab,又b2=a2﹣c2,
∴c4=a2b2=a2(a2﹣c2),
∴e4+e2﹣1=0,
∴e2=.
22.已知A,B是函数f(x)=+log2的图象上任意两点,且=(+),点M(,m).
(I)求m的值;
(II)若Sn=f()+f()+…+f(),n∈N*,且n≥2,求Sn.
(III)已知an=,其中n∈N*.Tn为数列{an}的前项和,若Tn>λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求λ的取值范围.
【考点】数列与函数的综合;数列的求和.
【分析】(1)可知M是AB的中点,根据中点坐标公式求得x1和x2的关系,代入函数解析式即可求得m的值;
(2)由(1)可知,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,采用倒序相加法,即可求求得Sn;
(3)由题意可知当n≥2时,,求得数列{an}的前n项和Tn,由Tn>λ(Sn+1+1),采用分离变量即可求得λ的表达式,即可求得λ的取值范围.
【解答】解:(1)∵,
∴M是AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
由,得x1+x2=1,则x1=1﹣x2,x2=1﹣x1,
而=,
=,
=
∴.
(2)由(1)知:x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,
,
,
两式相加,得: =,
∴(n≥2,n∈N).
(3)当n≥2时,,,
由Tn>λ(Sn+1+1),得,
∴对任意n≥2,n∈N*都成立,
,
当且仅当n=2时等号成立,
∴.
故λ的取值范围是(﹣∞,).