高中数学选修2-2课件1_7_1 48页

1.7 　定积分的简单应用 1.7.1 　定积分在几何中的应用 问题 引航 1. 利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件 ? 2. 两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积 ? 定积分与平面图形面积的关系 (1) 已知函数 f(x) 在 [a ， b] 上是连续函数，由直线 y=0 ， x=a ， x=b 与曲线 y=f(x) 围成的曲边梯形的面积为 S ，填表： f(x) 的符号 平面图形的面积与定积分的关系 f(x)≥0 S=_________ f(x)<0 S=_________ (2) 一般地，如图，如果在公共的积分区间 [a ， b] 上有 f(x)>g(x) ，那么直线 x=a ， x=b 与曲线 y=f(x) ， y=g(x) 围成的平面图形的面积为 S= _____________. 1. 判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”) (1) 曲线 y=sin x ， x∈[ ] ，与 x 轴围成的图形的面积为 sin xdx.( ) (2) 曲线 y=x 3 与直线 x+y=2 ， y=0 围成的图形面积为 x 3 dx+ (2-x)dx.( ) (3) 曲线 y=3-x 2 与直线 y=-1 围成的图形面积为 (4-x 2 )dx.( ) 【 解析 】 (1) 错误，当 x∈[π ， ] 时， y=sin x<0 ，曲线 y= sin x ， x∈[ ] ，与 x 轴围成的图形的面积为 sin xdx- sin xdx. (2) 正确，曲线 y=x 3 与直线 x+y=2 交点为 (1 ， 1) ，所以围成的图形面积为 x 3 dx+ (2-x)dx. (3) 正确，曲线 y=3-x 2 与直线 y=-1 的交点为 (-2 ， -1) ， (2 ， -1) ，所以围成的图形面积为 ［ (3-x 2 )-(-1) ］ dx= (4-x 2 )dx. 答案： (1)× (2)√ (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 如图中阴影部分的面积是 ____________. (2) 曲线 y=x 3 与直线 y=x 所围成图形的面积为 __________. (3) 抛物线 y=x 2 -1 与 x 轴围成图形的面积是 _________. 【 解析 】 (1) 直线 y=2x 与抛物线 y=3-x 2 的交点为 (-3 ， -6) 和 (1 ， 2) ，设阴影部分面积为 S ，则 S= (3-x 2 -2x)dx =3x- x 3 -x 2 = 答案： (2) 曲线 y=x 3 与直线 y=x 所围成图形的面积为 (x-x 3 )dx+ (x 3 -x)dx =2( x 2 - x 4 ) = 答案： (3) 由 得交点 (-1 ， 0) ， (1 ， 0) ，则围成的图形的面积是 S= |x 2 -1|dx= (1-x 2 )dx =(x- x 3 ) = 答案： 【 要点探究 】 知识点 定积分在几何中的应用 1. 一条曲线 y=f(x) 和直线 x=a ， x=b(ag(x) ，曲线 f(x) ， g(x) ，直线 x=a ， x=b 围成的面积 S= [f(x)-g(x)]dx. (2)f(x)>0 ， g(x)<0 ，面积 S= [f(x)-g(x)]dx = f(x)dx+ |g(x)|dx. 3. 对于不规则平面图形面积的处理原则 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积 . 对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解 . 【 微思考 】 (1) 当 f(x)<0 时， f(x) 与 y=0 ， x=a ， x=b 围成的面积如何表示 ? 提示： S=- f(x)dx. (2) 如果 x∈[a ， c] ， f(x)>0 ， x∈[c ， b] ， f(x)<0 ，那么 f(x) 与 y=0 ， x=a ， x=b 围成的面积怎么表示 ? 提示： S= f(x)dx- f(x)dx. 【 即时练 】 1. 曲线 y=cos x 与直线 y=0 ， x= ， x=- 围成的图形的面积为 ( ) A. cos xdx B. cos xdx C. cos xdx- cos xdx D. cos xdx- cos xdx 2. 曲线 y=sin x 与直线 y=0 ， x= ， x=- 围成的图形的面积为 ________. 3. 如图曲线 y=x 2 和直线 x=0 ， x=1 ， y= 所围成的图形 ( 阴影部分 ) 的面积为 ______. 【 解析 】 1. 选 A. 因为当 - ≤x≤ 时， y=cos x>0 ， 所以曲线 y=cos x 与直线 y=0 ， x= ， x=- 围成的图形的面积为 cos xdx. 2. 曲线 y=sin x 与直线 y=0 ， x= ， x=- 围成的图形的面积为 S= |sin x|dx= sin xdx =2(-cos x )=2. 答案： 2 3. 由于曲线 y=x 2 (x ＞ 0) 与 y= 的交点为 ( ) ， 而曲线 y=x 2 和直线 x=0 ， x=1 ， y= 所围成的图形 ( 阴影部分 ) 的面积为 答案： 【 题型示范 】 类型一 计算简单的平面图形的面积 【 典例 1】 (1) 由曲线 y=x 2 -1 ，直线 x=0 ， x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积 ( 如图 ) 是 ( ) A. (x 2 -1)dx B.| (x 2 -1)dx| C. |x 2 -1|dx D. (x 2 -1)dx- (x 2 -1)dx (2) 直线 y=2x 与抛物线 y=x 2 -3 围成平面图形的面积是多少？ 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中， x 轴下方的图形面积如何用定积分表示？ 2. 用积分求两曲线围成平面图形的面积时，如何确定积分上限与下限？ 【 探究提示 】 1. 可以求 |f(x)| 的积分值，也可表示为： - (x 2 -1)dx. 2. 将直线方程与抛物线方程联立方程组求出交点的横坐标即为积分上下限，将平面图形的面积转化为定积分计算 . 【 自主解答 】 (1) 选 C.y=x 2 -1 将 x 轴下方阴影反折到 x 轴上方，此时在 [0 ， 1] 上定积分为正，故应选 C. (2) 由 消去 y ，得 x 2 -2x-3=0 ，解得 x 1 =-1 ， x 2 =3 ，这是直线与抛物线交点的横坐标，如图，直线 y=2x 与抛物线 y=x 2 -3 围成平面图形的面积是 S= ［ 2x-(x 2 -3) ］ dx= (3+2x-x 2 )dx =(3x+x 2 - x 3 ) =(3×3+3 2 - ×3 3 )-[-1×3+(-1) 2 - ×(-1) 3 ] =9+2- = 【 方法技巧 】 求函数图象围成平面图形面积的方法 (1) 画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解，得到函数图象的交点的横坐标 a ， b(af 2 (x)). 【 变式训练 】 设 f(x) 在 [a ， b] 上连续，则曲线 f(x) 与直线 x=a ， x=b ， y=0 围成图形的面积为 ( 　　 ) A. f(x)dx B.| f(x)dx| C. |f(x)|dx D. 以上都不对 【 解析 】 选 C. 当 f(x) 在 [a ， b] 上满足 f(x)<0 时， f(x)dx<0 ，排除 A ；当阴影有在 x 轴上方也有在 x 轴下方时， f(x)dx 是两面积之差，排除 B ；无论什么情况 C 都对，故应选 C. 【 误区警示 】 曲线 f(x) 与直线 x=a ， x=b ， y=0 围成图形的面积不能均用 f(x)dx 表示，要根据图形位置分不同情况选用适当的积分值表示 . 【 补偿训练 】 过原点的直线 l 与抛物线 y=x 2 -2ax(a>0) 所围成的图形面积为 a 3 ，则直线 l 的方程为 ( ) A ． y=±ax B.y=ax C ． y=-ax D ． y=-5ax 【 解析 】 选 B. 设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) ， 由 得交点坐标为 (0 ， 0) ， (2a+k ， 2ak+k 2 ). 图形面积 S= ［ kx-(x 2 -2ax) ］ dx 所以 k=a ，所以 l 的方程为 y=ax. 类型二 计算较复杂的图形的面积 【 典例 2】 (1) 由曲线 y=2x-x 2 与曲线 y=2x 2 -4x 围成图形的面积为 _________. (2) 求曲线 y= 与直线 y=2-x ， y=- x 围成图形的面积 . 【 解题探究 】 1. 在题 (1) 中如何确定积分区间？被积函数是什么？ 2. 如何将图形的面积转化为定积分计算？ 【 探究提示 】 1. 解两条抛物线的交点得 (0 ， 0)(2 ， 0) ，其积分区间为［ 0 ， 2 ］，被积函数为 f(x)=6x-3x 2 . 2. 灵活确定积分变量与积分区间，转化为定积分计算 . 【 自主解答 】 (1) 由 得 x 1 =0 ， x 2 =2 ，由图可知，所求图形的面积为 S= (2x-x 2 )dx+| (2x 2 -4x)dx| = (2x-x 2 )dx- (2x 2 -4x)dx =(3x 2 -x 3 ) =4. 答案： 4 (2) 解方程组： 及 及 得交点 (1 ， 1) ， (0 ， 0) ， (3 ， -1) ，所围图形如图中阴影部分所示， 所以 S= [ -( )]dx+ [(2-x)-( )dx] = ( + x)dx+ (2-x+ x)dx =( ) +(2x- x 2 + x 2 ) = = = 【 延伸探究 】 若将题 (2) 中条件变为如图由直线 y=x-2 ，曲线 y 2 =x 所围成图形，试求其面积 S. 【 解析 】 由 得 x=1 或 x=4 ，故 A(1 ， -1) ， B(4 ， 2) ，如图所示： 【 方法技巧 】 求平面图形面积的步骤以及注意事项 (1) 步骤：①画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标 . ② 将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积 . ③ 确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积． (2) 注意事项：根据图形特点选择适当的积分变量：若公共积分区间在 x 轴上，选取 x 为积分变量；若公共积分区间在 y 轴上，选取 y 为积分变量，要把函数变形成用 y 表示 x 的函数 . 【 变式训练 】 (2014· 太原高二检测 ) 由曲线 y=sin x ， y=cos x 与直线 x=0 ， x= 所围成的平面图形 ( 图中的阴影部分 ) 的面积是 ______. 【 解析 】 答案： 【 补偿训练 】 由两条曲线 y=x 2 ， y= x 2 与直线 y=1 围成平面区域的面积是 __________ ． 【 解析 】 如图，在第一象限， y=1 与 y=x 2 交点 A(1 ， 1) ， y=1 与 y= 交点 B(2 ， 1) ，由对称性可知面积 答案： 【 易错误区 】 因被积函数及原函数确定不准确导致错误 【 典例 】 已知函数 y=f(x) 的图象是折线段 ABC ，其中 A(0 ， 0) ， B( ， 5) ， C(1 ， 0) ，函数 y=xf(x)(0≤x≤1) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 ________. 【 解析 】 根据题意，得 从而得 所以所求的面积为 S= 答案： 【 常见误区 】 错解 错因剖析 因①处被积函数和②处原函数确定错误导致面积错误 . 【 防范措施 】 计算定积分的关键 　　当图象为折线时，对应的函数为分段函数，要分别来求 . 本例主要考查由分段函数的图象求函数式，考查定积分在计算平面图形面积中的运用 . 突出体现数形结合思想以及计算能力，求出被积函数 f(x) 以及函数 F(x) 的解析式是关键 . 【 类题试解 】 (2013· 北京高考 ) 直线 l 过抛物线 C ： x 2 =4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. l 的方程是 y=1 ，所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值：